數(shù)學思想方法在高中教學中的滲透研究

趙凌昆

【摘要】作為數(shù)學教育工作者，我們不僅要在課堂上將數(shù)學知識傳授給學生，更要幫助學生掌握足夠多的數(shù)學思想方法，引導他們用這些思想方法去觀察問題，分析問題，并且解決生活中的實際問題.因此，在數(shù)學課堂上加強思想方法的滲透就變得尤為重要.下面筆者結(jié)合自己的實際教學經(jīng)驗，淺談幾點在高中教學中加強數(shù)學思想方法滲透的策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學思想方法;滲透;高中;教學

一、 在課前備課環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學思想方法

我們在講授課本上的數(shù)學知識時，可以向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法，而要做到這點，就需要我們教師在備課環(huán)節(jié)中選擇適當?shù)慕虒W策略將數(shù)學思想方法融入課堂.

比如，當我們在設(shè)計等差數(shù)列前n項求和公式這節(jié)課時，可以選用數(shù)列章節(jié)序言中的第一個案例（劇場安排座位）引入這堂課，也可以選用“閱兵方陣”這個案例，讓學生嘗試用數(shù)列的觀點研究這個方陣，尋找隊列人數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，內(nèi)化等差數(shù)列中首項、項數(shù)、公差的概念，引導學生將實際問題中的數(shù)量關(guān)系用抽象的數(shù)學符號進行描述，進一步培養(yǎng)學生觀察的能力，和從實際問題中抽象出數(shù)學知識的能力.同時，我們要讓學生自行提出問題進行研究，感受研究等差數(shù)列的前n項和并不是“心血來潮”，而是有據(jù)可依.在拋出具體的求固定區(qū)域內(nèi)的總?cè)藬?shù)問題后，我們讓學生自主探究，教師從代數(shù)和幾何方面預(yù)設(shè)學生處理問題的幾種方案，這其中就有“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，學生可能會想到將方陣進行“割補”，將不同項的和轉(zhuǎn)化成相同項的和.處理完這個案例后，教師緊跟著拋出第二個問題，由學生自主探究如何解決一般情況下等差數(shù)列{an}的前n項和，并追問需要知道哪些基本量才可以求和，這背后也滲透著從特殊到一般的數(shù)學思想.學生在探究處理時，自然會對數(shù)列中的項進行配對再求和，這里就會對總項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)形成討論，這里又滲透著分類討論的數(shù)學思想.所以，一堂公式推導課，師生就共同挖掘了三種思想方法.要想達到這樣的效果，就要求我們數(shù)學教師在課前備課時不僅要備好數(shù)學知識，也要善于挖掘隱藏在知識中的數(shù)學思想方法.

二、 在數(shù)學概念的建構(gòu)中滲透數(shù)學思想方法

（一）使用類比法進行概念的教學

數(shù)學概念是學生學習數(shù)學的基礎(chǔ)，是數(shù)學思維的核心.系統(tǒng)的概念教學是至關(guān)重要的.當新舊概念間有著密切的聯(lián)系時，學生可通過類比的數(shù)學思想探索新概念中所具有的性質(zhì)，即兩者之間有很多相同或相近的性質(zhì)，但是某些方面的差別還是存在的.因此，教師在教學過程中應(yīng)對學生進行有效引導，使其掌握新舊概念間的區(qū)別和聯(lián)系，從而達到觸類旁通的效果.例如在蘇教版必修四“三角函數(shù)”一章中，“正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”與下一節(jié)“余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”，在設(shè)計教案時，教師就可以采取類比的方法來設(shè)計.再比如“數(shù)列”章節(jié)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、公式等也可以通過類比法組織教學，這樣，學生主動建構(gòu)知識的積極性也會隨之提高.

