基于蒙特卡洛方法的四桿機(jī)構(gòu)輸出角可靠性研究*

劉曉靜

（山西工程職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030009）

機(jī)械可靠性中機(jī)構(gòu)可靠性是非常重要的一部分，它在工程實(shí)際中不可缺。現(xiàn)有國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者研究機(jī)構(gòu)的可靠性。1966年H. P勃魯也維奇等[1]深入研究了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差。史天錄[2]首次明確歸納出了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析的基本原理。張義民[3]則提出了機(jī)械動(dòng)態(tài)與漸變可靠性理論。四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，輸出角可靠性會(huì)隨著時(shí)間的變化而發(fā)生改變。因此，基于Monte Carol 進(jìn)行四桿機(jī)構(gòu)輸出角可靠性研究，為后續(xù)進(jìn)行可靠性靈敏度研究打好基礎(chǔ)。

1 可靠性研究狀況

可靠性是產(chǎn)品元件或系統(tǒng)機(jī)構(gòu)在一定條件和一段時(shí)間內(nèi)執(zhí)行某種設(shè)定功能而不發(fā)生故障的概率。結(jié)構(gòu)可靠性定量理論的研究始于美國(guó)Freuenthal于1947 年在 ASCE 期刊上發(fā)表的論文中首次提出了應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，從此可靠性理論與方法開(kāi)始引起理論學(xué)術(shù)界和實(shí)際工程界的普遍關(guān)注與重視。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)可靠性理論、可靠性的設(shè)計(jì)方法都進(jìn)行了比較深入的研究。張義民利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和隨機(jī)攝動(dòng)技術(shù)對(duì)裝備零部件的可靠性進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)和穩(wěn)健設(shè)計(jì)。Rhyu以平面四桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副精度概率分析為基礎(chǔ)進(jìn)行了機(jī)構(gòu)可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)。史天錄首次明確歸納出了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析的基本原理，并對(duì)間隙隨機(jī)特性的研究做了完善[4]。

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠性理論的研究最早可以追溯到20世紀(jì)40年代。Rice 首先提出了著名的首次超越概率公式，為首次超越破壞的動(dòng)態(tài)可靠性理論奠定了基礎(chǔ)。Crandall將數(shù)值模擬方法引入首次超越問(wèn)題中，進(jìn)一步發(fā)展了基于首次穿越模型的動(dòng)態(tài)可靠性分析理論。

2 蒙特卡洛方法及可靠性

系統(tǒng)不能完成規(guī)定功能的概率表示為失效概率pf。系統(tǒng)的可靠度pr與失效概率滿(mǎn)足以下關(guān)系式：

系統(tǒng)可靠性分析的主要問(wèn)題就是處理系統(tǒng)的隨機(jī)問(wèn)題來(lái)確定系統(tǒng)的失效概率。

如果連續(xù)隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)為fz(z)，則由失效概率的意義可知：

如果用fX(x) =fX(x1,x2,…,xn)表示基本隨機(jī)變量X= (X1,X2,…,Xn)T的聯(lián)合概率密度函數(shù)，用表示聯(lián)合累積分布函數(shù)，那么系統(tǒng)的失效概率可表示為：

若各基本隨機(jī)變量Xi之間相互獨(dú)立，且Xi的概率密度函數(shù)為，則失效概率為

可靠指標(biāo)是可靠性指標(biāo)的簡(jiǎn)稱(chēng)[5]。由于基本隨機(jī)變量的不確定性，其聯(lián)合概率密度函數(shù)的獲取比價(jià)困難，聯(lián)合概率密度函數(shù)的計(jì)算也非常困難，因此，在工程上一般不使用式（5）來(lái)計(jì)算失效概率。根據(jù)可靠性指標(biāo)與失效概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)計(jì)算可靠性指標(biāo)來(lái)確定系統(tǒng)的可靠性。

正態(tài)分布Y～N (0，1)，那么其概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)為：

將式（6）代入式（4），并注意到式（7）和式（8），則失效概率[6]為

可靠性指標(biāo)、失效概率和可靠概率就可以分別表示為：

上述對(duì)可靠指標(biāo)的計(jì)算是建立在功能函數(shù)服從正態(tài)分布的條件下。當(dāng)pf≥0.001（或β≥3.0902）時(shí)，失效概率的計(jì)算結(jié)果能夠滿(mǎn)足工程上所要求的精度，因此，可以不考慮基本變量的分布類(lèi)型而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；當(dāng)失效概率或可靠指標(biāo)不滿(mǎn)足以上關(guān)系時(shí)，必須考慮功能函數(shù)的概率分布形式。

Monte Carol 首先需要根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布，產(chǎn)生足夠多的樣本，即隨機(jī)數(shù)。不同分布的隨機(jī)變量通過(guò)抽樣得到不同的隨機(jī)序列。最基本的隨機(jī)變量是區(qū)間在（0，1）上的均勻分布。

隨機(jī)數(shù)直接生成法是指根據(jù)概率分布的定義在該區(qū)間內(nèi)抽取滿(mǎn)足分布的隨機(jī)數(shù)。

反變換法：連續(xù)的隨機(jī)變量X 的累積分布函數(shù)為FX(x)，且FX(x)單調(diào)增加，u 為FX(x)的隨機(jī)數(shù)，則X 的隨機(jī)數(shù)為；對(duì)于離散的X，其概率分布為P（x=xi）=Pi（i=1，2，…），，用數(shù)值法找出最接近u 的（FX）xi，若滿(mǎn)足u≤FX(xi)或FX(xi-1) ≤u≤FX(xi)時(shí)，xi為X 的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

