溶液混合問(wèn)題“反比關(guān)系”的分析與教學(xué)研究

鄭煜芬 盧建川

[摘? 要] 文章通過(guò)揭示兩種不同濃度的溶液混合后濃度改變的實(shí)質(zhì)，分析“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”的原因;對(duì)于濃度混合問(wèn)題的教學(xué)，筆者通過(guò)設(shè)置系列直觀性問(wèn)題，為學(xué)生理解溶液混合問(wèn)題做鋪墊，利用溶質(zhì)、溶劑分離圖，直觀表征，遷移應(yīng)用，突破難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)溶液混合問(wèn)題的直觀認(rèn)識(shí)，達(dá)到知悉算法、理解算理的教學(xué)目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞] 溶液混合;濃度差;直觀化;難點(diǎn)分化

小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)課題中，兩種不同濃度溶液的混合問(wèn)題是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)問(wèn)題。如：現(xiàn)有濃度為10%的糖水20克，再加入多少克濃度為30%的糖水，可以得到濃度為22%的糖水？

不少教師在講解此類問(wèn)題時(shí)，先使用代數(shù)法解決，將問(wèn)題一般化：設(shè)濃度為a%的糖水x克，再加入y克濃度為b%的糖水，可以得到濃度為c%的糖水（假設(shè)b>a）。列出如下方程并化簡(jiǎn)：a%·x+b%·y=c%·（x+y）？（c%-a%）·x=（b%-c%）·y？x∶y=（b%-c%）∶（c%-a%）。

由此直接提煉出“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”這一結(jié)論，并將其固化為一個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算技巧“十字交叉法”或者“濃度三角”，從而根據(jù)這一工具運(yùn)用算術(shù)法解題，如圖1。

如此教學(xué)，學(xué)生并不明白“反比”的道理所在，死記硬背比例公式和解題技巧，不知所以然地套模式解題。

混配溶液?jiǎn)栴}算術(shù)法的難點(diǎn)在于對(duì)“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”這一結(jié)論的理解。本文通過(guò)分離溶質(zhì)與溶劑，直觀地分析濃度變化的實(shí)質(zhì)，闡述“反比”的原因，并設(shè)置系列直觀問(wèn)題突破教學(xué)難點(diǎn)。

■一、兩種不同濃度的溶液混合后濃度改變的實(shí)質(zhì)

先看溶液質(zhì)量不變情況下濃度變化的表現(xiàn)與理解。要升高某一溶液的濃度，則根據(jù)濃度的計(jì)算公式，溶質(zhì)在溶液中的占比要提高，為了不改變?nèi)芤旱馁|(zhì)量，則要將溶液中的部分溶劑替換為溶質(zhì)。如圖2，要將濃度為a%的溶液的濃度升高為b%，則需要將[（b%-a%）×溶液質(zhì)量]的溶劑替換為溶質(zhì)，即將圖2中大括號(hào)標(biāo)記的溶劑替換為溶質(zhì)。對(duì)于降低溶液的濃度也可類似地進(jìn)行討論，不同的是要將其中的部分溶質(zhì)替換為溶劑。（圖示用長(zhǎng)柱表示溶液，其中白色表示溶劑，灰色表示溶質(zhì)）

再來(lái)說(shuō)兩種不同濃度的溶液混合。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，一杯很甜的糖水與一杯很淡的糖水混合后，新的糖水就沒(méi)那么甜也沒(méi)那么淡。其實(shí)這反映了不同濃度的溶液的混合問(wèn)題，即高濃度的溶液與低濃度的溶液混合后，新溶液的濃度勢(shì)必介于這兩個(gè)濃度之間。

為什么會(huì)發(fā)生濃度的改變呢？其實(shí)在于兩種不同濃度的溶液混合后，高濃度的溶液提供了一定量的溶質(zhì)給低濃度的溶液，而低濃度的溶液則提供了等量的溶劑給高濃度的溶液，即高濃度溶液的部分溶質(zhì)與低濃度溶液的部分溶劑等量交換了。

取A、B兩個(gè)容器，A容器裝滿高濃度溶液（記為溶液1）、B容器裝滿低濃度溶液（記為溶液2），將兩種溶液混合（記為溶液3），則溶液3中的溶質(zhì)為溶液1和溶液2的溶質(zhì)和，溶劑為溶液1和溶液2的溶劑和。由于溶液的濃度與溶液的質(zhì)量無(wú)關(guān)，將混合后的溶液倒回A容器（記為溶液4）、B容器（記為溶液5），則溶液4、溶液5與溶液3的濃度是相同的，如圖3所示。

