淺析“圓”之?dāng)?shù)學(xué)美

張媛

【摘要】在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何依據(jù)教材對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美學(xué)教育，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，欣賞數(shù)學(xué)的美，探索數(shù)學(xué)的美，是當(dāng)前教師正在研究的一個(gè)課題.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)“圓”中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美學(xué)展開探討.

【關(guān)鍵詞】圓;數(shù)學(xué)美

依據(jù)新課標(biāo)，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，凝練學(xué)科核心素養(yǎng)，夯實(shí)中職學(xué)生文化基礎(chǔ)，彰顯職業(yè)教育特色，要求中等職業(yè)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中改進(jìn)教學(xué)方法，注重實(shí)踐應(yīng)用，提高學(xué)標(biāo)、用標(biāo)、貫標(biāo)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，愛上大美數(shù)學(xué).

早在古希臘時(shí)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就發(fā)現(xiàn)和諧之美，稱一切立體圖形最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形.圓真的最美嗎？按照波利亞的合情推理，在圓所在的平面，通過圓心豎一根軸，按此軸旋轉(zhuǎn)至任何角度，都與原圖重合，就像沒有轉(zhuǎn)過一樣，則含對(duì)稱軸的任何平面都是鏡像對(duì)稱面.可見，圓是平面中完美的對(duì)稱圖形.

那么圓中都蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)美呢？現(xiàn)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

一、簡(jiǎn)潔美

圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓.定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑.

短短的一句話，卻包含著極其豐富的內(nèi)涵，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔美：①圓離不開兩個(gè)基本元素：定點(diǎn)（圓心），定長(zhǎng)（半徑），這為作圖奠定了基礎(chǔ);②圓有別于以往學(xué)習(xí)的直線型圖形，它統(tǒng)一于另一類圖形——曲線圖形，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

二、數(shù)學(xué)美

通過觀察圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+y2=r2，我們發(fā)現(xiàn)其公式的對(duì)稱美、和諧美，沒有其他多余的量，是多么簡(jiǎn)單、整潔.它的周長(zhǎng)和半徑之間有著異常簡(jiǎn)潔的關(guān)系：C=2πr，一個(gè)傳奇的數(shù)π把圓的周長(zhǎng)C和半徑r緊緊相連，反映了兩者之間有著異常和諧的關(guān)系，這是數(shù)學(xué)家的智慧與大自然靈氣撞擊而再生的哲理美，難怪人們用“圓滿”比喻十全十美.

三、外在美

圓是大家非常熟悉的一個(gè)圖形，它完美絕倫，深受人們的喜愛.錢鐘書曾說，“竊嘗謂形之渾簡(jiǎn)完備，無過于圓”.其渾圓，完美，自然天成;其圓熟，速成，出神入化;其圓活，流轉(zhuǎn)，生機(jī)靈動(dòng)，可見其完美.

圍繞新課標(biāo)的實(shí)施，教師可以在教學(xué)過程中合理使用Geogebra軟件，畫出圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的圖像（如下圖），通過觀察圖像可發(fā)現(xiàn)圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與原來圖形重合.圓的外在美使人感到舒適、圓潤(rùn)與和諧.

四、數(shù)學(xué)思想美

1.運(yùn)動(dòng)、變化思想

圓中體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)、變化思想的素材十分豐富，如上圖，通過創(chuàng)建滑動(dòng)條r這個(gè)變量，通過拖動(dòng)使r的大小進(jìn)行變動(dòng)，從而圓的大小也在變動(dòng)，這可以增強(qiáng)學(xué)生的視感，也可以加深學(xué)生對(duì)同心圓的理解，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣.

同時(shí)，由圓的定義看圓的形成過程，運(yùn)動(dòng)、變化都十分自然;從x2+y2=r2這個(gè)方程看，在-r≤x≤r的范圍內(nèi)，x變化，y也相應(yīng)變化;同樣，在-r≤y≤r的范圍內(nèi)，y變化，x也相應(yīng)變化;從數(shù)量關(guān)系看，數(shù)值大小在變化，而從圖形的特征來分析，點(diǎn)的位置也在變化.

