思維可視化，助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)

宋雪珠 唐詩(shī)穎 王彬

重慶市融匯沙坪壩小學(xué)? 400038? ? 重慶市鳳鳴山中學(xué)? 400037

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的核心部分，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。通過(guò)對(duì)教材的二次開發(fā)、精準(zhǔn)問(wèn)題的設(shè)置、深度對(duì)話的發(fā)生和多元表征的運(yùn)用，找到思考的切入點(diǎn)，讓思維落到關(guān)鍵處. 在教學(xué)過(guò)程中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多重感官、動(dòng)手畫圖和操作、動(dòng)口表達(dá)和對(duì)話等，讓思維直觀化、形象化、外顯化，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 思維可視化;畫圖;操作;表達(dá);對(duì)話

數(shù)學(xué)思維是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)為思維的載體，并以認(rèn)識(shí)和發(fā)展數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維 [1]。這樣的數(shù)學(xué)思維具有高度的抽象性、內(nèi)隱性，不利于教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如何在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生的思維外顯，讓教師把握學(xué)生思維路徑、學(xué)習(xí)同伴之間相互理解多樣化的數(shù)學(xué)思維進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)？在教學(xué)中我們首先要思考如何讓學(xué)生真正發(fā)生思維，再思考用什么手段讓思維可視化。

■一、思維可視化的前提——思維真正發(fā)生

要想思維可視化，必須要發(fā)生真正的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行研究的一門科學(xué)，其概念、定理等都是基于現(xiàn)象的研究，通過(guò)歸納、概括、抽象出其本質(zhì)，形成結(jié)論，具有高度的抽象化和理想化?？菰锏臄?shù)學(xué)文本并不能很好地激發(fā)學(xué)生的思維，在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生已有的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、平等對(duì)話、引發(fā)深度對(duì)話的方式，為學(xué)生思維真正的發(fā)生創(chuàng)造條件。

1. 二次開發(fā)教材，讓思維找到切入點(diǎn)

數(shù)學(xué)教材由于篇幅有限，只能將數(shù)學(xué)概念、知識(shí)等“干貨”較為簡(jiǎn)潔地呈現(xiàn)，具有較高的概括性和抽象性，不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師要根據(jù)學(xué)情對(duì)文本進(jìn)行二次開發(fā)，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)、能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的問(wèn)題情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主觀能動(dòng)性，敲開思維的大門，主動(dòng)參與思考和學(xué)習(xí)。

例如，西師版二年級(jí)上冊(cè)“用米做單位”一課，如果教師只是根據(jù)教材按部就班地介紹米尺，然后教授米和分米的單位換算，這無(wú)疑限制了學(xué)生的思維空間。學(xué)生在前面兩節(jié)課已經(jīng)認(rèn)識(shí)了厘米和分米，知道測(cè)量需要統(tǒng)一長(zhǎng)度單位，并學(xué)會(huì)了用尺測(cè)量物體。教師不妨充分利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置“測(cè)量黑板等較長(zhǎng)物體的長(zhǎng)度”的操作活動(dòng)，讓學(xué)生感受用厘米和分米做單位測(cè)量的不便，進(jìn)而引發(fā)思考有沒(méi)有比厘米、分米“更大”的長(zhǎng)度單位。這就讓學(xué)生找到了思維的切入點(diǎn)，帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)米尺更有意義。經(jīng)歷這樣的思維活動(dòng)，學(xué)生還能進(jìn)一步遷移：會(huì)不會(huì)有比米“更大”的長(zhǎng)度單位？激發(fā)學(xué)生探索的欲望。

2. 設(shè)計(jì)精準(zhǔn)問(wèn)題，讓思維落到關(guān)鍵處

問(wèn)題是啟發(fā)思考的動(dòng)力，它可以引發(fā)學(xué)習(xí)主體一系列的思維活動(dòng)。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)并不是指課堂上的碎問(wèn)碎答，問(wèn)題的設(shè)計(jì)要有啟發(fā)性、針對(duì)性和層次性，數(shù)學(xué)思維才能落到關(guān)鍵處。教師要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)，設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)的核心問(wèn)題，并時(shí)刻關(guān)注課堂生成，把握學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

