平均數(shù)計(jì)算中的幾種誤解

黃發(fā)勝

【摘要】平均數(shù)計(jì)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見、最基本的計(jì)算，是每個(gè)學(xué)生都必須牢固掌握的計(jì)算，但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在解有關(guān)平均數(shù)的計(jì)算題時(shí)卻常常出現(xiàn)錯(cuò)誤.本文收集了一些常見錯(cuò)誤題型，詳細(xì)分析了錯(cuò)誤原因，并形成理論知識(shí)，定義了三種平均數(shù)，給出了計(jì)算公式，以便于師生應(yīng)用推廣.

【關(guān)鍵詞】平均數(shù);計(jì)算;誤解

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念.在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)在小學(xué)教材中零散出現(xiàn)，到初中數(shù)學(xué)中才系統(tǒng)地呈現(xiàn).作為統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的平均數(shù)，其定義及計(jì)算也是逐漸擴(kuò)展的.小學(xué)數(shù)學(xué)里所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù)，也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商.在統(tǒng)計(jì)中，算術(shù)平均數(shù)通常反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用來反映一組數(shù)據(jù)的“重心”.平均數(shù)有直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，可以反映出一組數(shù)據(jù)最直觀的分布情況，所以在日常生活中使用廣泛，如平均成績(jī)、平均質(zhì)量、平均身高等.

[JP2]在小學(xué)數(shù)學(xué)中，把兩個(gè)數(shù)的和除以2后所得的數(shù)叫作這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這一定義一直延續(xù)到初三.在初三“統(tǒng)計(jì)初步”一章中，把兩個(gè)數(shù)x1，x2的平均數(shù)定義為x-=12（x1+x2），[JP]推廣后得到n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x-=1n（x1+x2+…+xn）.簡(jiǎn)而言之，小學(xué)到初中，求平均數(shù)的方法是：幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的和再除以幾.然而正是這種傳統(tǒng)的習(xí)慣求法，導(dǎo)致學(xué)生不具體分析問題，機(jī)械地亂套公式，這不利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.下面我們通過幾個(gè)例子分析學(xué)生在平均數(shù)計(jì)算中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤及產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.

一、計(jì)算平均數(shù)的實(shí)例

例1 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的產(chǎn)值，去年比前年增長(zhǎng)20%，今年又比去年增長(zhǎng)30%，問：這兩年的平均增長(zhǎng)率是多少？

例2 有一不等臂天平，把某一物體置于左盤，稱得質(zhì)量為1千克;把此物體置于右盤，稱得質(zhì)量為0.81千克，求此物體的實(shí)際質(zhì)量.

例3 某同學(xué)騎自行車從家去縣城，去時(shí)速度為10千米/時(shí)，返回時(shí)速度為20千米/時(shí)，求此同學(xué)往返的平均速度.

二、平均數(shù)計(jì)算中常見的誤解

上面三例都是平均數(shù)計(jì)算問題，例2雖沒提出計(jì)算平均質(zhì)量，但根據(jù)有關(guān)物理知識(shí)可知，也是求平均數(shù)問題.受傳統(tǒng)平均數(shù)概念的影響，學(xué)生出現(xiàn)了下面解法.

例1 平均增長(zhǎng)率x-=12×（20%+30%）=25%.

例2 實(shí)際質(zhì)量m=12×（1+0.81）=0.905（千克）.

例3 平均速度v=12×（10+20）=15（千米/時(shí)）.

三、上面三例的正確解法及推廣

對(duì)待任何問題都要具體分析，抓住問題的主要矛盾.這一原理反映在數(shù)學(xué)上就是要弄清題意，抓住問題涉及的定理或定義，從而找到解決問題的方法.下面我們把提出的問題加以討論，得出一般性的結(jié)論.

1.若去年的增長(zhǎng)率為a，今年的增長(zhǎng)率為b，設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為x.

把前年的產(chǎn)值看作“1”，則去年產(chǎn)值為1+a，今年的產(chǎn)值為（1+a）（1+b）.又因?yàn)槟昶骄鲩L(zhǎng)率為x，故今年產(chǎn)值為（1+x）2.于是有方程：

五、平均數(shù)計(jì)算中的錯(cuò)誤辨析

1.例1中，錯(cuò)誤解法為：x-=20%+30%2=25%，現(xiàn)在分析一下產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：

① 兩次增長(zhǎng)的百分率不能簡(jiǎn)單地相加，由于增長(zhǎng)前后每年的基數(shù)不同，即今年比前年的增長(zhǎng)率不是20%+30%=50%，而是（1+20%）（1+30%）-1=56%.

② 平均增長(zhǎng)率也不能用增長(zhǎng)率除以2計(jì)算，即50%÷2=25%是錯(cuò)誤的，且56%÷2=28%也是錯(cuò)誤的，由公式（1） 知：1+x是1+a與1+b的幾何平均數(shù)，而幾何平均數(shù)根本不需除以2，故正確解為：

x=（1+20%）（1+30%）-1≈24.9%.