（二）使用數(shù)形結(jié)合的方法進行概念教學

我們知道，高中數(shù)學中的很多概念都比較抽象，學生接觸這些抽象概念的時候，一般會感到枯燥，而利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠直觀地引入概念，將抽象問題具體化.例如，“指數(shù)函數(shù)”這一節(jié)課的教學可以做如下設(shè)計：先讓學生感受并列舉生活中指數(shù)函數(shù)的實例，然后讓學生嘗試畫指數(shù)函數(shù)，畫圖前，先將學生分成若干組，各組畫不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，畫好后，讓學生先觀察自己組所畫指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，然后對比其他組的，找出其中共同的性質(zhì)，再進行歸納總結(jié).一堂抽象的函數(shù)新授課在數(shù)形結(jié)合的思想下就顯得不那么抽象、枯燥了.

三、在數(shù)學解題的過程中滲透數(shù)學思想方法

（一）在審題中滲透數(shù)學思想方法

在解題時，教師要反復引導學生看到題目后先認真審題，弄清楚題目給了什么，要求什么，再找到相對應(yīng)的解題思路.

例：設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2ln x，a∈R，求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立.

如果注意到可將定義域分解成（0，1]和（1，3e]，進而對ln x≤0和ln x>0進行討論，就可以用“分離參數(shù)”來解決這道題：當x∈（0，1]時，ln x≤0，原不等式等價為（x-a）2ln x≤4e2 對任意a∈R恒成立;當x∈（1，3e]時，原不等式可轉(zhuǎn)化為a≥x-2eln x，a≤x+2eln x，求出兩個函數(shù)的最值即可.

（二）在探究解題思路的過程中滲透數(shù)學思想方法

教師在解題教學中應(yīng)引導學生對問題的已知條件進行分析，明確要求的數(shù)學問題需要的條件，然后讓學生自己研究，或小組討論找到解決問題的方法.

例如，在處理解析幾何中的點共線問題時，可以引導學生從以下幾個方面證明點共線：（1）利用斜率相等，由kAB=kBC=kAC證明三點共線;（2）利用平面向量共線定理，驗證是否存在實系數(shù)λ，滿足AB=λBC;（3）求出直線AB的方程，代入點C的坐標進行驗證;（4）計算|AB|，|BC|，|AC|，利用|AB|+|BC|=|AC|驗證.

前兩種方法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，方法三體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，最后一種方法又滲透了化歸的思想.

（三）反思解題過程，總結(jié)提煉數(shù)學思想方法

同一個數(shù)學知識可能包含多種思想方法，不同的數(shù)學知識也可能包含相同的思想方法，要想理清這些知識、思想方法，課堂小結(jié)是一個重要的環(huán)節(jié).在這個過程中，既能訓練學生的思維邏輯，又能訓練學生數(shù)學語言的表達能力和概括能力，使學生更好地掌握知識的脈絡(luò)，建立清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，讓學生充分體會數(shù)學的美感和價值.所以對每一節(jié)課的數(shù)學思想方法進行歸納、總結(jié)、提煉，甚至是升華，是培養(yǎng)學生思維的重要途徑.一旦學生能夠自行總結(jié)對數(shù)學問題的理解，那么學生的數(shù)學素養(yǎng)必然得到切實提升.

例：已知a>0，b>0，a+b=ab，求a+b的最小值.

學生最先想到的是使用基本不等式里最常用的技巧“常值1”的代換來處理該題，首先將條件等式兩邊同時除以ab，構(gòu)造1a+1b=1，然后將目標函數(shù)乘以1a+1b，問題不變，但結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，構(gòu)造出兩個乘積為定值的正數(shù)，進而使用基本不等式求解.將問題變式：已知a>0，b>0，a+b+1=ab，求a+b的最小值.學生很明顯發(fā)現(xiàn)增加常數(shù)項后，不能用“常值1”的代換處理了.這時就需要發(fā)現(xiàn)題目結(jié)構(gòu)上的特點，條件與問題都出現(xiàn)了a+b這兩個正數(shù)的和，那么如果利用ab≤a+b22將乘積ab不等轉(zhuǎn)換為a+b，則條件變成關(guān)于a+b的二次不等式，進而求解.這里和、積的轉(zhuǎn)換滲透著轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.原題和變式的切換中，教師要引導學生一步步對試題的結(jié)構(gòu)認真分析，尋找突破口，從而找出適當?shù)慕夥?乘勝追擊，再提出變式：已知a>0，b>0，a+b+1=ab，求3a+b的最小值.學生發(fā)現(xiàn)和、積轉(zhuǎn)換的方法也不適用了.教師可引導學生回歸問題本質(zhì)，以上各題均為雙變量函數(shù)求最值問題，為何不能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的單變量函數(shù)求最值問題呢？此時，消元的思想應(yīng)運而生.我們發(fā)現(xiàn)無論是增加常數(shù)項還是調(diào)整變量系數(shù)，只要提供雙變量滿足的等量關(guān)系式，無論題怎么變，消元法都能輕松解決，通性通法才是解題教學的精髓.從原題到變式，難度一點點上升，學生在教師的引導下，尋找試題間的區(qū)別、聯(lián)系與規(guī)律，學會知識遷移，對數(shù)學思想方法的認識程度也隨之不斷提高，思維的靈活性得到加強，這是解題學習中重要的活動經(jīng)驗.

