多維表征，建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義

施蒙蒙 周興苗

[摘? 要] 分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的知識(shí)內(nèi)容，分?jǐn)?shù)意義的理解是學(xué)生數(shù)概念發(fā)展的基石。文章基于分?jǐn)?shù)定義的剖析、教材研讀和學(xué)情分析，制定了“感知—具化—深化”三個(gè)維度的教學(xué)環(huán)節(jié)，從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)入手， 通過(guò)多維表征的含義，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，深刻理解單位“1”，正確構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義，為學(xué)生后續(xù)更好地學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

[關(guān)鍵詞] 多維表征;建構(gòu);分?jǐn)?shù)意義

■一、課前思考

分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的知識(shí)內(nèi)容，分?jǐn)?shù)定義的理解是學(xué)生數(shù)概念發(fā)展的基石，也為日后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的計(jì)算及應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)該怎樣定義呢？雖眾說(shuō)紛紜，但較為集中認(rèn)定的是張奠宙教授概括的如下四種。一是份數(shù)的定義：把一個(gè)“整體”平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示。二是商的定義：兩個(gè)整數(shù)相除的商（除數(shù)不能為0）。三是比的定義：分?jǐn)?shù)是整數(shù)p與整數(shù)q（q≠0）的比。四是公理化定義：分?jǐn)?shù)就是有序的整數(shù)對(duì)（p，q），其中q≠0。另外，史寧中教授認(rèn)為，分?jǐn)?shù)的兩個(gè)作用是作為一種有理數(shù)參與運(yùn)算和以比的形式出現(xiàn)的數(shù)，分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于它的無(wú)量綱性;而劉加霞博士則認(rèn)為，分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位累加的結(jié)果，是先分再數(shù)的數(shù)，這樣就將整數(shù)與分?jǐn)?shù)溝通起來(lái)了。

總而言之，分?jǐn)?shù)的定義是多樣性的。要正確理解分?jǐn)?shù)，就要試著去理解分?jǐn)?shù)定義的多樣性。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，分?jǐn)?shù)的教學(xué)分為兩個(gè)階段安排。三年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”，五年級(jí)引入分?jǐn)?shù)的“商的定義”，而對(duì)于比的意義和公理化在小學(xué)階段并未明顯涉及。分?jǐn)?shù)定義的多樣性意味著我們?cè)诖偈箤W(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，不是一節(jié)課能完成的，它應(yīng)該是一個(gè)系統(tǒng)的、龐大的過(guò)程。每一堂課都應(yīng)成為這一個(gè)工程中的一環(huán)，一環(huán)緊扣一環(huán)，才能促使學(xué)生最終形成自己的理解。

本文的“分?jǐn)?shù)的意義”是五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元的起始課時(shí)，它是對(duì)學(xué)生三年級(jí)時(shí)分?jǐn)?shù)定義的提升，又是開(kāi)啟商的定義學(xué)習(xí)的序幕。因此，這一堂課在三年級(jí)和五年級(jí)的學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，本課是進(jìn)一步打開(kāi)分?jǐn)?shù)理解的大門(mén)。

■二、實(shí)踐與評(píng)析

結(jié)合對(duì)教材的分析與學(xué)生的解讀，筆者認(rèn)為，本課要做的是對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理性提升，使得零散的分?jǐn)?shù)理解走向系統(tǒng)體系。首先，我們要實(shí)現(xiàn)的是對(duì)單位“1”的完整理解。要將學(xué)生腦海中零散的對(duì)象聚類，同時(shí)要擴(kuò)展學(xué)生對(duì)單位“1”的認(rèn)知。要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：一個(gè)圖形、一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、多個(gè)物體等世間萬(wàn)物都可以看作“1”而平均分，從而得到分?jǐn)?shù)。其次，要建立分?jǐn)?shù)的“過(guò)程性”理解，即“確定單位‘1—平均分成若干份—得到分?jǐn)?shù)單位—得到分?jǐn)?shù)”的分?jǐn)?shù)理解?；谝陨戏治觯P者制定了“感知—具化—深化”三個(gè)維度的教學(xué)環(huán)節(jié)，采用圖形、文字、符號(hào)等多元表征方式，來(lái)構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義，進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。具體的教學(xué)實(shí)踐如下：