③ 囿于習(xí)慣算法，誤把幾何平均數(shù)問題當(dāng)成算術(shù)平均數(shù)問題，因而出現(xiàn)理論性錯(cuò)誤.

2.例2中，錯(cuò)誤解法為m=1+0.812=0.905（千克），產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因有以下幾點(diǎn)：

① 沒有抓住問題的關(guān)鍵——杠桿平衡原理，是產(chǎn)生錯(cuò)誤的根本原因.

② 對(duì)物理課本中的論述“多次測(cè)量取平均值，這樣可減小誤差，使測(cè)量結(jié)果更接近真實(shí)值”沒有理解透徹，而錯(cuò)誤地把兩次測(cè)得的值的平均值當(dāng)成真實(shí)值.

③ 本題求的是幾何平均值，正確的結(jié)果是m=m1m2=0.9（千克），即使算術(shù)平均數(shù)也巧合為0.9千克，理論上仍是錯(cuò)誤的.

3.例3中求平均速度出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是：

① 對(duì)平均速度概念不理解是產(chǎn)生錯(cuò)誤的根本原因.平均速度=總路程/總時(shí)間，而不等于來去速度的算術(shù)平均值.

② 對(duì)“平均”片面的、習(xí)慣的理解是產(chǎn)生錯(cuò)誤的另一個(gè)原因，根據(jù)公式（4），本題的平均速度v是v1與v2的調(diào)和平均數(shù)，

即v=2110+120=403（千米/時(shí)），難怪v=10+202=15（千米/時(shí)）錯(cuò)了.

從上面分析的結(jié)果看，產(chǎn)生誤解的一個(gè)重要原因是：沒有對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析，囿于習(xí)慣定式，思維狹隘，亂套公式.因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要更加注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，適當(dāng)擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，如引入幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的概念，這樣學(xué)生就不會(huì)把平均數(shù)簡(jiǎn)單理解為算術(shù)平均數(shù)，既可防止平均數(shù)計(jì)算中出現(xiàn)類似錯(cuò)誤，又能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，推動(dòng)素質(zhì)教育的發(fā)展.

六、平均數(shù)計(jì)算中出現(xiàn)誤區(qū)的原因分析

1.在平均數(shù)概念界定上的誤區(qū)

現(xiàn)在仍然有不少學(xué)生認(rèn)為“平均數(shù)”就是“算術(shù)平均數(shù)”，把平均數(shù)計(jì)算程序化、機(jī)械化.造成這個(gè)局面的原因既有教師教的原因，如沒有把概念講透或沒有對(duì)比不同類型的平均數(shù)計(jì)算，也有學(xué)生不認(rèn)真學(xué)習(xí)的原因，如對(duì)概念理解粗糙.

2.相關(guān)學(xué)科知識(shí)重點(diǎn)的理解偏移

雖然平均數(shù)計(jì)算已經(jīng)不是教學(xué)中的難點(diǎn)，但如果學(xué)生對(duì)各學(xué)科中相應(yīng)知識(shí)的理解不夠，如物理學(xué)中的平均速度、平均質(zhì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)中的增長(zhǎng)率問題等，他們?nèi)匀粫?huì)把理解的重點(diǎn)放在算術(shù)平均數(shù)的概念上，把相應(yīng)學(xué)科中的概念理解偏了，比如平均速度是指在一段時(shí)間內(nèi)通過的總距離除以總時(shí)間，而不能理解成幾個(gè)速度的平均值.

3.對(duì)“平均數(shù)的求法”只顧算法，沒有方法

關(guān)于平均數(shù)的求法，大多數(shù)學(xué)生死套公式，不做具體分析，大部分教師在課堂上只講解題模式，為后面的平均數(shù)應(yīng)用題服務(wù).這就造成一個(gè)學(xué)習(xí)理解的誤區(qū)，學(xué)生只是想如何套用老師講的解題模型，而不是探究怎樣得出解決這個(gè)問題的方法，因此常常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤解法.

七、平均數(shù)計(jì)算拓展練習(xí)

1.某廠1月份產(chǎn)值為12萬元，2月份比1月份增長(zhǎng)10%，3月份又比2月份增長(zhǎng)14%，求每月的平均增長(zhǎng)率.

2.有一個(gè)杠桿（支點(diǎn)固定），當(dāng)從左端下壓撬起一重物時(shí)，用100牛的力，從右端下壓撬起同一重物時(shí)，用900牛的力，問：這一物體的質(zhì)量是多少？

3.某市舉報(bào)中心的信件處理員每天都要處理一定量的信件，已知處理員小李第一天處理信件的速度為6封/時(shí)，第二天處理的速度為12封/時(shí)，問：小李這兩天平均的處理速度是多少？

4.“十一”長(zhǎng)假期間，小李一家從天水出發(fā)到蘭州去旅游，前一半路上的速度為40千米/時(shí)，后一半路上的速度為60千米/時(shí)，試問：整段路上的平均速度是多少？

5.如果一個(gè)正方形與一個(gè)矩形的面積相等，那么正方形的邊長(zhǎng)是矩形長(zhǎng)與寬的什么平均數(shù)？