2.數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚曾說過，“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”.在某些問題中，可以通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和互相轉(zhuǎn)化來解決，使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

例1 已知集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=9-x2}，若M∩N≠，求b的取值范圍.

分析 由于本題所給圓不是整圓，而僅是圓的一部分，所以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想處理.

3.轉(zhuǎn)化思想

在研究和解決有關(guān)圓的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可通過觀察、分析、判斷將問題化歸為圓的方程問題，利用方程的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的.一般地，總是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.

例2 求圓（x-2）2+（y+3）2=4上的點(diǎn)到直線x-y+2=0的最小、最大距離.

分析 由于圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，依其對(duì)稱性，圓上的點(diǎn)到直線的最?。ù螅┚嚯x為圓心到直線的距離減去（加上）半徑.涉及與圓有關(guān)的距離問題，大部分可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題.

五、文化內(nèi)涵美

《說文解字》說：圓，全也.《呂覽審時(shí)》說：圓乃豐滿也.《康熙字典》說：圓即圓滿、周全、完備等之意.天圓地方是中國(guó)的傳統(tǒng)思想，古人有“圓而神，方以智”之說，可見圓之于古人，不但成為圖騰崇拜的象征，也賦予方圓思辨的哲學(xué)意象.方的極限是圓，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)趨向于無窮大時(shí)，正多邊形的周長(zhǎng)就逼近于圓的周長(zhǎng).祖沖之就是按此思想計(jì)算圓周率的.

六、圓周率π之愛國(guó)情操美

南北朝的時(shí)候，祖沖之為了計(jì)算圓周率，他在自己書房的地面畫了一個(gè)直徑1丈的大圓，從這個(gè)圓的內(nèi)接正六邊形一直作到24576邊形，然后一個(gè)一個(gè)算出這些多邊形的周長(zhǎng).那時(shí)候的數(shù)學(xué)計(jì)算，不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字，而是用竹片作的籌碼計(jì)算.他夜以繼日，成年累月，終于算出了圓的內(nèi)接正24576邊形的周長(zhǎng)等于3丈1尺4寸1分5厘9毫2絲6忽，還有余.因而得出圓周率π的值就在3.1415926與3.1415927之間，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后7位，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平.據(jù)《隋書》記載：密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五.祖沖之“更開密法”求出的圓周率近似值的精確度，過了一千多年才被西方數(shù)學(xué)家超越.

七、應(yīng)用廣泛美

可以由圓引申到圓與直線的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，以及圓的一般方程中各個(gè)系數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系.學(xué)好圓，對(duì)于學(xué)習(xí)平面幾何是至關(guān)重要的.利用圓中的數(shù)學(xué)美，可促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化.通過數(shù)學(xué)規(guī)律的整理，可以體現(xiàn)教材的內(nèi)在聯(lián)系，從而更好地體會(huì)知識(shí)結(jié)構(gòu)，并優(yōu)化之.

如借圓的對(duì)稱美，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與對(duì)稱有關(guān)的定理和圖形，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)過的平面幾何定理和圖形的再認(rèn)識(shí);利用圖中的“不變量”，引發(fā)對(duì)解題規(guī)律的總結(jié)，優(yōu)化解題思路.如，相對(duì)于圓中的弦，直徑是一個(gè)不變量;相對(duì)于圓外一點(diǎn)，向圓所做的切割線，切線是不變量等.

總而言之，圓是美的，數(shù)學(xué)是美的.而中職數(shù)學(xué)教師要通過各種方法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，因?yàn)椤皵?shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解、對(duì)數(shù)學(xué)人文精神的領(lǐng)會(huì)都會(huì)在數(shù)學(xué)課堂上體現(xiàn)出來，影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和把數(shù)學(xué)應(yīng)用到他們的生活實(shí)際當(dāng)中.”

因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)加強(qiáng)與現(xiàn)代化信息技術(shù)的有機(jī)整合，強(qiáng)化工具的使用，促進(jìn)課程的優(yōu)化，體現(xiàn)職教特色，使數(shù)學(xué)服務(wù)于專業(yè)課，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，全面落實(shí)“立德樹人”，為國(guó)家培育具有社會(huì)主義核心價(jià)值觀的優(yōu)秀建設(shè)者和接班人.

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