小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)借助幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的策略探究

潘婷婷

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，小學(xué)生的思維發(fā)展經(jīng)歷著從具體形象思維到抽象思維的逐步過渡，仍具有很大的具體性。教師應(yīng)重視學(xué)生幾何直觀學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，引入現(xiàn)代教學(xué)要素，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。文章從新時(shí)期的角度，對如何借助幾何直觀教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的策略進(jìn)行了研究和分析。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;思維發(fā)展;教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程目標(biāo)明確提出了“四基”?！八幕钡奶岢霾粌H關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本身的理解和掌握，更強(qiáng)調(diào)對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力的培養(yǎng)。幾何直觀可以幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進(jìn)而更加深入地分析數(shù)學(xué)問題，深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具備深刻性、靈活性及創(chuàng)新性等良好的品質(zhì)。

■一、幾何直觀的內(nèi)涵

直觀化既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種策略，也是可視化的一種統(tǒng)稱。從廣義上講，數(shù)學(xué)直觀的形成是一個(gè)直觀的信息處理過程，是以數(shù)學(xué)直觀符號為基本元素的一種認(rèn)知方式，具有形象性、圖式性、靜態(tài)性、動(dòng)態(tài)性、外部性和特定性等特點(diǎn)。另外，直觀的背景材料，如對象模型、圖標(biāo)插圖等直觀的教具，也包含現(xiàn)實(shí)世界中的情境問題，包括學(xué)生頭腦中的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，概念圖、思維圖的外化，以及數(shù)學(xué)模型都被視為直觀的。

數(shù)學(xué)直觀運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將抽象意義從形象意義中提煉。數(shù)學(xué)直觀的核心是直觀推理，直觀的學(xué)習(xí)要從圖形元素的整體結(jié)構(gòu)把握，直觀的推理是對“平衡”的直觀判斷。它依賴于學(xué)生平時(shí)在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識數(shù)學(xué)，最初是感知和猜想。

從功能角度層面，幾何直觀是教學(xué)工具。在加、減、乘、除運(yùn)算算理，平面圖形和立體圖形的認(rèn)識，圖形的運(yùn)動(dòng)、統(tǒng)計(jì)圖等一系列數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率知識領(lǐng)域中，幾何直觀貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)對其數(shù)學(xué)思維發(fā)展有著重大影響。

■二、小學(xué)幾何直觀教學(xué)的現(xiàn)狀及問題

1. 從教師的角度出發(fā)

根據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，具備必備的知識、教學(xué)技能和良好的教師素養(yǎng)是教師在從事教育的過程中的必要條件。在新課標(biāo)中，幾何直觀作為十大核心關(guān)鍵詞之一，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維發(fā)展具有重要的作用。在對小學(xué)數(shù)學(xué)教師的訪談和實(shí)際的教學(xué)走訪中發(fā)現(xiàn)，部分教師在教學(xué)過程中忽略了幾何直觀對數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要積極作用，把二者分割開來認(rèn)識，直接影響其教學(xué)方式的選擇。在課堂上，教師直接向?qū)W生提出問題，隨后出示教具學(xué)具，看似采用了具體形象演示，實(shí)則是一帶而過，沒有從本質(zhì)上構(gòu)建幾何直觀與思維發(fā)展之間的聯(lián)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不能得以積極發(fā)展。

教師是教學(xué)的實(shí)施者，在教學(xué)中起著主導(dǎo)作用。倘若教師對幾何直觀教學(xué)的理解不夠全面深入，就會(huì)使教師實(shí)際教學(xué)有所偏頗。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級下冊的“植樹問題”教學(xué)中，教師首先呈現(xiàn)問題情境并出示數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生嘗試獨(dú)立思考，動(dòng)手?jǐn)[一擺，然后進(jìn)行小組交流，最后歸納總結(jié)：植樹有三種情況——兩邊都栽，兩邊都不栽，只栽一邊。如果把擺學(xué)具看作是幾何直觀的培養(yǎng)，但是割裂了樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，忽視了“一一對應(yīng)”的圖示作用，那么學(xué)生很難通過探究歸納出植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)思維自然難以得到發(fā)展。

2. 從學(xué)生的角度出發(fā)

