基于知識(shí)銜接的概念教學(xué)探究
——以“三角函數(shù)”為例

王 偉

（星海中學(xué),浙江寧海315600）

概念教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷概念引入、形成、應(yīng)用的過(guò)程。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的起點(diǎn)，是深層次學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，概念教學(xué)就顯得尤為重要。但數(shù)學(xué)教學(xué)并不能只停留于概念教學(xué)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的可持續(xù)性，利用概念教學(xué)完善學(xué)生的知識(shí)架構(gòu)，注重銜接，這更加有助于學(xué)生的發(fā)展性學(xué)習(xí)?，F(xiàn)結(jié)合浙教版九年級(jí)下冊(cè)第一章第一節(jié)《三角函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)較系統(tǒng)地論述如何做好概念課的教學(xué)以及知識(shí)的銜接。

1 探索概念

探究一 1. 一次函數(shù)y=2x的圖象如圖1 所示：（1） 在圖象第一象限上取點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)作AA1⊥x軸于點(diǎn)A1，BB1⊥x軸于點(diǎn)B1，那么比值與是否相等；（2）比值與與是否相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若將一次函數(shù)解析式更改為y=kx，上面的比值是否依然相等。

圖1

設(shè)計(jì)意圖：教材中建議以生活中熟悉的場(chǎng)景作為本節(jié)課的情境引入，例如山坡、屋頂?shù)男泵?，或直接用木板搭建斜面?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，借助已有的現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)研究邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系。在函數(shù)概念的探究過(guò)程中，初中階段的學(xué)生抽象思維能力多屬于經(jīng)驗(yàn)型，而高中階段的則更多的是理論型。教學(xué)中要更多地關(guān)注學(xué)生的思維轉(zhuǎn)型，舍棄實(shí)際問(wèn)題借助一次函數(shù)研究三角函數(shù)概念，更加有利于學(xué)生的抽象思維由經(jīng)驗(yàn)型向理論型轉(zhuǎn)化。一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)可以直觀地得出一對(duì)比值相等的線段，通過(guò)勾股定理計(jì)算OA、OB的長(zhǎng)度也可以間接得出兩對(duì)比值相等的線段，相較于實(shí)際問(wèn)題的引入計(jì)算更加直接、方便，也更“貼近”三角函數(shù)的概念，更有助于探索三角函數(shù)的本質(zhì)。同時(shí)本節(jié)新授課內(nèi)容涉及函數(shù)的概念，以一次函數(shù)為鋪墊展開(kāi)新概念的探索，既能兼顧函數(shù)概念的復(fù)習(xí)，又能聯(lián)系新授函數(shù)的學(xué)習(xí)，達(dá)到一舉兩得的效果。

探究二 2.上述的比值關(guān)系與什么變量有關(guān)？3.如圖2 所示，若去掉坐標(biāo)軸，上述比值關(guān)系與什么變量有關(guān)？

圖2

設(shè)計(jì)意圖：引出三角函數(shù)的變量是一個(gè)銳角，當(dāng)一個(gè)銳角確定時(shí)，銳角所在的直角三角形的邊構(gòu)成的3 個(gè)比值都是一個(gè)確定的值，這是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，而這種對(duì)應(yīng)關(guān)系無(wú)法用解析式來(lái)表示，因此可引入三角符號(hào)來(lái)進(jìn)行表示。在初中階段為了便于學(xué)生的理解，函數(shù)的概念采用較為直觀的描述，即為兩個(gè)變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，到高中階段函數(shù)概念則描述為一種一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，這也是函數(shù)的本質(zhì)。

2 形成概念

2.1 明確概念

一般地，對(duì)每一個(gè)確定的銳角α，在角的一邊上任取一點(diǎn)B，作BC⊥AC于點(diǎn)C，如圖3 所示，則都是一個(gè)確定的值。比值叫做∠α 的正切（tangent），記做tanα；比值叫做∠α 的正弦（sine），記做sinα；比值叫做∠α 的余弦（cosine），記做cosα。銳角α 的正切、正弦、余弦統(tǒng)稱為∠α 的三角函數(shù)。

