從古希臘幾何難題引出的數(shù)學(xué)問題*

汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

隨著HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的不斷開展和教學(xué)案例的不斷開發(fā)，越來越多的數(shù)學(xué)教師開始關(guān)注HPM，并希望通過HPM來改善自己的課堂教學(xué).要在課堂中運(yùn)用數(shù)學(xué)史，教師需要處理數(shù)學(xué)(M)、歷史(H)和教育(P)兩兩之間的關(guān)系，然而，這并非易事.教師所遇到的障礙主要有：

? 歷史資源匱乏.對(duì)于沒有受過數(shù)學(xué)史專業(yè)訓(xùn)練的大多數(shù)教師而言，史料的獲取并非易事，史料的真?zhèn)我矡o法判斷.俗話說得好：“巧婦難為無米之炊”，一個(gè)教師即使很認(rèn)同HPM的教學(xué)理念，如果沒有合適的素材，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)就是一句空話.所以，筆者在一些論著中多次強(qiáng)調(diào)教育取向的歷史研究的重要性[1][2].

? 運(yùn)用方式單一.課堂上運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四種，而有些教師往往誤以為講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事或者用一道古代數(shù)學(xué)問題，就是HPM的全部了.實(shí)際上，講故事屬于附加式，運(yùn)用古代數(shù)學(xué)問題屬于復(fù)制式.如果教師僅僅是講了點(diǎn)故事，他的課還不能稱為“HPM的視角”；而“原汁原味”的數(shù)學(xué)史材料往往并不適合于課堂教學(xué)，需要教師對(duì)其進(jìn)行裁剪、加工、改編、拓展，即采用順應(yīng)式.

另一方面，根據(jù)數(shù)學(xué)史料編制而成的高考題，引發(fā)了人們對(duì)“基于數(shù)學(xué)史的問題提出”這一課題的濃厚興趣.筆者在文[3]中將“基于數(shù)學(xué)史的問題提出”策略分成了復(fù)制式、情境式、條件式、目標(biāo)式、對(duì)稱式、鏈接式和自由式七類，并對(duì)每一類方式作了界定.除了復(fù)制式外，其他六類策略都屬于順應(yīng)式.可以說，根據(jù)數(shù)學(xué)史料編制數(shù)學(xué)問題，是一線教師學(xué)習(xí)和掌握順應(yīng)式的主要途徑.

鑒于此，本文從古希臘數(shù)學(xué)家解決三等分角和倍立方問題的若干方法出發(fā)，運(yùn)用“基于數(shù)學(xué)史料的問題提出”的策略，編制一系列數(shù)學(xué)問題，以期為HPM視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)以及教育取向的數(shù)學(xué)史研究提供參考.

2 從梅內(nèi)克繆斯螺線中產(chǎn)生的問題

眾所周知，化圓為方、三等分角和倍立方是古希臘三大幾何難題.盡管尺規(guī)作圖的嘗試都以失敗而告終，但古希臘數(shù)學(xué)家找到了其他各種各樣的方法，深刻地影響了幾何學(xué)的發(fā)展.公元前5世紀(jì)，希波克拉底(Hipporates, 471B.C.? - 410 B. C.?)將倍立方問題(作一個(gè)立方體使其體積等于已知立方體的兩倍)歸結(jié)為求兩條已知線段的比例中項(xiàng)問題：已知長為a的線段，要求長為x和y的線段，使得

a∶x=x∶y=y∶2a，

這個(gè)轉(zhuǎn)化為后來的數(shù)學(xué)家指明了方向.為了解決兩個(gè)比例中項(xiàng)問題，公元前4世紀(jì)，柏拉圖學(xué)派數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus, 380B.C.-320 B.C.)發(fā)現(xiàn)了三種圓錐曲線，從而開辟了數(shù)學(xué)的新天地，具有劃時(shí)代的意義.

圖1 利用拋物線和雙曲線交點(diǎn)來解倍立方問題

圖2 利用兩條拋物線交點(diǎn)來解倍立方問題

以上述史料為素材，我們可以設(shè)計(jì)以下問題串.

如圖3所示，P為拋物線x2=y和y2=2x的異于原點(diǎn)的交點(diǎn).過P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A1和A2.聯(lián)結(jié)A1A2，過A1和A2作A1A2的垂線，分別交y軸和x軸于點(diǎn)A0和A3.過A3作A2A3的垂線，交y軸于點(diǎn)A4，過A4作A3A4的垂線，交x軸于點(diǎn)A5，等等，我們將所得到的折線A0A1A2A3…稱為“梅內(nèi)克繆斯螺線”.

