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    HPM視角下的高中數(shù)學新授課教學設(shè)計與反思

    2021-05-06 15:39:36毛永強
    數(shù)學學習與研究 2021年10期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學史數(shù)學文化

    毛永強

    體現(xiàn)數(shù)學的文化價值是我國《普通高中數(shù)學課程標準》的基本理念之一,隨著新課程的全面實施,如何在教材中體現(xiàn)數(shù)學文化,如何在課堂中滲透數(shù)學文化,如何在中學數(shù)學教學中融入數(shù)學文化,受到我國中學數(shù)學教育界的普遍關(guān)注.筆者認為將數(shù)學史引入課堂是體現(xiàn)數(shù)學文化最有效的著力點.

    本文以“等差數(shù)列前n項和公式”的教學為例,嘗試如何在新授課教學中體現(xiàn)數(shù)學史與數(shù)學文化教育.

    一、教學內(nèi)容分析

    “等差數(shù)列前n項和公式”是滬教版第7章“數(shù)列與數(shù)學歸納法”第二節(jié)的內(nèi)容,教材由高斯求和引入,得出等差數(shù)列前n項和公式,[JP2]用高斯求和法引入一般等差數(shù)列前n項和公式,為“倒序求和法”搭建了一個十分恰當?shù)摹澳_手架”.[JP]

    從數(shù)學歷史視角分析,等差數(shù)列前n項和公式是這樣推導(dǎo)的嗎?要讓學生用好等差數(shù)列前n項和公式就必須讓學生明白公式的由來以及公式背后所隱藏的數(shù)學思維過程以及數(shù)學思想方法.

    基于這種想法,本案例在史料分析的基礎(chǔ)上,依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”原理,從學生初中已經(jīng)掌握的知識出發(fā),探求等差數(shù)列前n項和公式.

    二、史料分析與選取

    兩百多年前,德國數(shù)學家高斯10歲的時候,有一次老師教完加法后提出了一個問題:1+2+3+…+100=?其他同學過了很長時間才交卷,而且沒有一個算對的,高斯用首尾相加的辦法得出結(jié)果,這就是今天“倒序相加法”的雛形.其實,高斯并不是歷史上第一個使用該方法求等差數(shù)列和的數(shù)學家,追溯歷史,在高斯之前有許多智者已經(jīng)推導(dǎo)了等差數(shù)列的求和公式,分述如下.

    (1)《九章算術(shù)》成書于公元一世紀,其中有個問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,在最粗的一端截下1尺,重4斤;在最細的一端截下1尺,重2斤,問依次每一尺各重多少斤?”.

    (2)丟番圖撰寫的《論多邊形數(shù)》,時間大約在公元三世紀,書中用幾何方法證明了首項為a,末項為l,項數(shù)為n的等差數(shù)列之和為S=n(l+a)2.

    (3)《張邱健算經(jīng)》成書于公元5世紀,其中有一題:“今有女不善織,日減功遲.初日織五尺,末日織一尺,今三十日織訖,問織幾何?”解曰:“并初、末日織尺數(shù),半之,余以乘織訖日數(shù),即得”.本題作為問題三.

    (4)阿爾·卡克希撰寫的《代數(shù)之榮耀》,約公元973~1048年,書中記載:1+2+3+…+n=n(n+1)2,阿爾·卡克希用倒序相加法證明了上述命題,并且把這種方法用于一般的等差數(shù)列求和,本案例將其改編為求三角形圖案中寶石的個數(shù).

    (5)宋代著名數(shù)學家楊輝在《續(xù)古摘奇算法卷上》(1275年與他人合編)有一個問題:“天數(shù)一三五七九,地數(shù)二四六八十,積五十五”.求積法曰:“并上下數(shù)共一十一,以高數(shù)十乘之,得百一十,折半得五十五,為天地之數(shù)”.

    這些古今中外的結(jié)論都要早于高斯對等差數(shù)列前n項和公式的探究,當然,說不定在《九章算術(shù)》之前,還有人給出了等差數(shù)列的求和公式,或者已經(jīng)在應(yīng)用等差數(shù)列求和公式的思想和方法解決問題,只是這些成果隕落在歷史的塵埃里了.

    基于上述史料分析,結(jié)合本課教學目標,設(shè)計下列教學過程.

    三、教學過程設(shè)計

    1.情境引入

    問題1.德國著名數(shù)學家高斯10歲的時候很快就解決了問題:1+2+3+…+100=?你知道高斯是怎樣算出來的嗎?

    問題2.下圖是設(shè)計師設(shè)計的一個以寶石鑲嵌的三角形圖案,共有n層(見圖1),請你算一算這個圖案一共需要多少顆寶石?

    生1:共有(1+2+3+…+n)個.