圖3

設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)的應(yīng)用起初多用于解決實(shí)際問(wèn)題，故在探索概念時(shí)應(yīng)更多的聯(lián)系實(shí)際，正如后續(xù)章節(jié)中的坡比其實(shí)就是角度的正切值，高中階段一次函數(shù)的斜率k也是角度的正切值。教材所建議的實(shí)例引入其實(shí)也是先體現(xiàn)三角函數(shù)的正切值，繼而研究其正弦、余弦。本課探究一也是先得出正切值，再借助勾股定理計(jì)算得到正弦值、余弦值。但教材卻是先給出正弦、余弦的概念，最后才得到正切的概念，這樣的編排順序確實(shí)有些不妥，違背了學(xué)生對(duì)事物發(fā)展的認(rèn)知規(guī)律，因此本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)在明確概念環(huán)節(jié)稍作調(diào)整，先得到正切概念，其次是正弦概念、余弦概念，這樣的呈現(xiàn)方式更突顯了概念定義的合理性，在后續(xù)的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中均以此順序呈現(xiàn)。

2.2 三角函數(shù)表示

如果∠A是Rt△ABC的一個(gè)銳角，如圖4 所示， 則 有

圖4

三角函數(shù)的表示方法是引用英文字母簡(jiǎn)寫(xiě)進(jìn)行表示的，在授課時(shí)要明確書(shū)寫(xiě)的格式。當(dāng)角度可以用一個(gè)大寫(xiě)字母或希臘字母表示時(shí)，“∠”的符號(hào)可以省略不寫(xiě)，例如tanA、cosα；當(dāng)角度用3 個(gè)大寫(xiě)字母或數(shù)字表示時(shí)，“∠”的符號(hào)不能省略，例如tan∠1、sin∠BAC。在規(guī)范三角函數(shù)的表示方法時(shí)也應(yīng)該強(qiáng)調(diào)單獨(dú)的tan、sin、cos 是無(wú)意義的，tanα、sinα、cosα 是一個(gè)完整的符號(hào)。

2.3 三角函數(shù)拓展

探究三 4.除了以上3 組比值，你還能得到其他不變的比值嗎？

同上，引出鄰邊與對(duì)邊、斜邊與對(duì)邊、斜邊與鄰邊3 組不變的比值，讓學(xué)生了解這3 組比值也是因角度的確定而不變的量，這也是三角函數(shù)，是高中階段要學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容。此處不給出具體的表示符號(hào)，避免學(xué)生混淆概念，只是讓學(xué)生做初步的了解。

設(shè)計(jì)意圖：高中階段的三角函數(shù)還有余切、正割、余割3 個(gè)三角函數(shù)，在此處給學(xué)生稍作介紹，既可排除學(xué)生產(chǎn)生的疑惑，也能讓學(xué)生進(jìn)一步了解三角函數(shù)概念的內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

2.4 三角函數(shù)歷史

三角學(xué)的起源、發(fā)展與天文學(xué)密不可分，它是天文觀察結(jié)果推算的一種方法。在1450 年以前的三角學(xué)主要是球面三角，這不但是因?yàn)楹胶?、歷法推算以及天文觀測(cè)等人類實(shí)踐活動(dòng)的需要，而且也因?yàn)橛钪娴膴W秘對(duì)人類的巨大吸引力，這種“量天的學(xué)問(wèn)”確實(shí)太誘人了。后來(lái)，由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角。在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來(lái)的數(shù)學(xué)家是德國(guó)人雷格蒙塔努斯（J.Regiomontanus，1436—1476），他在1464 年完成的5 卷本的著作《論各種三角形》，是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作，該著作首次對(duì)三角學(xué)做出了完整、獨(dú)立的闡述。他采用印度人的正弦，即弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)，討論了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長(zhǎng)的代數(shù)求法，給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理。其工作為教學(xué)三角函數(shù)在平面與球面幾何中的應(yīng)用奠定了牢固基礎(chǔ)，對(duì)16 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了極大影響，也對(duì)哥白尼等一大批天文學(xué)家產(chǎn)生了很大的影響。

我國(guó)古代的天文學(xué)也很發(fā)達(dá)。我國(guó)的古代歷法中計(jì)算由于節(jié)令不同而引出的“表”（就是竿）的影長(zhǎng)不同，實(shí)際上構(gòu)成了一個(gè)余弦函數(shù)表。現(xiàn)在所用的三角函數(shù)的名稱：正切、余切、正弦等是我國(guó)16 世紀(jì)已有的名稱。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三角函數(shù)歷史的介紹體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活實(shí)踐，并為我們的生活所服務(wù)。三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中扮演著重要的角色，這也是讓學(xué)生先行體會(huì)三角函數(shù)的實(shí)用價(jià)值，為后面求解直角三角形教學(xué)做必要的鋪墊。