舍選法：按照一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇或者舍棄（0，1）上的均勻隨機(jī)數(shù)，從而得到X的隨機(jī)數(shù)x。

Monte Carol 是通過(guò)隨機(jī)抽樣的方法解決在極限狀態(tài)方程未知的情況下的可靠性分析，最簡(jiǎn)單也是最直接的方法。Monte Carol 解決問(wèn)題的步驟分為四步：1）定義極限狀態(tài)方程；2）根據(jù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；3）將隨機(jī)數(shù)代入極限狀態(tài)方程中求解直到完成設(shè)定的抽樣次數(shù)；4）計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率。

Monte Carlo模擬過(guò)程中，采用樣本均值代替總體均值，數(shù)學(xué)期望可以用樣本函數(shù)的均值來(lái)估計(jì)：

功能函數(shù)是結(jié)構(gòu)響應(yīng)量r（x）與機(jī)構(gòu)響應(yīng)閾值r*之差，即g（x）= r（x）- r*。失效域F為集合為{ x | g（x）＜b}所構(gòu)成的區(qū)域，安全域?yàn)槭в虻难a(bǔ)集，即S={ x | g(x)≥b}。安全域和失效域之間存在一個(gè)分界面，將功能函數(shù)簡(jiǎn)記為g，即方程：

假定結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為Z=gX(X)，隨機(jī)變量X 的概率密度函數(shù)fX(X)。按fX(x)對(duì)X進(jìn)行隨機(jī)抽樣，所得的樣本代入功能函數(shù)Z=gX(X)，Z＜0 則記為失效一次。設(shè)模擬次數(shù)為N，其中Z＜0的次數(shù)為nf次。根據(jù)概率論總的大數(shù)據(jù)定律中的Bernoulli定理知，N次獨(dú)立試驗(yàn)中的失效概率nf/N收斂于該事件的概率pf，則失效概率估計(jì)值為：

結(jié)構(gòu)的失效概率[7]可以表示為：

其中：I(x)是x 的指示函數(shù)。規(guī)定x ＜0 時(shí)，I(x)=1；x ≥0，I(x)=0。

根據(jù)式（16），X的第i個(gè)樣本值為xi，則pf的估計(jì)值為：

剛性四桿機(jī)構(gòu)輸出角度可靠性的極限狀態(tài)方程為：

其中：θmax為機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最大的輸出角度值，θe為機(jī)構(gòu)的最大允許角度輸出值。

剛性四桿機(jī)構(gòu)輸出角可靠度[8]為主動(dòng)桿件轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中最大的輸出角在允許值范圍內(nèi)的概率，即：

3 算例

圖1 為四桿機(jī)構(gòu)的角度示意圖，主動(dòng)桿件轉(zhuǎn)速為300r/min，L1、L2、L3、L4已知，具體值及分布類(lèi)型見(jiàn)表1。

表1 彈性四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)

如圖1 所示，四桿分別為L(zhǎng)1、L2、L3、L4，將機(jī)架AD 作為基準(zhǔn)線(xiàn)，曲柄AB 能繞軸線(xiàn)360°范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)，作為主動(dòng)件帶動(dòng)整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。機(jī)構(gòu)輸出角為θ2，機(jī)構(gòu)輸出角為θ4，θ3為構(gòu)件BC 的輻角。為了方便計(jì)算，將四桿機(jī)構(gòu)中的B 點(diǎn)和D 點(diǎn)相連接，將四邊形ABCD 分為兩個(gè)三角形△ABD 和△BCD，設(shè)定∠DBC=φ，∠BDA=β，∠CDB=λ，BD=S。

根據(jù)四桿機(jī)構(gòu)的角度幾何關(guān)系得：

圖1 四桿機(jī)構(gòu)角度示意圖

圖2為基于蒙特卡洛方法對(duì)四桿機(jī)構(gòu)輸出角可靠性分析流程圖。

圖2 Monte Carlo 法輸出角可靠性分析流程圖

根據(jù)表1 機(jī)構(gòu)變量參數(shù)表對(duì)參數(shù)抽取106個(gè)樣本點(diǎn)，代入式（6）計(jì)算剛性機(jī)構(gòu)輸出角，并計(jì)算不同輸入角下輸出角的可靠性和失效概率，如圖3和圖4所示。

圖中可以看出，主動(dòng)桿件轉(zhuǎn)速為300 r/min，輸出角可靠度在主動(dòng)桿件角度為0～60°達(dá)到最小值，120°～240°可靠性基本接近1，超過(guò)300°可靠性下降較快，通過(guò)計(jì)算可得到系統(tǒng)輸出角度的可靠性為0.918 3。

4 結(jié)束語(yǔ)

彈性機(jī)構(gòu)隨著主動(dòng)桿件轉(zhuǎn)角的改變，輸出角可靠度在主動(dòng)桿件角度為0～60°達(dá)到最小值，120°～240°可靠性基本接近1，超過(guò)300°可靠性下降較快。由此通過(guò)計(jì)算可以得到彈性四桿機(jī)構(gòu)中任意一點(diǎn)處的輸出角隨著主動(dòng)桿件轉(zhuǎn)動(dòng)的可靠性，為后續(xù)機(jī)構(gòu)的可靠性靈敏度分析打好基礎(chǔ)。

圖3 輸出角度的可靠性

圖4 輸出角度的失效概率