在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生一定程度上積累了借助幾何直觀來解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但遷移運(yùn)用的能力有待提升。一是部分學(xué)生不能將已知數(shù)學(xué)信息及問題轉(zhuǎn)化為通過數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)演示、實(shí)驗(yàn)操作等方式來探究的一般問題。二是本身缺乏幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)，原有知識水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)缺乏，使其對于問題解決束手無策。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生隨著年級的遞增，對幾何直觀越來越抵觸。一方面是由年齡增長帶來的認(rèn)知規(guī)律變化決定的，另一方面則是教師傳統(tǒng)的教育理念和教學(xué)方式導(dǎo)致的。少數(shù)教師認(rèn)為在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生解決問題時(shí)借助幾何直觀很困難，于是采用放任自流的態(tài)度。課堂上，學(xué)生沒有在教師的引導(dǎo)下親近幾何直觀，致使素養(yǎng)缺失，遇到問題時(shí)難以自主選擇用形象直觀的方法來分析和解決問題，從而形成惡性循環(huán)。

■三、小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的作用

1. 借助幾何直觀激發(fā)興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

高度抽象和嚴(yán)格邏輯是數(shù)學(xué)的主要特征之一。教學(xué)時(shí)如果忽視了不同階段兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，容易使其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生恐懼感和厭煩感，從而產(chǎn)生認(rèn)知障礙。有效地運(yùn)用幾何直觀可以使數(shù)學(xué)思維過程變得生動(dòng)有趣。例如，學(xué)生通常對直觀的事物感興趣。在教學(xué)“角的分類”時(shí)，教師首先讓學(xué)生觀看挖掘機(jī)工作的視頻。挖掘機(jī)斗桿在工作時(shí)，彎曲、拉直，形成不同的角度。讓學(xué)生在觀看過程中不僅自主判斷出已認(rèn)識過的銳角、直角和鈍角。同時(shí)提出新的疑問：“這也是一個(gè)角嗎？它叫什么名字呢？（平角）”借助直觀教學(xué)不僅使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)有趣，更重要的是刺激學(xué)生的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，積極主動(dòng)思考，激活數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性和批判性。

2. 借助幾何直觀理解算理，培養(yǎng)抽象數(shù)學(xué)思維

瑞士心理學(xué)家皮亞杰在其兒童認(rèn)知發(fā)展理論中將兒童認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)階段，其中小學(xué)階段的兒童主要處于具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段前期。這一階段的兒童對于圖形有著天生的敏銳和依賴。將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念及數(shù)量關(guān)系直觀、形象、簡化，能有效地幫助其分析和解決問題。例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”時(shí)，涉及的計(jì)算方法相對簡單：“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)?！彼惴m易，算理卻難。如“■÷4”，可以讓學(xué)生通過嘗試畫圖的方式理解，■即把單位“1”平均分成7份，取其中的6份，而后再把6份平均分成4份，每一份就是這6份中的■，也就是單位“1”的■。通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，將一個(gè)抽象的計(jì)算方法具體化、可視化，豐富了學(xué)生對分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的直觀理解，構(gòu)建起從算理到算法的抽象思維發(fā)展。

3. 借助幾何直觀分析、優(yōu)化問題，培養(yǎng)邏輯推理數(shù)學(xué)思維

幾何直觀不僅可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化和可視化，還可以幫助學(xué)生進(jìn)一步分析問題中的數(shù)量關(guān)系，理清解題思路，預(yù)測結(jié)果，從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。例如，教師在教學(xué)“對策問題”時(shí)讓學(xué)生用連線的方法把田忌獲勝的策略表示出來。

教師接著問：“你認(rèn)為在他（田忌）獲勝的策略中最關(guān)鍵的是哪一場？說說你的理由?！睂W(xué)生回答：“最關(guān)鍵的是田忌用自己最弱的一匹馬去對齊王最強(qiáng)的一匹馬這一場?！彪S即教師用描紅的方式強(qiáng)化這一關(guān)鍵局。學(xué)生接著說：“雖然田忌輸了一場，但齊王剩下的兩匹馬實(shí)力相對較弱;相反，田忌剩下的兩匹馬實(shí)力相對較強(qiáng)，就保證了后面兩場的勝利?！?/p>

