看形找數(shù) 以數(shù)解形
——談平面解析幾何試題解題策略

許秀亮

(福州二中 350001)

平面解析幾何研究的對(duì)象是平面幾何圖形的幾何性質(zhì)——位置與數(shù)量關(guān)系，其研究方法是坐標(biāo)法，即通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線(xiàn)和方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想、函數(shù)與方程的思想.

在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),學(xué)生的痛點(diǎn)有：在“看形找數(shù)”過(guò)程中，如何合理作圖，如何根據(jù)問(wèn)題有效識(shí)圖，解決問(wèn)題該如何設(shè)元,需要找?guī)讉€(gè)方程，如何建立方程;在“以數(shù)解形”過(guò)程中，如何根據(jù)問(wèn)題，分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、設(shè)計(jì)運(yùn)算途徑、確定運(yùn)算程序，以及在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到挫折時(shí)如何調(diào)整運(yùn)算.本文以近兩年高考全國(guó)Ⅰ卷試題為例子，根據(jù)求解問(wèn)題所涉及的未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)及相應(yīng)圖形的位置與數(shù)量關(guān)系，從靜態(tài)視角與動(dòng)態(tài)視角兩個(gè)角度談?wù)劷忸}過(guò)程中的一些解題策略，以幫助學(xué)生解決上述問(wèn)題.

1 靜態(tài)視角下問(wèn)題

案例一(2020年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科第15題)

分析明確求解“離心率”的解題思路——建立雙曲線(xiàn)方程中系數(shù)a,b及半焦距c的一個(gè)方程或兩個(gè)方程.

圖一

思路1分析題意可設(shè)點(diǎn)B(x0,y0)，此時(shí)本題涉及的未知數(shù)有x0,y0及a,b,c，目標(biāo)是消去未知數(shù)x0,y0，建立a,b,c的一個(gè)或兩個(gè)方程；消去未知數(shù)x0,y0需要兩個(gè)方程，所以至少需要找到x0,y0，a,b,c的三個(gè)方程；那么，如何找這三個(gè)方程呢？明確從幾何圖形已知的位置與數(shù)量關(guān)系中尋找，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系(1)點(diǎn)B在C上；(2)BF垂直于x軸；(3)直線(xiàn)AB的斜率為3.

解法1設(shè)點(diǎn)B(x0,y0)(y0>0)，

由BF垂直于x軸可得方程x0=c；(2)

然后代入方程(3)得到a,b,c的方程

從而得e=2.

在把點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)x0,y0用a,b,c表示的過(guò)程中，從方程(1)(2)(3)中任選兩個(gè)方程都可以，解法1選擇(1)(2)的原因主要是考慮計(jì)算量問(wèn)題.在這過(guò)程中，滲透了化歸思想.

思路2設(shè)C的左焦點(diǎn)為F1，|BF1|=m,|BF|=n，此時(shí)本題涉及的未知數(shù)有m,n及a,b,c，目標(biāo)是消去未知數(shù)m,n，建立a,b,c的一個(gè)或兩個(gè)方程；消去未知數(shù)m,n需要兩個(gè)方程，所以至少需要找到m,n，a,b,c的三個(gè)方程；依然引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注幾何圖形已知的位置與數(shù)量關(guān)系(1)點(diǎn)B在C上；(2)BF垂直于x軸；(3)直線(xiàn)AB的斜率為3.

解法2設(shè)C的左焦點(diǎn)為F1，|BF1|=m,|BF|=n，由已知可得點(diǎn)B在C的右支上，

可得方程m-n=2a;(1)

由BF垂直于x軸,

可得方程m2-n2=4c2;(2)

由直線(xiàn)AB的斜率為3,

由(1)(3)可得m=3c-a,n=3c-3a，

代入(2)得c2-3ac+2a2=0，

所以e2-3e+2=0，得e=2或e=1，

因?yàn)閑>1，所以e=2.

點(diǎn)評(píng)在解題時(shí)，針對(duì)“點(diǎn)B在C上”這一已知位置關(guān)系，可以選擇不同的表征(設(shè)元)，對(duì)于相同的幾何圖形的位置和數(shù)量關(guān)系，會(huì)有不同的代數(shù)表征——方程，但兩種思路在解題策略上的共同點(diǎn)——明確解題的關(guān)注點(diǎn)“未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)”，抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)“幾何問(wèn)題代數(shù)化”,即先關(guān)注要解決問(wèn)題需要幾個(gè)未知數(shù)與幾個(gè)方程，在此基礎(chǔ)上，抓住條件中幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系，看“形”找到“數(shù)”，真正達(dá)到了數(shù)形結(jié)合思想.不同在平時(shí)教學(xué)中，為了讓學(xué)生真正理解這種思路，一般以微專(zhuān)題形式給出一組試題，學(xué)生體驗(yàn)用相同的解題策略解決這組試題.

