借魔術(shù)東風(fēng) 育模型思想

鄭燁婷

[摘? 要] 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了適應(yīng)學(xué)生發(fā)展和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的十個(gè)核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，史寧中教授更是把“模型思想”列為小學(xué)階段三大數(shù)學(xué)基本思想之一，但是相比其他核心概念，“模型思想”比較抽象。數(shù)學(xué)魔術(shù)的表演和破解需要學(xué)生經(jīng)歷“從實(shí)際生活中提取數(shù)學(xué)模型—求解數(shù)學(xué)模型—應(yīng)用數(shù)學(xué)模型”的過(guò)程，它是培養(yǎng)學(xué)生“模型思想”的良好載體。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)魔術(shù);數(shù)學(xué)模型;模型思想

■一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了十大核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義?！痹撜撌雒鞔_了義務(wù)教育階段模型思想的價(jià)值和建立模型的基本過(guò)程（如圖1）：

相比其他核心概念，模型思想比較抽象，一線(xiàn)教師常常對(duì)此束手無(wú)策。在教學(xué)實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)魔術(shù)是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的良好載體。通過(guò)數(shù)學(xué)魔術(shù)的表演，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀(guān)察、分析和表示魔術(shù)中的各種變量，抽象出數(shù)學(xué)模型;在數(shù)學(xué)魔術(shù)背后的數(shù)學(xué)原理探究中，通過(guò)猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等一系列的思維過(guò)程，求出模型的解，從而解釋魔術(shù)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)魔術(shù)的過(guò)程旨在培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)與能力。

本文將以數(shù)學(xué)魔術(shù)“猜一猜：硬幣在哪兒”為例，介紹如何借助數(shù)學(xué)魔術(shù)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。

■二、教學(xué)實(shí)踐

1. 魔術(shù)引入：感受神奇，激發(fā)興趣

精彩的課堂導(dǎo)入能迅速激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，有效喚起學(xué)生的課堂注意。數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入的方法有很多，用魔術(shù)進(jìn)行課堂導(dǎo)入可以增添問(wèn)題的神秘感，通過(guò)生動(dòng)有趣的表演讓平時(shí)看起來(lái)不可能的事情現(xiàn)在就發(fā)生在眼前，孩子們的好奇心一下子會(huì)被激發(fā)出來(lái)。這時(shí)，“太神奇了吧”“是真的嗎”“老師是怎么做到的”等驚訝問(wèn)題就會(huì)自然而然地縈繞在學(xué)生的腦海里，欲“解”不達(dá)，欲罷不能。通過(guò)以數(shù)學(xué)魔術(shù)導(dǎo)入引發(fā)思考探究的活動(dòng)，能有效激發(fā)學(xué)生的思維活力，使學(xué)生把精力集中在思考和探究數(shù)學(xué)問(wèn)題上，從而取得更為理想的學(xué)習(xí)效果。

生活中經(jīng)常會(huì)玩這樣的游戲：把一個(gè)小物品藏在某一只手中，讓對(duì)方猜一猜藏在哪只手里。基于這樣的靈感，設(shè)計(jì)了以下的魔術(shù)：

師：（出示兩個(gè)硬幣，如圖2）今天老師要用數(shù)學(xué)銀行自制的1元、2元硬幣來(lái)玩一個(gè)魔術(shù)?？催^(guò)魔術(shù)表演嗎？

生：看過(guò)。（興奮的表情露在臉上）

師：老師要變的魔術(shù)叫“讀心術(shù)”，等會(huì)兒老師請(qǐng)一個(gè)助手上來(lái)，請(qǐng)他把這兩枚硬幣分別藏在左右兩只手上，我不用看就知道這兩枚硬幣分別藏在哪只手上。誰(shuí)愿意來(lái)做老師的助手？

指名上臺(tái)和教師合作。

師：（對(duì)助手）來(lái)，先請(qǐng)你看看這里的兩枚硬幣，一枚是1元，一枚是2元，有沒(méi)有問(wèn)題？（沒(méi)有）好！下面請(qǐng)你將它們打亂，然后將它們分別藏在左右兩只手里。老師不用看，只要他回答我一個(gè)問(wèn)題，我就能知道這兩枚硬幣分別藏在哪只手上。相信嗎？