2.5 銳角三角函數(shù)范圍

探究四 5.對(duì)于任意一個(gè)銳角α，其三角函數(shù)值tanα、sinα、cosα 的范圍分別是多少呢？

銳角三角函數(shù)的值都是正實(shí)數(shù)，因?yàn)橹苯侨切蔚倪呴L(zhǎng)都是正數(shù)，并且直角邊小于斜邊，所以tanα＞0、0＜sinα＜1、0＜cosα＜1。

設(shè)計(jì)意圖：利用三角函數(shù)范圍的探索讓學(xué)生再次感受三角函數(shù)概念的本質(zhì)，線段比值大小的結(jié)果分析將有助于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)[1]，同時(shí)范圍的大小也可以在學(xué)生后續(xù)階段計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)作為其檢驗(yàn)結(jié)果正確與否的一個(gè)基本依據(jù)。

3 理解概念

3.1 辨析概念

練習(xí)1：如圖5 所示，在Rt △ABC中，∠C=90°,請(qǐng)表示sinA、cosA、tanA。

變式1：如圖5 所示，在Rt △ABC中，∠C=90°,請(qǐng)表示sinB、cosB、tanB。

設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)的表示在初學(xué)階段的學(xué)生容易混淆，特別是鄰邊與對(duì)邊的概念是相對(duì)而言的，也是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)。利用練習(xí)1 和變式1中直角三角形兩個(gè)銳角三角函數(shù)的表示，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)鄰邊、對(duì)邊概念的理解和掌握。若將圖形傾斜放置（非標(biāo)準(zhǔn)圖形）也可以在一定程度上培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

變式2：如圖6 所示，在△ABC中，BD⊥AC，請(qǐng)寫(xiě)出sinA、cosA、tanA。

變式3：如圖7 所示，CD是Rt△ABC斜邊上的高線，請(qǐng)用線段的比值來(lái)表示sinA、sin∠BCD[2]。

圖5

圖6

圖7

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化概念的理解，變式2 是讓學(xué)生明確利用直角三角形邊的比值關(guān)系表示一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，變式3 則是讓學(xué)生把握概念的內(nèi)涵，銳角三角函數(shù)的大小是一個(gè)固定的比值，只與角度的大小有關(guān)，與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān)，同時(shí)明晰當(dāng)銳角相等時(shí)，其三角函數(shù)值也相等，這將有助于啟發(fā)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)可借助找相等角來(lái)解決三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。

3.2 運(yùn)用概念

例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=2，求sinA、cosA、tanA的值。

例2：如圖8 所示，半圓的直徑AB在x軸上，AB=2，且圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C在第一象限的半圓上，且sin∠BOC=3/5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：例1 通過(guò)作圖與計(jì)算在幾何直觀上讓學(xué)生再次感受三角函數(shù)的概念，例2 將三角函數(shù)的計(jì)算放在了單位圓中，通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)解決三角函數(shù)的問(wèn)題，這是最基本的途徑，也是最常用的途徑。高中的三角函數(shù)學(xué)習(xí)涉及非銳角三角函數(shù)的探索，其研究方式則是以單位圓為背景的，因此例2 的設(shè)置也能為初高中相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)起一定的銜接作用。

3.3 拓展創(chuàng)新

例3：我們?cè)隈R路旁邊的綠化帶上經(jīng)常會(huì)看到很多樹(shù)木進(jìn)行如圖9 所示的形式加固，這其實(shí)是利用了三角形的穩(wěn)定性。如圖10 所示，把一根支架（AB）看成是直角三角形的一條斜邊，支架一點(diǎn)到樹(shù)木的距離（BC）以及另一點(diǎn)到地面的距離（AC）看成是直角邊，若支架AB長(zhǎng)3 m，求：

（1）點(diǎn)A到地面的距離為1 m，支架的傾斜角α 的正切值是多少？

（2）當(dāng)AC和BC相等時(shí)，tanα 的值是多少?