將A容器原來(lái)的溶液1與現(xiàn)在的溶液4作對(duì)比，B容器原來(lái)的溶液2與現(xiàn)在的溶液5作對(duì)比，則溶液4比溶液1多了溶劑（少了溶質(zhì)），溶液5比溶液2多了溶質(zhì)（少了溶劑）。造成這種差別的原因在于溶液1和溶液2混合后，溶液1提供了部分溶質(zhì)給溶液2，溶液2提供了等量的溶劑給溶液1，即溶液1的部分溶質(zhì)與溶液2等量的溶劑“交換”了，以達(dá)到彼此之間溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值相等，即溶液1的濃度降低了，溶液2的濃度升高了，最終等于混合后溶液3的濃度，如圖4所示。在這過(guò)程中，實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用“關(guān)系映射反演”原理，將兩溶液混合后濃度改變的問(wèn)題“化歸”為一種溶液濃度改變的問(wèn)題：溶液1的濃度改變?yōu)槿芤?的濃度，溶液2的濃度改變?yōu)槿芤?的濃度，而溶液4、溶液5與溶液3的濃度是相同的，混合后溶液的濃度自然為溶液3的濃度。

所以，兩種不同濃度的溶液混合后濃度發(fā)生了改變，實(shí)質(zhì)在于高濃度的溶液提取了部分溶質(zhì)與低濃度的溶液“交換”了溶劑，以達(dá)到彼此的濃度相等。在此過(guò)程中，高濃度的溶液換部分溶質(zhì)為溶劑，濃度降低了;低濃度的溶液換等量的溶劑為溶質(zhì)，濃度升高了，最終達(dá)到兩者的濃度相等。因此，兩種不同濃度的溶液混合后，混合溶液的濃度一定介于兩個(gè)混配的溶液的濃度之間。

■二、“反比關(guān)系”的分析

要將兩種不同濃度的溶液配制成一定濃度（介于原來(lái)兩個(gè)濃度之間）的溶液，則“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”，這一結(jié)論的直觀道理在哪兒？

為了方便表達(dá)，設(shè)低濃度的溶液濃度為a%，高濃度的溶液濃度為b%，要配置為目標(biāo)溶液濃度為c%，對(duì)應(yīng)的質(zhì)量為x的低濃度溶液與質(zhì)量為y的高濃度溶液，則混合后溶液的質(zhì)量為x+y。

將混合后溶液再分為質(zhì)量x與質(zhì)量y的兩份溶液，則這兩份溶液的濃度都為c%。根據(jù)上述分析，可以將問(wèn)題“化歸”為質(zhì)量為x的a%溶液改變?yōu)橘|(zhì)量為x的c%溶液，質(zhì)量為y的b%溶液改變?yōu)橘|(zhì)量為y的c%溶液。

a%溶液的濃度要上升為c%，需要將（c%-a%）·x的溶劑（記為溶劑1）換為溶質(zhì);b%溶液的濃度要降低為c%，需要將（b%-c%）·y的溶質(zhì)（記為溶質(zhì)1）換為溶劑，如圖5。

所以，要使a%溶液與b%溶液混合后濃度剛好為c%，則溶劑1需等于溶質(zhì)1，混合后a%溶液提供溶劑1與b%溶液交換溶質(zhì)1，使得兩者的濃度都變?yōu)閏%，混合溶液自然也為c%，這也是代數(shù)法最后兩步的本質(zhì)所在。

因此，只要低濃度溶液的質(zhì)量與高濃度溶液的質(zhì)量的比值等于“高濃度-目標(biāo)濃度”與“目標(biāo)濃度-低濃度”的比值，混合后兩種濃度的溶液就能各取所需，使得最終濃度剛好為目標(biāo)濃度。這就是結(jié)論“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生看清結(jié)論的緣由，這樣學(xué)生才能知其然并知其所以然，在解題過(guò)程才能抓住本質(zhì)，各種變式題目都萬(wàn)變不離其宗。

■三、基于分化難點(diǎn)的直觀化教學(xué)方案

對(duì)于濃度混合問(wèn)題，使用算術(shù)法解題難度較大，小學(xué)生不容易理解，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)將難點(diǎn)分化，為學(xué)生搭建解決問(wèn)題的階梯。學(xué)生要充分理解濃度混合問(wèn)題，需掌握以下幾點(diǎn)：

（1）兩溶液混合后，高濃度溶液為低濃度溶液提供溶質(zhì)，低濃度溶液為高濃度溶液提供溶劑，以達(dá)到彼此的濃度相等;

（2）混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比;

（3）混合后溶液的濃度只由混配溶液的比例決定。

直接經(jīng)驗(yàn)是小學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而肉眼看不出溶液混合的內(nèi)在過(guò)程，但是我們可以借助一些相類似的直觀情境，設(shè)置直觀的問(wèn)題幫助學(xué)生初步體會(huì)溶液混合問(wèn)題中“交換”達(dá)到目標(biāo)含量的思想。