案例二(2020年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷文科第11題)

圖二

由雙曲線(xiàn)方程可得|F1F2|=2c=4，

解法2由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n)，

由點(diǎn)P在C上得方程m-n=2a=2;(1)

由|OP|=|OF1|=|OF2|=2得F1P⊥F2P，

從而得方程m2+n2=4c2=16;(2)

由方程(1)(2)可得mn=6，

所以△PF1F2的面積為

所以選B.

解題策略依然是先關(guān)注所求解面積問(wèn)題需涉及“兩個(gè)未知數(shù)”，再?gòu)狞c(diǎn)P在C上，|OP|=2兩個(gè)位置與數(shù)量關(guān)系中找到對(duì)應(yīng)的“兩個(gè)方程”解決問(wèn)題.同樣，對(duì)“P在C上”位置關(guān)系，有不同的設(shè)元，由“|OP|=2”的數(shù)量關(guān)系也就產(chǎn)生了兩種不同的方程形式，但在同一解題策略下，殊途同歸.

2 動(dòng)態(tài)視角下問(wèn)題

案例三(2019年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷文科第21題)

已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，|AB|=4，圓M過(guò)點(diǎn)A,B且與直線(xiàn)x+2=0相切.

(Ⅰ)若A在直線(xiàn)x+y=0上，求圓M的半徑；

(Ⅱ)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|-|MP|為定值？并說(shuō)明理由.

問(wèn)題(Ⅰ)是靜態(tài)視角下的求值問(wèn)題——求圓的半徑.

分析幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系、未知數(shù)與方程.

圖三

由A在直線(xiàn)x+y=0上，

設(shè)點(diǎn)A(a,-a),B(-a,a),M(x0,y0)，

因?yàn)閳AM過(guò)點(diǎn)A,

因?yàn)閨MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

因?yàn)閳AM與直線(xiàn)x+2=0相切,

把(1)(2)代入(3)得x0=y0=0或x0=y0=4(三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)方程)，

所以可以確定圓M的半徑為r=2或r=6.

問(wèn)題(Ⅱ)是動(dòng)態(tài)視角下定值問(wèn)題.

分析幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系、未知數(shù)與方程.

設(shè)點(diǎn)A(m,n),B(-m,-n),M(x,y) (涉及四個(gè)未知數(shù)),

因?yàn)閨MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

因?yàn)閳AM與直線(xiàn)x+2=0相切且圓M過(guò)點(diǎn)A，

由方程(1)(2)(3)，整體消去未知數(shù)m,n得到未知數(shù)x,y的一個(gè)關(guān)系式為y2=4x，從而得到點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x，由此得到點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，所以，當(dāng)點(diǎn)P取到點(diǎn)F，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,0)時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得|MP|等于點(diǎn)M到直線(xiàn)x=-1的距離，而|MA|等于點(diǎn)M到直線(xiàn)x=-2的距離，所以|MA|-|MP|=(x+2)-(x+1)=1.

點(diǎn)評(píng)本題的主要變?cè)恰包c(diǎn)M”，首先要探究它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此，在設(shè)出四個(gè)未知數(shù)m,n,x,y，列出三個(gè)方程后，選定的目標(biāo)是由方程(1)(2)(3)消去未知數(shù)m,n得到點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x，這個(gè)過(guò)程中，消元難度比案例一、案例二大，要求學(xué)生要根據(jù)運(yùn)算的目標(biāo)，合理設(shè)計(jì)消元程序，要有整體消元的數(shù)學(xué)運(yùn)算思維，在此基礎(chǔ)上完成了“以數(shù)解形”，即從方程消去未知數(shù)得到點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再?gòu)狞c(diǎn)M的軌跡的幾何性質(zhì)，確定所求定點(diǎn)P的位置，得到|MA|-|MP|=1這個(gè)定值.