1. 實(shí)現(xiàn)單位“1”的完整理解

（1）感知——自主表征，感悟“1個(gè)整體”，感知分?jǐn)?shù)的意義。

1）自主表征■。

①回顧舊知。

師：我們認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，你了解分?jǐn)?shù)的哪些知識(shí)？

②表征■。

師：用畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)等方式，把你心目中的■表示出來(lái)。

師：你為什么這樣表示■？和你的同桌交流一下。

評(píng)析：本環(huán)節(jié)旨在通過(guò)一個(gè)問(wèn)題和一個(gè)操作活動(dòng)，喚醒學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生經(jīng)歷思考、多元表征、交流等學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的需求和欲望，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知躍然紙上，生成豐富的學(xué)習(xí)資源為下一環(huán)節(jié)的探究做好準(zhǔn)備。這樣的導(dǎo)入設(shè)計(jì)真正從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，以生為本，以生成為導(dǎo)向，學(xué)生表現(xiàn)出的對(duì)分?jǐn)?shù)的表征能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于教材的設(shè)計(jì)，為后面的進(jìn)一步探究做好準(zhǔn)備。

2）初步感知分?jǐn)?shù)的意義。

①展示學(xué)生的作品：

一個(gè)正方形的■? ? 一條線段的■

四個(gè)蘋(píng)果的■? ? ? 一句話描述■

②感知■的含義。

師：這些都是同學(xué)們表示出來(lái)的■，你是怎么表示的？大家交流一下。

規(guī)范語(yǔ)言描述：把（? ? ）看作一個(gè)整體，平均分成4份，每份就是它的■。

引導(dǎo)總結(jié)：看來(lái)一個(gè)圖形、一條線段，以及這樣的4個(gè)蘋(píng)果都可以看作一個(gè)整體，平均分成4份，一份就是它的■。

3）比較、小結(jié)。

①整體展示學(xué)生的作品。追問(wèn)：我們繼續(xù)觀察這些作品，為什么這些不一樣的方式都可以表示出■？

②小結(jié)：像這樣的一個(gè)正方形是一個(gè)物體，這條線段可以看作一個(gè)計(jì)量單位，4個(gè)蘋(píng)果是一些物體。數(shù)學(xué)上像這樣的一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一些物體，都可以看作是一個(gè)整體（板書(shū)：一個(gè)整體），把一個(gè)整體平均分成4份，一份就是它的■。

評(píng)析：通過(guò)前測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫(huà)圖表征分?jǐn)?shù)的水平是非常高的，但學(xué)生語(yǔ)言描述總會(huì)遺漏一些元素，最薄弱的兩個(gè)點(diǎn)就是“平均分”與“誰(shuí)的幾分之幾”。為了更好地利用學(xué)生生成的素材，為分?jǐn)?shù)意義的進(jìn)一步深度構(gòu)建提供語(yǔ)言與直觀支撐，把這一環(huán)節(jié)定位為：整體展示、規(guī)范語(yǔ)言、圖與文字的一一對(duì)應(yīng)?；趯W(xué)生生成的差異資源，通過(guò)“為什么這些不一樣的方式都可以表示出■”這樣一個(gè)問(wèn)題指引學(xué)生去思考、去重構(gòu)知識(shí)，學(xué)生結(jié)合直觀的圖示、異同的辨析，通過(guò)對(duì)■這個(gè)分?jǐn)?shù)意義的初步理解，感悟什么是“一個(gè)整體”，感知分?jǐn)?shù)的意義。