學(xué)生中有信的，也有不信的。

師：請(qǐng)你把左手里的錢(qián)數(shù)加兩次，右手里的錢(qián)數(shù)加三次，再把得出的兩個(gè)數(shù)相加（邊說(shuō)邊板書(shū)：左+左+右+右+右），噓……請(qǐng)告訴我結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)。

生：是偶數(shù)。

師：那么，1元硬幣藏在左手邊，2元硬幣藏在右手邊。

助理揭開(kāi)答案，學(xué)生紛紛贊嘆不已。

數(shù)學(xué)模型的建立首先要“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題”，說(shuō)明情境是建模的源點(diǎn)，也就是魔術(shù)的表演是這節(jié)課建模的源點(diǎn)，從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題是建模的起點(diǎn)，從魔術(shù)表演到問(wèn)題的環(huán)節(jié)可稱(chēng)為“建模準(zhǔn)備”。

2. 魔術(shù)分析：思考關(guān)系，嘗試建模

數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，學(xué)生要通過(guò)觀(guān)察、分析、抽象、判斷、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)將數(shù)學(xué)魔術(shù)問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化，建立數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。在“猜一猜：硬幣在哪兒”這個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)中，左手里硬幣的錢(qián)數(shù)加兩次，右手里硬幣的錢(qián)數(shù)加三次，最后合起來(lái)的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)是關(guān)鍵，因此要引導(dǎo)學(xué)生思考和的奇偶性與加數(shù)有什么關(guān)系，建立和的奇偶性這一數(shù)學(xué)模型。

師：你們有什么疑問(wèn)嗎？

生：老師，你會(huì)不會(huì)是蒙對(duì)的？（如果學(xué)生發(fā)出這樣的疑問(wèn)，可以再進(jìn)行一次表演）

生：老師，你會(huì)不會(huì)跟助理串通好了？

生：老師，你有超人的能力。

師：你們覺(jué)得老師到底是有超人的能力，還是有好方法呢？

生：我覺(jué)得老師是有方法的。

師：對(duì)啊，魔術(shù)都是有竅門(mén)的。那么，你們覺(jué)得這個(gè)魔術(shù)的關(guān)鍵在哪里？

生：在老師提出的那個(gè)問(wèn)題。

生：左手里硬幣的錢(qián)數(shù)加兩次，右手里硬幣的錢(qián)數(shù)加三次，最后合起來(lái)是偶數(shù)。

師：同學(xué)們太厲害了！這么快就發(fā)現(xiàn)了魔術(shù)中的秘密，老師就是根據(jù)和是奇數(shù)還是偶數(shù)倒推出來(lái)的。幾個(gè)數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)這樣的問(wèn)題被稱(chēng)為“和的奇偶性”。要想研究和的奇偶性，解決類(lèi)似的問(wèn)題，你打算怎么研究？

生：左+左+右+右+右，5個(gè)數(shù)相加太多了，可以從兩個(gè)數(shù)的和開(kāi)始研究。

師：研究?jī)蓚€(gè)數(shù)的和的奇偶性，你有什么方法？

生：可以通過(guò)舉例發(fā)現(xiàn)。

3. 魔術(shù)探究：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，穩(wěn)定模型

數(shù)學(xué)魔術(shù)不僅要讓學(xué)生感受到好玩、有趣，更要讓學(xué)生通過(guò)猜想、啟發(fā)、驗(yàn)證、推理、創(chuàng)造等一系列的思維過(guò)程探究魔術(shù)背后的數(shù)學(xué)原理，以及在這個(gè)過(guò)程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想和方法。

學(xué)生通過(guò)舉例得出：

發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。從例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律還不夠，教師還要讓五年級(jí)的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，引導(dǎo)學(xué)生從余數(shù)的知識(shí)、畫(huà)圖等方法來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。得到兩個(gè)數(shù)的和的奇偶性后，學(xué)生就可以順勢(shì)推導(dǎo)出多個(gè)加數(shù)的和的奇偶性了。教師借勢(shì)引導(dǎo)小結(jié)：