問(wèn)題(1)與問(wèn)題(2)都是先“設(shè)元”，再根據(jù)幾何圖形的位置與數(shù)量關(guān)系找到相應(yīng)的方程；問(wèn)題(1)是靜態(tài)視角下問(wèn)題，方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)是相同的，問(wèn)題(2)是動(dòng)態(tài)視角下問(wèn)題，方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少了一個(gè)；這種解題策略方法也適合于圓錐曲線(xiàn)中的軌跡問(wèn)題、最值或取值范圍問(wèn)題、定點(diǎn)定值問(wèn)題等.

案例四(2020年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科第20題(文科第21題))

圖四

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn).

分析1由題意可知，直線(xiàn)CD的位置隨著點(diǎn)P位置的變化而變化.

設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

因?yàn)镻A與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，

因?yàn)镻B與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，

五個(gè)未知數(shù)t,x1,y1,x2,y2，四個(gè)方程；消去x1,y1,x2,y2，用t表示x1,y1,x2,y2，所以直線(xiàn)CD的位置隨著t的變化而變化.

思路1設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

因?yàn)镻A與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，

(t2+9)x2+(6t2)x+(9t2-81)=0，

Δ=36t4-4(t2+9)(9t2-81)=36×81>0,

因?yàn)镻B與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，

(t2+1)x2-(6t2)x+(9t2-9)=0,

因?yàn)棣?36t4-4(t2+1)(9t2-9)=36>0，

所以直線(xiàn)CD的斜率為

所以直線(xiàn)CD的方程為

思路1在求直線(xiàn)CD的斜率與化簡(jiǎn)直線(xiàn)CD方程時(shí)，要求學(xué)生必須具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

分析2設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

當(dāng)t≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=my+n(-3

因?yàn)镻A與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，

因?yàn)镻B與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，

七個(gè)未知數(shù)t,x1,y1,x2,y2,m,n，六個(gè)方程；利用五個(gè)方程消去t,x1,y1,x2,y2，得到m,n的一個(gè)方程；從而求得直線(xiàn)CD恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

思路2設(shè)點(diǎn)P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

當(dāng)t≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=my+n(-3

因?yàn)辄c(diǎn)C在直線(xiàn)PA上，點(diǎn)D在直線(xiàn)PB上，

消去t得3y1(x2-3)=y2(x1+3)，

因?yàn)辄c(diǎn)D在橢圓E上，

代入變形得到27y1y2=-(x1+3)(x2+3)，

整理可得

27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0(*)；

得(m2+9)y2+(2mn)y+(n2-9)=0，

Δ=4m2n2-4(m2+9)(n2-9)>0，

x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2

代入方程(*)得

從六個(gè)方程中選擇出三個(gè)方程整理得到關(guān)系式27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0，再聯(lián)立用韋達(dá)定理把

y1y2,x1x2,x1+x2用m,n表示，整體消去t,x1,y1,x2,y2得到m,n方程這個(gè)過(guò)程中，要求學(xué)生要具備明確的數(shù)學(xué)模型、較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

點(diǎn)評(píng)思路2解題過(guò)程中消元得到27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的能力要求較高.思路1與思路2從解題策略上是相同的，都是先根據(jù)題意合理設(shè)元，再根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)與求解問(wèn)題的需要，從幾何圖形位置與數(shù)量關(guān)系中找到方程.案例四兩條思路的難點(diǎn)都是在運(yùn)用代數(shù)工具解決問(wèn)題時(shí)，消元整理的難度較大(涉及的未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)較多，方程本身較復(fù)雜)，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，思路1消元的方法是比較容易想到，但計(jì)算量較大，思路2在消元上技巧性較強(qiáng)，但運(yùn)算量相對(duì)低一些.

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的主干板塊.學(xué)生的解題障礙體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：一是如何實(shí)現(xiàn)平面圖形的幾何特征轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)有關(guān)的方程；二是能否抓住平面圖形的幾何特征的本質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算達(dá)到快速求解的目的.因此，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷：分析問(wèn)題涉及的幾何要素、關(guān)系——用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系——看形找數(shù)， 然后利用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算求解，解決代數(shù)問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程強(qiáng)調(diào)的是對(duì)條件的逐個(gè)使用，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)條件的“翻譯”，以及運(yùn)算程序的實(shí)施，解釋代數(shù)結(jié)果的幾何含義，獲得幾何結(jié)果——以數(shù)解形.在具體實(shí)施中，可以采用微專(zhuān)題的形式進(jìn)行.