圖3 梅內(nèi)克繆斯螺線問題

問題1：證明(OA1)3=2(OA0)3；

問題2：證明OA0,OA1,OA3,…,OAn，…構(gòu)成等比數(shù)列；

問題3：將折線A2n-2A2n-1A2nA2n+1A2n+2稱為梅內(nèi)克繆斯螺線的第n圈，記第n圈的長度為Cn，求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)之和；

問題4：記第n圈與y軸所圍成的封閉圖形的面積為Sn，試證明數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng);

圖4 基于倍立方問題的拋物線問題

此外，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)(均在第一象限)的縱坐標(biāo)構(gòu)成公比為r的等比數(shù)列時(shí)，拋物線內(nèi)部長方形和相應(yīng)的外部長方形的面積之比為1+r.事實(shí)上，若(xi,yi)(yi>0(i=1,2,3) 是拋物線y2=2px上的三點(diǎn)，其中y1,y2,y3構(gòu)成等比數(shù)列，則有

少數(shù)美英早期解析幾何教科書就是運(yùn)用上述結(jié)果來推求拋物線弓形面積的.

上述問題中，問題1是梅內(nèi)克繆斯所得到的結(jié)果，故屬于復(fù)制式.問題2-5在歷史素材的基礎(chǔ)上，增加了條件，設(shè)置了新目標(biāo)，故均屬于自由式問題.

3 從埃拉托色尼滑動(dòng)框中產(chǎn)生的數(shù)列問題

古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托色尼發(fā)明了一種機(jī)械工具來解決倍立方問題[4].如圖5，AU和BV是兩條平行線，與垂線段AB構(gòu)成了一個(gè)固定的長框.直角三角形AME、MNF和NPG的直角邊AM、MN和NP可以沿著AU上的凹槽滑動(dòng)，相應(yīng)地，它們的頂點(diǎn)E、F和G可以沿BV上的凹槽滑動(dòng).現(xiàn)設(shè)R是PG的中點(diǎn)，保持△AME不動(dòng)，分別向左滑動(dòng)△NPG和△MNF，到△N′PG和△M′NF的位置，使得N′G與NF的交點(diǎn)S、M′F與ME的交點(diǎn)T與點(diǎn)A、R共線.于是

圖5 埃拉托色尼的倍立方機(jī)械解法

AB∶TE=AD∶TD=ED∶FD

=TE∶SF=TD∶SD=FD∶GD=SF∶RG，

因此，TE和SF是AB和RG之間的兩個(gè)比例中項(xiàng)，換言之，AB、TE、SF、RG構(gòu)成等比數(shù)列，因AB=2RG，故SF3=2RG3.

由上可見，利用埃拉托色尼的機(jī)械工具，可以構(gòu)造一系列線段，使其長度構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.據(jù)此，我們可以編制一系列有關(guān)等比數(shù)列的問題.圖6所示為一埃拉托色尼長框，AC1B1為一直角三角形，AB=a，AC1= 1.過點(diǎn)A作一條直線，交BV于T，交B1C1于A1；沿AU向右滑動(dòng)Rt△AC1B1，使斜邊經(jīng)過點(diǎn)A1，B1C1相應(yīng)移到B2C2，B2C2與AT交于A2；以同樣的方式向右滑動(dòng)直角三角形，依次得到交點(diǎn)A3，A4，…，An.

問題1：證明AB,A1B1,A2B2,…,An-1Bn-1構(gòu)成等比數(shù)列.

問題2：設(shè)∠ATB=θ，用θ表示上述數(shù)列的公比.

問題3：寫出數(shù)列BB1,B1B2,B2B3,…,Bn-1Bn的通項(xiàng)公式.

問題4：用幾何方法求出BBn，你能據(jù)此推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎？

圖6 基于埃拉托色尼活動(dòng)框的等比數(shù)列列問題

實(shí)際上，設(shè)數(shù)列AB,A1B1,A2B2,…,An-1Bn-1的公比為q(0

ACn∶AnCn=AC1∶A1C1，

故得

即

由此可得一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

又因△ABT∽△AC1A1，故得

此即

上述問題將埃拉托色尼的三個(gè)直角三角形改為一個(gè)，將兩個(gè)直角三角形的滑動(dòng)改為一個(gè)直角三角形的任意多次滑動(dòng)，將兩個(gè)比例中項(xiàng)的構(gòu)造改為含任意多項(xiàng)等比數(shù)列的構(gòu)造，既改變了條件，也改變了目標(biāo)，故均屬于自由式問題.

4 斜向問題中的三角學(xué)內(nèi)涵

公元3世紀(jì)末4世紀(jì)初，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯(Pappus)將三等分角問題轉(zhuǎn)化成所謂的“斜向問題”[4]：如圖7所示，∠AOB是待三等分的銳角，在OB上取點(diǎn)B，過B作OB的垂線，交OA于點(diǎn)A，設(shè)OA= 1.作矩形COBA，在CA的延長線與AB之間插入長度為2(即OA的兩倍)的線段DE，點(diǎn)D在CA延長線上，點(diǎn)E在AB上，并且DE的延長線經(jīng)過∠AOB的頂點(diǎn)O.易證：OD是∠AOB的三等分線.事實(shí)上，取DE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF，則OA=AF=FD，故∠AOF= ∠AFO= 2∠D= 2∠EOB.