（2）具化——深度表征，理解“一個(gè)整體”，內(nèi)化分?jǐn)?shù)的意義。

環(huán)節(jié)1：深度表征■。

1）深度表征，理解單位“1”的概念。

①學(xué)生嘗試。

師：請(qǐng)根據(jù)自己對(duì)四分之一的理解，表示出這幾幅圖的■。

②組織反饋。

師：你是怎么表示■的？

③討論交流。

師：為什么都表示■，一會(huì)兒涂的是1個(gè)圓，一會(huì)兒涂的是 2個(gè)圓，一會(huì)兒涂的又是3個(gè)圓，這是怎么回事？

生：因?yàn)槊看纹骄值目倲?shù)不同，所以每次表示■的圓的個(gè)數(shù)也不同。

師：都是把一個(gè)整體平均分成了4份，表示出其中的一份，整體的數(shù)量在變化，一份的數(shù)量也在變化。這個(gè)整體還可以是幾個(gè)圓呢？

生：20個(gè)、24個(gè)、100個(gè)……只要是4的倍數(shù)就可以。

追問(wèn)1：還有其他的想法嗎？

生：可以是1個(gè)。

生：我覺(jué)得還可以是半個(gè)。

追問(wèn)2：可以是半個(gè)嗎？

生：可以的，只要把半個(gè)圓看作一個(gè)整體，也是能夠平均分成4份的。（學(xué)生上臺(tái)演示）

小結(jié)：看來(lái)，不管圓的數(shù)量是多少，我們都可以看作一個(gè)整體，只要把這個(gè)整體平均分成4份，其中的一份都是這個(gè)整體的四分之一。

2）理解單位“1”。

師：在數(shù)學(xué)上，一個(gè)整體可以用自然數(shù)1來(lái)表示，我們通常把它叫作單位“1”。（板書(shū)：?jiǎn)挝弧?”）

師：我們現(xiàn)在回顧剛才研究的■，你能分別說(shuō)出■的單位“1”嗎？

環(huán)節(jié)2：提升練習(xí)。

設(shè)疑：兩次都是吃了■，為什么吃的塊數(shù)會(huì)不一樣？

小結(jié)：是的，從圖上我們可以直接看出，單位“1”的具體數(shù)量不一樣，同樣的一個(gè)分?jǐn)?shù)表示的數(shù)量就不一樣。

評(píng)析：本環(huán)節(jié)組織學(xué)生對(duì)■進(jìn)行深度表征。通過(guò)對(duì)三幅圖涂一涂、議一議的過(guò)程，讓學(xué)生充分感知“一個(gè)整體”，結(jié)合“這個(gè)整體還可以是幾個(gè)圓”等幾個(gè)問(wèn)題的追問(wèn)，學(xué)生既關(guān)注了“一個(gè)整體”所表示的數(shù)量不斷變大，又兼顧了“一個(gè)整體”所表示的數(shù)量不斷變小，當(dāng)學(xué)生感悟到半個(gè)圓也可以是“一個(gè)整體”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)“一個(gè)整體”真正理解了，單位“1”的概念也自然建立了。經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)■和單位“1”的認(rèn)識(shí)越來(lái)越深刻、越來(lái)越接近概念的本質(zhì)?！疤嵘毩?xí)”的設(shè)計(jì)主要是內(nèi)化單位“1”，進(jìn)一步凸顯量率的對(duì)應(yīng)關(guān)系與單位“1”的具體化認(rèn)知，為后續(xù)研究分?jǐn)?shù)的其他知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生經(jīng)歷這兩個(gè)環(huán)節(jié)的深度表征過(guò)程，實(shí)現(xiàn)單位“1”的完整理解。

2. 建立分?jǐn)?shù)的過(guò)程性理解

（1）理解分?jǐn)?shù)的概念。

1）規(guī)范語(yǔ)言描述分?jǐn)?shù)的意義。

師：我們繼續(xù)觀察這8個(gè)圓，這里你還能找到哪個(gè)分?jǐn)?shù)？

生：■。

師：是的，學(xué)習(xí)了單位“1”后，我們可以這樣來(lái)描述■的含義：把8個(gè)圓看作單位“1”，平均分成4份，其中的3份可以用■表示。

師：圖5右邊的兩幅圖的涂色部分分別可以用什么分?jǐn)?shù)表示？這個(gè)分?jǐn)?shù)的含義是什么？大家先寫(xiě)一寫(xiě)再說(shuō)一說(shuō)。