1. 鋪墊性直觀問(wèn)題

為幫助學(xué)生理解“溶液混合后，高濃度溶液為低濃度溶液提供溶質(zhì)，低濃度溶液為高濃度溶液提供溶劑，以達(dá)到彼此的濃度相等”，利用直觀性原則，為學(xué)生設(shè)置肉眼能看出并判斷的問(wèn)題。以下例子可供教師參考：

例1：如圖6，小紅家想養(yǎng)金魚，現(xiàn)有兩種金魚優(yōu)惠套餐。套餐1：買6只紅色金魚送2只藍(lán)色金魚;套餐2：買5只藍(lán)色金魚送3只紅色金魚。為了美觀，小紅最少需要買多少個(gè)套餐1、套餐2，才能使得藍(lán)色金魚與紅色金魚各占一半？

此問(wèn)題，學(xué)生可以通過(guò)畫圖直觀分析解決問(wèn)題，由于套餐1和套餐2都只有8只金魚，要使得藍(lán)色金魚與紅色金魚各占一半，那么購(gòu)買后將金魚重新分配，最終一定能使得每個(gè)套餐都是4只紅色金魚、4只藍(lán)色金魚。

由圖6可知，套餐1的紅色金魚比4只多2只，套餐2的藍(lán)色金魚比4只多1只，那么套餐1多出的2只紅色金魚需要換為2只藍(lán)色金魚，而每個(gè)套餐2換1只藍(lán)色金魚為紅色金魚即滿足紅藍(lán)金魚各占一半，所以需要購(gòu)買2個(gè)套餐2，才能提供2只藍(lán)色金魚與套餐1交換，使得每個(gè)套餐都是4只紅色金魚、4只藍(lán)色金魚。如圖7。所以最少需要買1個(gè)套餐1、2個(gè)套餐2。

這一例子學(xué)生容易理解，通過(guò)“交換”達(dá)到目標(biāo)含量的道理，但學(xué)生很難遷移到濃度問(wèn)題中，因此，教師還可以進(jìn)一步設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：

例2：如圖8，為鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力，教師設(shè)計(jì)照料水培植物的比賽，為公平起見，教師為學(xué)生分發(fā)水培種子?，F(xiàn)有兩種質(zhì)量相等裝有種子的水杯，1號(hào)水杯有14顆種子，2號(hào)水杯有17顆種子，該教師想要每個(gè)杯中的種子都是15顆且總質(zhì)量相等，至少需要多少個(gè)1號(hào)水杯、2號(hào)水杯才能配置想要的水杯呢？具體如何操作？

類似例1分析可知，需要1號(hào)水杯2個(gè)，2號(hào)水杯1個(gè)。要使總質(zhì)量仍相等，則需要在2個(gè)1號(hào)水杯中各提取一顆種子質(zhì)量的水給2號(hào)杯，即2個(gè)1號(hào)水杯都用一顆種子質(zhì)量的水跟2號(hào)水杯換一顆種子。

在此例子中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明白，要想使得種子的含量都是目標(biāo)個(gè)數(shù)，需要提供種子個(gè)數(shù)比目標(biāo)個(gè)數(shù)多的水杯型號(hào)以及比目標(biāo)個(gè)數(shù)少的水杯型號(hào)，將多出來(lái)的種子跟需要種子的水杯換取等量的水才能使得水杯的總質(zhì)量不變，而只有當(dāng)所有水杯中多出的種子個(gè)數(shù)等于所有水杯中需要的種子個(gè)數(shù)，交換種子和水后才能剛好是種子含量都是目標(biāo)個(gè)數(shù)且質(zhì)量不變。

繼續(xù)追問(wèn)：上述兩道例題中如果沒(méi)有“最少”“至少”的字眼，還能如何解決問(wèn)題？規(guī)律是什么？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，只要例1中“套餐1的個(gè)數(shù)∶套餐2的個(gè)數(shù)=1∶2”，例2中“1號(hào)水杯的個(gè)數(shù)∶2號(hào)水杯的個(gè)數(shù)=2∶1”就能解決問(wèn)題。從而為溶液混合問(wèn)題中“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”這一事實(shí)埋下基礎(chǔ)。