圖7 帕普斯的斜向問題

我們可以從“斜向問題”中挖掘出豐富的三角學(xué)內(nèi)涵，并編制一系列問題.設(shè)∠EOB=α，則∠AOB= 3α，∠AOE= 2α.作AG上ED，垂足為G.

問題1：用α的三角函數(shù)來表示AE、AD、AG、EG和GD.在銳角情形中，你能得到哪些三角公式？

在Rt△AED中，AE=2sinα，AD=2cosα，AG=2sinαcosα，EG=2sin2α，GD=2cos2α.但在Rt△AOG中，AG=sin2α；Rt△AGF中，GF=cos2α=EF-EG=GD-FD，故得二倍角公式

sin2α=2sinαcosα，

cos2α=1-2sin2α，

cos2α=2cos2α-1.

問題2：用2α的三角函數(shù)來表示OE和OD.在銳角情形中，你能得到哪些三角公式？

在△AOD中，OD=OF+FD=2cos2α+1，OE=OF-EF=2cos2α-1.在Rt△DCO和Rt△OBE中，OC=sin3α，OB=cos3α，故得

sin3α=(2cos2α+1)sinα，

cos3α=(2cos2α-1)cosα.

問題3：如圖8所示，在DE上取點(diǎn)H，使得OH=OA=1，易知EG=GH，OE=HF.證明DH=OF，并據(jù)此寫出一個(gè)相應(yīng)的三角公式.

因DH=DG-GH=DG-GE，故有

2cos2α-2sin2α=2cos2α.

圖8 斜向問題的進(jìn)一步拓展

問題4：如圖8所示，過D作OB延長線的垂線，垂足為S.過H、G、E作DS的垂線，垂足分別為P、Q和R.又過H和F作BS的垂線，垂足分別為M和T，HM與ER交于點(diǎn)N.根據(jù)AB、AE和HM之間的關(guān)系以及HP、GQ和ER之間的關(guān)系，分別寫一個(gè)三角公式.

事實(shí)上，由AB=AE+EB=AE+MN=AE+HM-HN可得

sin3α=2sinα+sinα-(4sin2α)sinα=3sinα-4sin3α.

又由HP+ER=OT+ER=OB+BT+ER=2GR可得

cos3α+cosα+2cosα=2(2cos2α)cosα，

即

cos3α=4cos3α-3cosα.

問題5：類比“斜向問題”，設(shè)計(jì)一個(gè)五等分角的方案.

如圖9所示，以O(shè)A為第一個(gè)等腰三角形的腰，依次構(gòu)造四個(gè)等腰三角形，使得第一個(gè)和第三個(gè)三角形的底邊所在直線與CA的延長線交于第四個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn).類似于三等分角的情形，可以得出若干三角公式.

問題1-4以帕普斯的“斜向問題”為出發(fā)點(diǎn)，提出全新的目標(biāo)，且對(duì)條件進(jìn)行特殊化處理，將OA設(shè)為單位線段，故屬于自由式問題，而問題5是一道開放題，也屬于自由式.

圖9 一種五等分角的方案

5 基于三等分角的雙曲線問題

問題1：證明CA=CB.

問題2：以C為圓心、CB為半徑的圓交雙曲線右半支于D，試證明∠ACD=2∠DCB.

問題3：當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及直線CD的方程.

問題4：當(dāng)CD經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及CD的方程.

問題6：是否存在一點(diǎn)C，使得CD與雙曲線的一條漸近線垂直？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

問題7：已知△DAB的底邊AB= 3，∠DBA=2∠DAB，求頂點(diǎn)A的軌跡.

圖10 帕普斯的三等分角方法

6 結(jié)語

以上我們看到，根據(jù)古希臘數(shù)學(xué)家解決“三等分角問題”和“倍立方問題”的方法所編制的一系列數(shù)學(xué)問題大多屬于自由式問題.翻開歷史的畫卷，與今日數(shù)學(xué)課程中特定內(nèi)容相關(guān)的文獻(xiàn)浩如煙海；但我們應(yīng)該清醒地認(rèn)識(shí)到，每一則歷史材料都有其特定的背景和目標(biāo)，它們很少能天然地服務(wù)于今日的課堂教學(xué)，這就是為什么我們需要頻繁運(yùn)用自由式的原因.

另一方面，當(dāng)我們以教學(xué)為目的去看數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)、并通過順應(yīng)式將其轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材時(shí)，一個(gè)逝去時(shí)代所留下的原本冷冰冰的語言文字和思想方法就煥發(fā)出勃勃的生機(jī).教育取向的數(shù)學(xué)史研究的功能就是賦予歷史以生命力，并為今日數(shù)學(xué)課堂注入新的生命力創(chuàng)造良好的條件.