例如，西師版五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘小數(shù)”一課，學(xué)生已有整數(shù)乘小數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，并且觀察能力、計(jì)算能力、歸納能力、抽象能力都有所提高，不妨創(chuàng)設(shè)一個(gè)問(wèn)題情境：今年暑假，學(xué)校打算整改校門口和操場(chǎng)的兩個(gè)長(zhǎng)方形草坪，大草坪長(zhǎng)5.8米、寬2.3米，小草坪長(zhǎng)1.2米、寬0.8米，一共需要多少平方米的草埔？根據(jù)本節(jié)課的目標(biāo)——理解小數(shù)乘小數(shù)的算理算法——通過(guò)設(shè)計(jì)精準(zhǔn)的“問(wèn)題串”，放手讓學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)?！坝^察你的算式，和以前學(xué)過(guò)的算式比較，它有什么特點(diǎn)？”“嘗試計(jì)算，說(shuō)說(shuō)你的計(jì)算過(guò)程？”“在計(jì)算算式時(shí)，你遇到了什么困難，你是怎么解決的？”“觀察兩個(gè)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)和積的位數(shù)，它們之間有什么關(guān)系？根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，總結(jié)小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法。”在整個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生緊緊地圍繞“問(wèn)題串”，借助小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)獨(dú)立思考和小組合作交流，自主習(xí)得小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法，理解小數(shù)乘法與整數(shù)乘法之間的區(qū)別與聯(lián)系，理解小數(shù)乘法的算理，全面、準(zhǔn)確地總結(jié)出小數(shù)乘法的計(jì)算法則。

3. 創(chuàng)造和諧學(xué)習(xí)環(huán)境，讓思維碰撞成為可能

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上是教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與文本、學(xué)生與自己之間的對(duì)話交流活動(dòng)。學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)該在交互性和動(dòng)態(tài)性的和諧環(huán)境中開展，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，讓思維自由發(fā)聲，把教學(xué)過(guò)程變成師生、生生的思維碰撞，情感、方法、思想交流和學(xué)習(xí)的過(guò)程。和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境的核心是親和性、融洽性、創(chuàng)造性、自主性、生態(tài)有機(jī)性受到最大限度的重視和得到最大限度的強(qiáng)化 [2]。其次要互動(dòng)多樣化，包括師生、生生、生本之間的對(duì)話和學(xué)生跟自己的對(duì)話（內(nèi)?。?。最后教師要處理好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“動(dòng)態(tài)”過(guò)程，即學(xué)生的生成。如果學(xué)生的生成并不在本節(jié)課計(jì)劃之內(nèi)，要根據(jù)學(xué)情恰當(dāng)處理，不能扼殺學(xué)生的思維和興趣。

4. 引導(dǎo)深度對(duì)話，讓思維走到更深處

思維的碰撞讓思維多樣化，思維的深度對(duì)話讓思維深刻化，讓思維更接近事物的本質(zhì)，讓思維更具深刻性。通過(guò)師生、生生之間的分享、質(zhì)疑、辨析，由表及里，去偽存真，找到多樣化思維之間的共性，發(fā)展思維的深度。

例如，西師版六年級(jí)上冊(cè)“比的認(rèn)識(shí)”一課，通過(guò)兌蜂蜜水的情境引入，學(xué)生認(rèn)識(shí)了比及其各部分名稱，教師直接通過(guò)兩個(gè)情境追問(wèn)比的含義。

情境一：兌蜂蜜水。

師：比表示水和蜂蜜兩個(gè)量什么關(guān)系？

生：表示水和蜂蜜兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系。

情境二：給出兩種動(dòng)物的路程和時(shí)間數(shù)據(jù)，算比值。

師：水和蜂蜜的單位一樣，路程和時(shí)間的單位不一樣，它們的比值是什么？

生：路程除以時(shí)間等于速度，這個(gè)比值就是速度。

師：通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題，比不僅可以表示兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，還可以產(chǎn)生新的量，如速度（單位：m/s）。你還可以舉一些例子嗎？

生：工作總量∶工作時(shí)間=工作效率。

生：總價(jià)∶數(shù)量=單價(jià)。

……

比的概念雖然只有短短一句話，但是其內(nèi)涵大有乾坤。只有通過(guò)這樣刨根問(wèn)底式的深度對(duì)話，才能讓學(xué)生的思維得以發(fā)散，再聚焦，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