（3）tanα 的值可以大于100 嗎？

圖8

圖9

圖10

設(shè)計(jì)意圖：以生活中常見(jiàn)的樹(shù)木固定支架為問(wèn)題背景，貼近生活實(shí)際，在生活實(shí)例中抽離出數(shù)學(xué)圖形，利用三角函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題更能顯示數(shù)學(xué)的實(shí)用性。其中的第3 個(gè)設(shè)問(wèn)將涉及極端值思想的處理方法，同時(shí)必須聯(lián)系勾股定理，有一定的難度。如此設(shè)置不僅讓學(xué)生明確三角函數(shù)問(wèn)題的解決往往離不開(kāi)勾股定理，還能進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)正切值的取值范圍可以是無(wú)窮大的認(rèn)知。

4 教學(xué)反思

4.1 立足教材，體現(xiàn)概念內(nèi)涵外延

三角函數(shù)概念是以角度為自變量、比值為應(yīng)變量的基本函數(shù)，是對(duì)函數(shù)概念的一種升華。這類函數(shù)與學(xué)生之前所學(xué)函數(shù)卻有著很大區(qū)別，三角函數(shù)沒(méi)有固定解析式，其利用符號(hào)表示，函數(shù)概念更加抽象，學(xué)生理解難度也相應(yīng)提升。教學(xué)中要讓學(xué)生感受到這是一種變化的關(guān)系:隨著角度的改變從而產(chǎn)生比值的改變，這種變化關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。這種關(guān)系需要學(xué)生探索、經(jīng)歷、感受，最后形成這樣一種認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在感悟概念的過(guò)程中把握概念的內(nèi)涵，內(nèi)化概念。在明確概念的過(guò)程中，應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生在直角三角形中解決三角函數(shù)的問(wèn)題，為求解直角三角形做好鋪墊，也讓學(xué)生初步體驗(yàn)三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)概念的外延。

4.2 關(guān)注內(nèi)容，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)用價(jià)值

三角函數(shù)的雛形最早出現(xiàn)在天文學(xué)中，很多數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)都是源自生產(chǎn)生活。三角函數(shù)一般用于計(jì)算三角形中未知長(zhǎng)度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途，在我們生活周邊就有著很多三角函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例。教學(xué)中可以更多地關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置以及題目背景的假設(shè)，以期呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)在生活中更多的實(shí)用價(jià)值，更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)源于生活并最終為我們的生活所服務(wù)。例3 正是以生活中常見(jiàn)實(shí)物為背景，借助三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，由此讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，在潛移默化中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲。

4.3 加強(qiáng)聯(lián)系，展現(xiàn)初高內(nèi)容銜接

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)具有持續(xù)性、完整性，并能夠體現(xiàn)持續(xù)發(fā)展的特點(diǎn)。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，以角度為自變量，初中階段只研究銳角，高中階段則利用與單位圓有關(guān)的各種線段的長(zhǎng)度來(lái)定義，是利用任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為應(yīng)變量的函數(shù)。例2 的設(shè)置就是為了能讓學(xué)生感受三角函數(shù)在單位圓中的計(jì)算，預(yù)設(shè)三角函數(shù)定義的新形式，初步形成一種“模糊”的感知，這將有助于學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念。

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所析，初中階段的數(shù)學(xué)課程，基本出發(fā)點(diǎn)是數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，使得人人都能學(xué)有用的數(shù)學(xué)，人人都可以獲得必需的數(shù)學(xué)，主要突出其普及性、基礎(chǔ)性、發(fā)展性，讓數(shù)學(xué)具有濃濃的“生活味”。而高中階段的數(shù)學(xué)課程重視數(shù)學(xué)與自然界及人類社會(huì)的關(guān)系，通過(guò)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)文化和應(yīng)用價(jià)值，對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有基礎(chǔ)性的作用，能夠培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、充滿了“數(shù)學(xué)味”的邏輯思維能力。函數(shù)的概念，也由初中的“變量說(shuō)”演變成了高中的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，在內(nèi)容、方法、目標(biāo)、思維層次上都有了較大的提升。因此，在初中的概念教學(xué)中，應(yīng)適度拓展銜接知識(shí)，抓住要點(diǎn)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)其精髓，從基本思想、基本方法、基本技能上為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊，促使學(xué)生的知識(shí)水平和能力水平自然地螺旋式上升，確保為初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做到無(wú)縫銜接、平滑過(guò)渡。