師：所以，你們認(rèn)為和的奇偶性與加數(shù)中誰(shuí)的個(gè)數(shù)有關(guān)系呢？

生：與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)系，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加，和就是奇數(shù);偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加，和就是偶數(shù)。

模型的求解常常需要借助一定的方法策略，如舉例、數(shù)形結(jié)合、假設(shè)、推理等，有效的方法和策略為學(xué)生進(jìn)一步建模、解決問(wèn)題提供幫助，提升解決問(wèn)題的效率。通過(guò)舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律只是猜想，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明來(lái)驗(yàn)證猜想是對(duì)的，數(shù)與形的結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題常用的方法，解決問(wèn)題時(shí)常常需要借助圖形直觀(guān)分析問(wèn)題，猜想得到的和的奇偶性的規(guī)律后借助圖形的直觀(guān)，得到驗(yàn)證。

4. 破解魔術(shù)：探究原理，應(yīng)用模型

揭秘是學(xué)生欣賞魔術(shù)表演后最想做的事。教學(xué)中要有效地引導(dǎo)學(xué)生探究魔術(shù)的設(shè)計(jì)原理，利用已經(jīng)得出的數(shù)學(xué)模型來(lái)解釋魔術(shù)現(xiàn)象，完整地經(jīng)歷建模過(guò)程，充分感受模型思想。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在你們能說(shuō)說(shuō)老師是如何快速得出1元硬幣藏在左手里，2元硬幣藏在右手里的嗎？

生：根據(jù)助理的回答可以知道“左+左+右+右+右”的結(jié)果是偶數(shù)，說(shuō)明奇數(shù)1加了偶數(shù)次，1元硬幣加了兩次，所以左手里藏的是1元硬幣。

師：那左右兩邊加的次數(shù)有要求嗎？

生：有，一邊加奇數(shù)次，一邊加偶數(shù)次。如果兩邊都加偶數(shù)次，結(jié)果一定是偶數(shù)，就判斷不出來(lái)了;如果兩邊都加奇數(shù)次，結(jié)果一定是奇數(shù)，也判斷不出來(lái)。

師：請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考，硬幣的幣值可以是任意數(shù)嗎？

生：必須一個(gè)是奇數(shù)、一個(gè)是偶數(shù)，如果硬幣幣值都是偶數(shù)的話(huà)，不管加幾次結(jié)果都是偶數(shù)，如果都是奇數(shù)也不能成功。

師：老師的神奇魔力就在這兒，事先要設(shè)計(jì)好魔術(shù)的道具和操作的規(guī)矩，最后的結(jié)果就都在掌控之中了。通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：魔術(shù)背后是有數(shù)學(xué)道理的，弄清數(shù)學(xué)道理就可以破解魔術(shù)了。

生：如果能找到規(guī)律，變魔術(shù)就很簡(jiǎn)單了。

生：我也想當(dāng)一名魔術(shù)師。

……

師：知道了魔術(shù)的設(shè)計(jì)原理，我們可以自己嘗試設(shè)計(jì)和破解更多的數(shù)學(xué)魔術(shù)。

■三、教學(xué)思考

曹培英老師認(rèn)為：建模與問(wèn)題解決的能力是數(shù)學(xué)最具學(xué)科特征的育人價(jià)值。數(shù)學(xué)魔術(shù)能帶給學(xué)生神奇、愉悅的體驗(yàn)，數(shù)學(xué)魔術(shù)的原理又天然具有數(shù)學(xué)的模型結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)魔術(shù)的表演和揭秘的過(guò)程可以讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的過(guò)程中體驗(yàn)從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)數(shù)學(xué)原理得到數(shù)學(xué)模型的解，從而揭示魔術(shù)現(xiàn)象。這一過(guò)程有助學(xué)生初步形成模型思想，體會(huì)到數(shù)學(xué)建模中用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的好處，也有助教師在現(xiàn)實(shí)中探尋培養(yǎng)策略，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的形成和發(fā)展，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。