2. 直觀表征，遷移應(yīng)用

有了上述的例子，學(xué)生就不難理解微觀分子溶液混合的問(wèn)題了。在教學(xué)過(guò)程中，可以假設(shè)溶質(zhì)沒(méi)有溶解，將溶質(zhì)與溶液分離，化抽象為具體，幫助學(xué)生直觀分析。對(duì)于溶液混合問(wèn)題，要求混合溶液的相關(guān)量（正推過(guò)程）顯然會(huì)比求混合前溶液相關(guān)量（逆推過(guò)程）容易理解。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)遵循循序漸進(jìn)原則，先讓學(xué)生接觸求混合溶液相關(guān)量的類型題，再接觸求混合前溶液相關(guān)量的類型題。以下例子可供教師參考：

例3：現(xiàn)有濃度為10%的糖水20克，加入濃度為30%的糖水30克，濃度變?yōu)槎嗌伲?/p>

要求混合溶液的濃度，則需知道混合后的溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量。學(xué)生不難理解混合溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量為混合前各溶液的溶質(zhì)質(zhì)量之和，混合溶液的質(zhì)量為混合前各溶液質(zhì)量之和。根據(jù)濃度公式計(jì)算，混合溶液中溶質(zhì)質(zhì)量為20×10%+30×30%=11（克），溶液質(zhì)量為20+30=50（克），從而混合溶液的濃度為■×100%=22%。

此例題已經(jīng)蘊(yùn)含“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”這一事實(shí)，但學(xué)生一般不會(huì)從這一角度解決問(wèn)題，在此例題幫助學(xué)生挖掘這一知識(shí)點(diǎn)不合適。但通過(guò)對(duì)例3進(jìn)行變式，有了上述直觀例子做鋪墊，在教師引導(dǎo)下學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這一知識(shí)點(diǎn)，理解這一知識(shí)點(diǎn)后，回頭看例3就了一種解決方法，有利于學(xué)生加深理解。

例4：現(xiàn)有濃度為10%的糖水20克，再加入多少克濃度為30%的糖水，可以得到濃度為22%的糖水？

對(duì)于此類題型，可以假設(shè)溶質(zhì)尚未溶解，分離溶質(zhì)與溶劑，根據(jù)濃度可知溶質(zhì)與溶劑的比例，從而畫出圖像，遷移例1、例2的直觀經(jīng)驗(yàn)幫助解題。

要得到濃度為22%的糖水，則10%的糖水、30%的糖水混合后濃度都變?yōu)?2%。根據(jù)例2、例3的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已經(jīng)有通過(guò)“交換”達(dá)到目標(biāo)含量的思想。20克10%的糖水濃度要升高為22%，需要將（22%-10%）×20=2.4（克）水換為糖，而1克30%的糖水濃度要降低為22%，需要將（30%-22%）×1=0.08（克）糖換為水。

要使得10%的糖水與30%的糖水混合后濃度為22%，則需要30%的糖水多出的糖剛好等于20克10%的糖水多出的水，混合后30%的糖水多出的糖與10%的糖水多出的水“交換”，彼此的濃度才剛好為22%，混合后糖水的濃度自然為22%。如圖9（黑色表示糖，白色表示水），因?yàn)?克30%的糖水只能提供0.08克糖進(jìn)行“交換”，所以30%的糖水需要提供：2.4÷0.08=30（克）。

進(jìn)而提問(wèn)學(xué)：生如果濃度為10%的糖水為a克呢？

只要30%的糖水濃度降為22%需“交換”的糖剛好等于10%的糖水濃度升為22%需要“交換”的水，將兩者混合即可各取所需，溶液成為22%的糖水，列出方程。設(shè)需要濃度為30%的糖水為b克，則（22%-10%）·a=（30%-22%）·b，即a∶b=（30%-22%）∶（22%-10%）。至此，學(xué)生就能理解發(fā)現(xiàn)“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”這一結(jié)論了。

對(duì)于溶液混合的問(wèn)題，學(xué)生還應(yīng)明白“混合溶液濃度只由被混配溶液比例決定”，對(duì)于此知識(shí)，舉個(gè)數(shù)字與例3、例4不同的例子，學(xué)生對(duì)比便能發(fā)現(xiàn)。如果學(xué)生能明白“混配的原溶液的質(zhì)量比等于兩原溶液與目標(biāo)溶液的濃度差的絕對(duì)值的反比”這一結(jié)論，自然也能明白其中的道理?；炫淙芤旱谋壤坏┐_定，濃度差比例就確定，由于混配溶液的濃度一定，混合溶液濃度介于兩者之間，所以混合溶液的濃度也就確定了。

如此授課，既符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，也能讓學(xué)生對(duì)溶液混合問(wèn)題的理解更加深刻。通過(guò)分離溶質(zhì)、溶劑畫圖，“交換”溶劑、溶質(zhì)達(dá)到目標(biāo)濃度，有利于溶液混合過(guò)程在學(xué)生頭腦中形成圖形表征，獲得更加直觀的感受。