2）概括分?jǐn)?shù)的意義。

師：我們研究了這么多分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在你能說(shuō)一說(shuō)什么是分?jǐn)?shù)嗎？

①組織學(xué)生討論交流;②結(jié)合學(xué)生的回答進(jìn)行小結(jié)。

教師引導(dǎo)小結(jié)：把單位“1”平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。這就是今天我們研究的分?jǐn)?shù)的意義。（板書(shū)：分?jǐn)?shù)的意義）

3）觀察比較，明確分?jǐn)?shù)單位概念。

①比較■和■。

師：仔細(xì)觀察圖5，這個(gè)■和■有什么關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)3個(gè)■是■。

②理解分?jǐn)?shù)單位。

師：■表示這樣的一份，■里面就有這樣的3份。在數(shù)學(xué)上，表示其中一份的數(shù)，叫分?jǐn)?shù)單位。所以■就是一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，■的分?jǐn)?shù)單位就是■，它有3個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

師：請(qǐng)大家觀察圖5右邊的兩幅圖，你現(xiàn)在會(huì)找分?jǐn)?shù)單位嗎？像剛才那樣，完整地說(shuō)一說(shuō)。

（2）溝通分?jǐn)?shù)單位與整數(shù)單位。

1）在括號(hào)里填上合適的數(shù)。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在把一個(gè)長(zhǎng)方形看作單位“1”，這些圖示你能用一個(gè)合適的數(shù)表示嗎？

①學(xué)生獨(dú)立完成;②全班交流。

師：這是單位“1”，現(xiàn)在整體來(lái)觀察這五個(gè)數(shù)，你有什么想法？

生：把一個(gè)長(zhǎng)方形看作單位“1”，只要滿幾個(gè)單位“1”，就可以用幾來(lái)表示。不滿一個(gè)單位“1”的，只能用分?jǐn)?shù)表示。

師：看來(lái)這個(gè)單位“1”真厲害，它一個(gè)一個(gè)地累積起來(lái)就是我們認(rèn)識(shí)了的整數(shù)，當(dāng)不滿一個(gè)單位“1”時(shí)，就要用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

2）在線段上表示出這些數(shù)。

師：在0到1這段上你能表示哪些數(shù)？

①學(xué)生獨(dú)立完成;②全班反饋交流。

生：把0到1這一段平均分成5份，再表示出這樣的一份，就是■，后面第三格是■，第四格是■。

生：把這條線段向后延長(zhǎng)1倍，那個(gè)地方就是2，再延長(zhǎng)1倍，那個(gè)地方就是3了。

師：如果在0和■的正中間再找一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以用什么分?jǐn)?shù)表示？

生：■，也就是把0到1這段平均分成10份，這樣的一份就是■。

結(jié)合學(xué)生的發(fā)言，教師分步演示課件，最終成圖7。

3）小結(jié)。

師：我們根據(jù)單位“1”，找到了■，后面一個(gè)單位一個(gè)單位地累積起來(lái)就能得到五分之幾，還能確定2、3……這些整數(shù)的位置，我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)都能在這樣的直線上表示出來(lái)。

評(píng)析：有了前面單位“1”的完整性理解，第一環(huán)節(jié)學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的概括和分?jǐn)?shù)單位的理解就水到渠成了，教師只要用規(guī)范的語(yǔ)言適當(dāng)引導(dǎo)即可。第二環(huán)節(jié)是教學(xué)部分的拓展練習(xí)，借助單位“1”溝通了整數(shù)、1、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，使學(xué)生感悟到單位“1”的累加就能得到整數(shù)，單位“1”的平均分就能得到分?jǐn)?shù)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)概念。數(shù)軸的應(yīng)用，為分?jǐn)?shù)的另外一種定義的引入埋下了伏筆，學(xué)生經(jīng)歷這兩個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)過(guò)程“確定單位‘1—平均分成若干份—得到分?jǐn)?shù)單位—得到分?jǐn)?shù)”，真正建立分?jǐn)?shù)的過(guò)程性理解。