借助清晰簡潔的連線圖展示田忌獲勝的策略，利用多元表征將學(xué)生思維外顯;讓抽象思維符號化，為學(xué)生邏輯思維的發(fā)展起到橋梁作用。

4.借助動(dòng)態(tài)幾何直觀探究體積計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維

幾何直觀對于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維同樣具有重要作用。在平時(shí)教學(xué)中，不斷滲透幾何直觀的思維方式，逐步讓學(xué)生形成整體觀察，快速識別和判斷已知條件和隱含數(shù)量關(guān)系的能力，進(jìn)而能夠大膽猜測、合理假設(shè)，初步得出結(jié)論。例如，在教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于單一的立體圖形——圓錐體積的計(jì)算方法探究難以入手。如果教師同時(shí)出示等底等高的圓柱和圓錐兩個(gè)立體圖形，學(xué)生通過觀察就能大膽猜測兩者之間的體積倍數(shù)關(guān)系，得出初步結(jié)論。猜測之后，接下來是動(dòng)態(tài)直觀驗(yàn)證猜想，學(xué)生用教師提供的學(xué)具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?！霸趫A錐中注滿水，倒入圓柱中。這樣倒3次，正好將圓柱裝滿?！眲?dòng)態(tài)操作讓學(xué)生充分理解圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系，大膽推理圓錐體積的計(jì)算公式，有助學(xué)生對規(guī)律探索的直觀想象。

5.借助幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)發(fā)散數(shù)學(xué)思維

發(fā)散思維是重要的數(shù)學(xué)思維方式之一。啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考和解決問題，有利于發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，幾何直觀對此提供了幫助。比如，在“雞兔同籠”問題中，學(xué)生既可以借助數(shù)形結(jié)合的方法給圖形“添腳或去腳”讓復(fù)雜的邏輯關(guān)系變得一目了然，還可以借助多媒體課件動(dòng)態(tài)演示“吹哨法”等解題思路，通過一系列形象直觀的展示，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，打開“一題多解”的思路，不僅提高學(xué)生的解題能力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

■四、幾何直觀教學(xué)建議

1. 運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力

幾何直觀具有形象性、圖式性、靜態(tài)性、動(dòng)態(tài)性、外部性和特定性等特點(diǎn)，由此它的呈現(xiàn)形式也是多樣化的。在新時(shí)期教學(xué)背景下，教師教學(xué)時(shí)要善于創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活緊密相關(guān)的具體問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)探究的自主愿望，對現(xiàn)有問題提出大膽質(zhì)疑。同時(shí)，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容科學(xué)合理地選擇呈現(xiàn)方式，充分借助現(xiàn)代教學(xué)多媒體信息技術(shù)，實(shí)現(xiàn)抽象問題形象化、抽象思維具體化，培養(yǎng)學(xué)生形成思維的批判性和創(chuàng)新性。

2. 注重學(xué)生幾何直觀思維方式的培養(yǎng)

通過長期觀察發(fā)現(xiàn)，小學(xué)低年級學(xué)生喜歡借助直觀圖形分析和表達(dá)數(shù)學(xué)問題。這不僅符合該階段學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，同時(shí)，有利于學(xué)生對圖形的認(rèn)識、圖形的識別，以及圖形特征的把握起到積極促進(jìn)作用。教師在日常教學(xué)中應(yīng)用心呵護(hù)學(xué)生對于畫圖分析問題的這份熱情，課堂教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀思維方式選擇合適的教學(xué)手段和方式，引導(dǎo)學(xué)生掌握必備的作圖解題技巧。通過畫圖訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成積極動(dòng)腦的思維習(xí)慣，善于動(dòng)手操作的分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生形成思維的深刻性和靈活性。

3. 用直觀想象構(gòu)建幾何直觀與數(shù)學(xué)思維的聯(lián)系

幾何直觀能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有著非常緊密的聯(lián)系，不能將二者孤立開來研究。例如，在“20以內(nèi)進(jìn)位加法”的教學(xué)時(shí)，教師往往會(huì)借助小棒讓學(xué)生通過擺一擺理解“湊十法”算理。通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，少數(shù)孩子能擺能說，卻無法利用“湊十法”來達(dá)到進(jìn)位加法計(jì)算的自動(dòng)化。這時(shí)，教師需要引導(dǎo)個(gè)體在動(dòng)手?jǐn)[小棒的基礎(chǔ)上，運(yùn)用直觀想象在頭腦中重現(xiàn)擺小棒和移小棒的過程，激活運(yùn)算思維，建立起整個(gè)小學(xué)階段加法運(yùn)算的算理體系，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈敏性和系統(tǒng)性。