    師:你能把它加起來嗎?

    生1:茫然……

    師:我們回顧一下初中是怎樣求三角形面積的?

    生2:將三角形旋轉(zhuǎn)倒置,與原三角形相接構(gòu)成一個平行四邊形,這樣每一個三角形的面積是四邊形面積的一半.

    生2:也可以用這個方法求解前n個自然數(shù)的和.如圖2,在三角形旁邊倒立一個同樣的三角形構(gòu)成一個平行四邊形,求圖案中寶石的個數(shù).

    設(shè)計意圖:把阿爾·卡克希記載的1+2+3+…+n=n(n+1)2的結(jié)論通過三角形圖案的寶石個數(shù)直觀表示出來,借用初中三角形面積的求解,既為學生搭建了合理的“學習支架”又滲透了數(shù)學歷史文化.

    2.公式推導(dǎo)

    定義:數(shù)列的前n項和是把數(shù)列的前n項加起來:Sn=a1+a2+…+an.

    右圖“割”,即把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形,梯形面積即為平行四邊形面積與三角形面積之和.

    設(shè)計意圖:以形助數(shù),借助圖像加深公式記憶,給出公式的幾何解釋.

    4.公式應(yīng)用(略)

    小結(jié):本節(jié)課掌握了那些知識?用到那些方法?(學生小結(jié)師補充)

    四、基于數(shù)學文化的教學反思

    本案例沒有照本宣科地完全按照課本內(nèi)容設(shè)計,而是先對本節(jié)課所涉及的數(shù)學史進行深入研究,將其中適合本節(jié)課的內(nèi)容貫穿其中,讓學生既欣賞到“冰冷的美麗”又感受到“火熱的發(fā)現(xiàn)”,具體體現(xiàn)在以下幾個方面:

    1.緊扣課標準確定位教學目標,融入數(shù)學史激發(fā)學生學習興趣

    《普通高中數(shù)學課程標準》重視數(shù)學文化在教學中的滲透,強調(diào)把數(shù)學文化融入數(shù)學教學過程中,筆者認為把數(shù)學史融入教學是滲透數(shù)學文化的有效方法之一,通過數(shù)學史尋找數(shù)學概念的發(fā)展過程,在潛移默化中提高學生的思想文化修養(yǎng).基于此確定了本節(jié)課的教學目標,從兩個鮮活實例引入,激發(fā)了學生的學習興趣,如果抽去案例本身的背景,建構(gòu)數(shù)學模型后發(fā)現(xiàn)它們是同一個問題,即等差數(shù)列的求和問題,自然過渡到本節(jié)的主題.

    2.精雕細琢,挖掘數(shù)學文化素材,開拓學生數(shù)學視野

    能否在數(shù)學教學中滲透數(shù)學歷史文化關(guān)鍵取決于教師的意識,落實在于教學素材的選取,素材選取一般是通過挖掘數(shù)學歷史名題,這些題目通過代代相傳又經(jīng)過琢磨提煉,經(jīng)受了歷史的檢驗,最終成為數(shù)學百花園中的奇花異草,也是數(shù)學文化的重要載體,就本節(jié)課“等差數(shù)列前n項和”而言,《九章算術(shù)》中《盈不足》第19題、《衰分》第1題、《均輸》第17題、第18題都是很好的“學材”,《算法統(tǒng)宗》《張邱建算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《四元玉鑒》《洛書》都有大量關(guān)于等差數(shù)列前n項和的相關(guān)題目,本案例通過例題分析,讓學生穿越時空,開拓學生數(shù)學視野,充分感受數(shù)學文化的魅力.“千淘萬漉雖辛苦,吹盡狂沙始到金”,數(shù)學歷史文化與數(shù)學知識相輔相成,能激發(fā)學生的學習興趣,有效落實學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標.

    3.滲透數(shù)學文化,培養(yǎng)學生探究能力

    本案例以高斯算法為例,具體求解自然數(shù)前100項的和,以寶石鑲嵌圖案為背景從具體數(shù)字出發(fā)過渡到自然數(shù)n,即第1層到第n層,依據(jù)初中知識構(gòu)建學習支架,即通過在三角形旁邊倒立一個同樣的三角形構(gòu)成一個平行四邊形,直觀形象的說明等差數(shù)列前n項和的本質(zhì).此時,等差數(shù)列求和方法“呼之欲出”,推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項和公式“水到渠成”,從特殊到一般培養(yǎng)學生的探究能力.

    HPM視角下高中數(shù)學課堂教學,為師生了解數(shù)學發(fā)展歷程提供了新的思路,通過史料分析,名題呈現(xiàn)感受數(shù)學發(fā)展的心路歷程,體驗數(shù)學歷史文化,有效傳承人類思維方式和探索本能的血脈.

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