3. 多維表征，深化融合分?jǐn)?shù)的意義

根據(jù)圖8，你能創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)嗎？先畫(huà)一畫(huà)， 再寫(xiě)出這個(gè)分?jǐn)?shù)。

①學(xué)生獨(dú)立完成;②同桌交流;③全班反饋。

師：請(qǐng)這些作品的小主人來(lái)分享自己創(chuàng)造的思路吧！

生：我創(chuàng)造了■，把這6個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，再平均分成2份，其中的1份就是■。

生：我創(chuàng)造了■，我把這6個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，再平均分成6份，其中的3份就是■。

生：我創(chuàng)造了■，我把這6個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，再平均分成3份，其中的2份就是■。

師：講得都很完整。老師這里還有這樣的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，你們能看懂嗎？自己先獨(dú)立想一想，我們?cè)賮?lái)交流。

生：第一幅圖的■表示把5個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，平均分成5份，表示了其中的2份。

生：第二幅圖的■表示把4個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，平均分成4份，表示了其中的3份。

師：是的，大家都能看出這兩個(gè)分?jǐn)?shù)表示的意義，那從這兩個(gè)分?jǐn)?shù)中你能得到什么啟示呢？

生：老師，我明白了，用6個(gè)機(jī)器人創(chuàng)造分?jǐn)?shù)，不一定要把6個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，可以把其中的幾個(gè)看作單位“1”，這樣也能創(chuàng)造出分?jǐn)?shù)。

生：老師，要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，只要先確定把幾個(gè)機(jī)器人看作單位“1”，再平均分成幾份，表示出其中的幾份，就能創(chuàng)造出分?jǐn)?shù)了。

師：嗯，大家都很善于思考。創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們既要關(guān)注單位“1”是什么，還要關(guān)注什么？

生：?jiǎn)挝弧?”被平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

師：嗯！觀察這些創(chuàng)造的分?jǐn)?shù)，大家想一想，分?jǐn)?shù)的分母由誰(shuí)決定，分子又由誰(shuí)決定？

生：?jiǎn)挝弧?”平均分的總份數(shù)就是分母，表示其中的份數(shù)就是分子。

（板書(shū)：?jiǎn)挝弧?”■分?jǐn)?shù)）

評(píng)析：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了開(kāi)放性的學(xué)習(xí)活動(dòng)——結(jié)合6個(gè)機(jī)器人創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生在畫(huà)圖創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的過(guò)程中鞏固對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，這是一個(gè)把學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念理解后物化的過(guò)程，也是對(duì)分?jǐn)?shù)意義進(jìn)行多維表征的過(guò)程。在第一層次（把6個(gè)機(jī)器人看作單位“1”）創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)比較、追問(wèn)，打破把6個(gè)機(jī)器人看作單位“1”的思維定式，從而使學(xué)生進(jìn)一步感悟到確定了單位“1”、平均分的總份數(shù)、表示的份數(shù)，就能創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，深化融合了分?jǐn)?shù)的意義，理解了分母、分子等概念的含義，提升了分?jǐn)?shù)意義的符號(hào)化與語(yǔ)言表征的水平。

■三、結(jié)束語(yǔ)

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解不可能一蹴而就，是一個(gè)螺旋上升逐步內(nèi)化的過(guò)程，教師要理清分?jǐn)?shù)概念的多維定義，領(lǐng)悟教材編排的意圖，把握學(xué)生的學(xué)情。教學(xué)中遵循“感知—具化—深化”的思路，通過(guò)多層次、多維度表征■的含義，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過(guò)抽象與概括把感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性認(rèn)識(shí)，深刻理解單位“1”，正確構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義，真正經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”，這樣的課堂，才是真正意義上的優(yōu)質(zhì)而高效的課堂。