平時解題教學時，教師一定要引導學生分析試題的結(jié)構(gòu)特征，從結(jié)構(gòu)上尋找破題的思路，要引導學生整理解題的邏輯過程，以及解題過程中使用的數(shù)學思想方法，并且與之前遇到的類似問題做對比，進而上升到一個更高的解題境界，即用通性通法解決問題，因為掌握核心數(shù)學思想對學生解題能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.

目前高中數(shù)學教學中，學生學習最大的困擾就在于數(shù)學知識比較分散，不易掌握.但是，過去的知識與當前的知識是存在某種“神秘”聯(lián)系的，其實這種聯(lián)系就是數(shù)學思想方法，這些思想方法就像是一座座連接數(shù)學知識的“橋梁”，架起整個高中數(shù)學的知識框架.教師做好以下幾點，就能幫助學生架起這些“橋梁”：①善于總結(jié)，反復訓練.學生對新知識、新思想的接受是有一個過程的，只有通過不斷地重復學習才能在感性認知的基礎(chǔ)上上升至理性認識，同時我們也要及時總結(jié)經(jīng)驗方法，使學生能高效率地掌握數(shù)學知識與思想方法.②因材施教，循序漸進.高中起始階段，學生對數(shù)學知識的理解還很有限，思想方法又是對數(shù)學知識的進一步概括和總結(jié)，想要學生一開始就掌握很多思想方法是不可能的，這就需要我們實行循序漸進、螺旋上升的教學原則，緊扣書本上的知識，用學生熟悉的問題背景創(chuàng)設(shè)教學情境，慢慢滲透數(shù)學知識與思想方法.③深入分析，系統(tǒng)概括.數(shù)學教學離不開解題教學，解題教學表面上是解決某一道數(shù)學題目，實際背后是解決一連串的數(shù)學問題.在解決問題的過程中，要不斷分析、探索問題中的隱含條件，挖掘題目背后的源知識，將各知識模塊系統(tǒng)地整合在一起，將各思想方法有效地串聯(lián)在一起，從而使學生認清本源，系統(tǒng)學習數(shù)學知識.④激發(fā)內(nèi)驅(qū)力，提升學習興趣.眾所周知，“興趣是最好的老師”.教師在做教學設(shè)計時，可以將數(shù)學文化滲透到課堂教學中來，并設(shè)計一些有趣的教學活動，提高學生的參與熱情.

在數(shù)學科學大發(fā)展的背景下，數(shù)學思想方法的教學意義顯得尤為突出，教師要適時地引導學生發(fā)現(xiàn)和掌握隱藏在數(shù)學課本內(nèi)容背后的數(shù)學思想方法，這樣才能優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，提高學生的思維能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，學生才能真正了解數(shù)學的魅力，形成科學的數(shù)學觀和世界觀，最終促進其整體核心素養(yǎng)的提升.而數(shù)學思想方法的滲透是一個長期的持續(xù)的過程，教師要在平時多滲透數(shù)學思想方法，將其落實到每一個教學環(huán)節(jié)中去，使學生在解決數(shù)學問題時會不自覺地考慮到思想方法，并能合理地運用思想方法分析問題、解決問題，如此堅持下去，我們的數(shù)學教育才能真正落實立德樹人的根本任務(wù).

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