■二、思維可視化策略——鼓勵(lì)多元表征

美國(guó)NCTM在2000年的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與原則》中指出：不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式，建議學(xué)生不僅應(yīng)該學(xué)會(huì)在問(wèn)題解決過(guò)程中選擇、使用與轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)表征，而且能夠在不同的表征之間建立廣泛的聯(lián)系 [3]。多元表征不僅能夠讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，而且能完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用圖形、操作、語(yǔ)言等多元表征來(lái)表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)不同表征之間的相互轉(zhuǎn)換，從橫向（不同表征之間的溝通）和縱向（新表征在表征系統(tǒng)所處的地位）理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

1. 動(dòng)手畫圖——讓思維直觀形象

圖形既是數(shù)學(xué)研究對(duì)象，又是研究數(shù)學(xué)的手段。圖形的直觀性，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，促進(jìn)學(xué)生觀察能力和思維能力的發(fā)展。

例如，西師版三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的大小比較”一課，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，分母相同也就是分的份數(shù)一樣，分子不同就是取得的份數(shù)不同，份數(shù)越多，分子越大，這個(gè)分?jǐn)?shù)就越大。在拓展練習(xí)時(shí)，比較■和■，部分學(xué)生想到分比薩，人數(shù)越多，每個(gè)人分到的那一份就越少;還有部分學(xué)生畫圖表示，思維過(guò)程直觀形象（圖1），通過(guò)涂色部分直接判斷出■大于■。在比較■和■時(shí)，有的學(xué)生用逆向思維：一個(gè)比薩，吃了它的■，還剩它的■;同樣的比薩，吃了它的■，還剩它的■?！霰取龆?，說(shuō)明■小于■。這部分學(xué)生的思維具有高度的抽象性和邏輯性。有部分學(xué)生采用畫圖的形式（圖2），直觀地判斷涂色部分的多少來(lái)比較異分母分?jǐn)?shù)的大小，即■小于■。通過(guò)作圖，教師既了解了學(xué)生元認(rèn)知策略的使用——把圖形作為分析問(wèn)題的策略——又了解學(xué)生的思維過(guò)程和知識(shí)的理解程度。

2. 動(dòng)手操作——讓思維生動(dòng)清晰

美國(guó)著名的教育學(xué)家杜威主張“做”中學(xué)，強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)源于活動(dòng)，學(xué)生在做的過(guò)程中發(fā)生思考，習(xí)得經(jīng)驗(yàn)。我國(guó)著名的教育學(xué)家陶行知在他的生活教育理論中也提倡在“做”中獲得知識(shí)?？梢?，操作活動(dòng)是學(xué)習(xí)的重要形式，能使學(xué)生思維活動(dòng)的過(guò)程外顯化。通過(guò)可視化的操作路徑，學(xué)生更容易理解，教師更好把握學(xué)生的思維過(guò)程，調(diào)整教學(xué)策略。

低段的學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，抽象思維較弱，尤其是對(duì)認(rèn)數(shù)、概念、常見量等知識(shí)的理解時(shí)，需要調(diào)動(dòng)學(xué)生的多重感知器官和借助學(xué)具等各種具體事物的支持。通過(guò)比一比、剪一剪、折一折、分一分、掂一掂等形式的操作，使抽象知識(shí)直觀化、具體化。如在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)，讓學(xué)生用手指比畫1厘米的長(zhǎng)度，引導(dǎo)學(xué)生找到自己身體上接近1厘米的部位（拇指的寬度），將抽象的長(zhǎng)度單位形象化，感受1厘米的“短”，建立量感。

高年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的知識(shí)、方法，抽象能力得到發(fā)展，可以設(shè)計(jì)探究性操作型活動(dòng)。通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、測(cè)量、作圖以及列表等操作手段，獨(dú)立思考，合作探究，歸納概括，得出結(jié)論。在操作過(guò)程中，可以滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、歸納、類比、極限等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。如“長(zhǎng)方形的體積”一課，可以設(shè)計(jì)如下探究操作：

（1）猜想：長(zhǎng)方體的體積與什么有關(guān)？

（2）驗(yàn)證：小組合作探究。

1）操作探索：用組內(nèi)的12個(gè)體積為1立方厘米的小正方體拼成形狀不同的長(zhǎng)方體，每拼成一種就記錄下長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和體積各是多少，填寫在表格中。

2）觀察發(fā)現(xiàn)：

①這些長(zhǎng)方體有什么共同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？

②為什么這些長(zhǎng)方體的形狀不同而體積相同？

③觀察表格并討論：長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之間有什么關(guān)系。

④歸納長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式：長(zhǎng)方體的體積=______。

3. 動(dòng)口表達(dá)——讓思維深刻嚴(yán)謹(jǐn)

蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基在其著作《思維與語(yǔ)言》 [4]中討論了語(yǔ)言和思維間的關(guān)系，他認(rèn)為語(yǔ)言是思維的外殼。史寧中教授說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是思維的體操”?？梢?，數(shù)學(xué)、思維與語(yǔ)言是緊密結(jié)合的。通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)，教師可以清晰把握學(xué)生的思維漏洞和思維深度。同時(shí)，學(xué)生的自由表達(dá)，生生之間的質(zhì)疑辨析，也是思維不斷走向嚴(yán)謹(jǐn)、深刻和批判的過(guò)程。

例如，西師版三年級(jí)下冊(cè)“軸對(duì)稱”一課，學(xué)生在說(shuō)明長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形這一環(huán)節(jié)時(shí)，出現(xiàn)了這樣的對(duì)話：

生1：我把長(zhǎng)方形對(duì)折，發(fā)現(xiàn)兩條長(zhǎng)完全重合，所以長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形。同學(xué)們同意嗎？（學(xué)生鼓掌表示同意）

生2：我還有一種驗(yàn)證方法，我把長(zhǎng)方形對(duì)折，發(fā)現(xiàn)兩條寬完全重合，所以長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形。（學(xué)生鼓掌表示同意）

生3：我還有一種驗(yàn)證方法，我用剪刀把長(zhǎng)方形沿著斜邊剪開（對(duì)角線），變成兩個(gè)完全重合的三角形，所以長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形。

師：同學(xué)們同意嗎？

生4：為什么要剪開？剪開就不能說(shuō)明它是對(duì)折重合了。

師：誰(shuí)聽明白了？還有想說(shuō)的嗎？

生5：就是一個(gè)圖形先要對(duì)折，然后觀察它們對(duì)折后是否重合。他（生3）沒(méi)有對(duì)折，不能因?yàn)橹睾暇驼f(shuō)是軸對(duì)稱圖形。（學(xué)生鼓掌）

師：你（生3）同意嗎？（還是有點(diǎn)疑惑）

師：有哪位同學(xué)能更直觀地用圖向他解釋？

生6：你把長(zhǎng)方形沿著你減的那條斜邊對(duì)折，它們不是完全重合的。所以長(zhǎng)方形不是軸對(duì)稱圖形。（學(xué)生有異議）

生7：但是它橫著和豎著對(duì)折都能重合，所以長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形。

師：這個(gè)同學(xué)說(shuō)得真好，確實(shí)，一個(gè)圖形，只要對(duì)折出現(xiàn)完全重合，就是軸對(duì)稱圖形。還有想說(shuō)的嗎？

生8：其實(shí)他（生3）把長(zhǎng)方形剪下兩個(gè)三角形，把一個(gè)三角形反過(guò)來(lái)后才是完全重合的，根本不是對(duì)折，這樣的判斷是錯(cuò)的。

師：你的思考真細(xì)致。確實(shí)，他（生3）不是把剪下的三角形沿著對(duì)角線對(duì)折，而是將三角形旋轉(zhuǎn)后使它們重合。現(xiàn)在你（生3）明白了嗎？

……

從學(xué)生的表達(dá)、質(zhì)疑和辨析中，學(xué)生的思維呈現(xiàn)在教師面前，教師可以及時(shí)把握學(xué)生的思維，及時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和糾正。自由的師生、生生的深度對(duì)話，有助于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、批判性、創(chuàng)造性和靈活性，讓數(shù)學(xué)思維真正發(fā)生，讓教學(xué)更具思維的廣度與深度。

圖形、操作、語(yǔ)言表達(dá)等外顯表征形式能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題、歸納概括與對(duì)比分析的能力，發(fā)展思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性和創(chuàng)造性，促進(jìn)綜合性思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 陳云中. 數(shù)學(xué)思維教學(xué)的研究與實(shí)踐[D]. 江西師范大學(xué)，2004.

[2]? 胡春燕. 新課程理論下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境研究[D]. 重慶師范大學(xué)，2004.

[3]? 鄭毓信. 課改背景下的數(shù)學(xué)教育研究：回顧與展望[M]. 上海：上海教育出版社，2012.

[4]? 列維·謝苗諾維奇·維果斯基. 李維譯. 思維與語(yǔ)言[M]. 浙江：浙江教育出版社，2010.