結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)思想的滲透*

張晞

摘 要 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，也是數(shù)學(xué)知識的一部分?；诮Y(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)視角，從發(fā)現(xiàn)挖掘、自我建構(gòu)、循環(huán)上升和整體孕育四個方面通過問題引領(lǐng)，探尋數(shù)學(xué)思想的滲透策略，進(jìn)而在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中有效滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 結(jié)構(gòu)化視角 數(shù)學(xué)思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，每一個知識點(diǎn)的背后，或者說每一種解題方法、策略教學(xué)的背后，都蘊(yùn)含著相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與之聯(lián)系。在實(shí)際教學(xué)中，教師或多或少都能關(guān)注到數(shù)學(xué)思想的滲透，但對數(shù)學(xué)知識背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識多數(shù)只停留在淺層次上。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該是一個通過長期的滲透才能夠形成的思想和方法的過程[1]。如何把數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思想的滲透有機(jī)結(jié)合起來，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的理解，并幫助他們形成數(shù)學(xué)思想方法，已成為教師普遍關(guān)注的熱點(diǎn)。

一、數(shù)學(xué)思想要在結(jié)構(gòu)化教材解讀中發(fā)現(xiàn)挖掘

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)認(rèn)為良好的知識結(jié)構(gòu)是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)?！稑?biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)思想方法與知識技能同等地位地呈現(xiàn)出來，我們備課時應(yīng)基于結(jié)構(gòu)化視角對教材進(jìn)行追問：本課知識點(diǎn)從哪里來到哪里去？重難點(diǎn)是什么？要解決的核心問題是什么？需要培養(yǎng)哪些學(xué)習(xí)能力？可以用哪些動詞來描述本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法？通過問題探討幫助教師弄清楚數(shù)學(xué)本質(zhì)，使得有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處。

以蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊“因數(shù)和倍數(shù)”這一課為例，其教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生認(rèn)識并理解因數(shù)和倍數(shù)的概念，學(xué)會找一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)，突出有序思考和對自然數(shù)相互關(guān)系的新理解。教材通過用12個小正方形拼成一個大長方形的直觀操作，借助整除的模式ma=b引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。在具體的活動過程中借助每排的個數(shù)、排數(shù)和總個數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生感受到每排的個數(shù)和排數(shù)這兩個數(shù)量的變化過程，以及它們的對應(yīng)關(guān)系。備課時，我們不僅要看到本課的教學(xué)內(nèi)容遠(yuǎn)非這幾個靜態(tài)的拼成的長方形，還要深入挖掘其豐富的內(nèi)涵，要組織學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、演示、語言表達(dá)、畫圖、書寫、符號表征、思考等多種活動，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，逐步認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)的概念，同時感悟不同的數(shù)學(xué)思想。在這個過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀的動手拼、動手寫中抽象出什么是一個數(shù)的因數(shù)、什么是一個數(shù)的倍數(shù)的抽象思想和數(shù)形結(jié)合思想;認(rèn)識用除法成對的方法找因數(shù)、用乘法找倍數(shù)的有序思想、對應(yīng)思想及函數(shù)思想;知道怎樣找一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)快而全的優(yōu)化思想;感受一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的極限思想等等，這些數(shù)學(xué)思想共融于本節(jié)課的知識學(xué)習(xí)中，且彼此包容。在眾多豐富的數(shù)學(xué)思想方法中有些是一般的、普遍的，還有些是本課特有的。其中數(shù)形結(jié)合、有序思考、對應(yīng)思想等等是從一年級就滲透教學(xué)的，我們應(yīng)不著痕跡地進(jìn)行，比如函數(shù)思想，還有些是本課重點(diǎn)滲透的，我們要著力進(jìn)行。

二、數(shù)學(xué)思想要在結(jié)構(gòu)化問學(xué)活動中自主建構(gòu)

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)著眼于現(xiàn)實(shí)世界的意義建構(gòu)，從數(shù)學(xué)外部世界中的相關(guān)數(shù)學(xué)元素的提取進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部的加工，成為一個整體結(jié)構(gòu)的建構(gòu)[2]。在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中，離開數(shù)學(xué)活動，思想方法的建構(gòu)就無從談起。只有在教師引領(lǐng)下，組織學(xué)生積極參與教學(xué)過程，觸發(fā)新知學(xué)習(xí)的頓悟，學(xué)生才能逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法?；顒右I(lǐng)的知識整體建構(gòu)的同時可以促發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的自主建構(gòu)。

數(shù)學(xué)知識有一定的序結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)思想的滲透同樣有它的序結(jié)構(gòu)。知識和思想方法的學(xué)習(xí)過程一定是學(xué)習(xí)者自我建構(gòu)、感悟積累的過程，它經(jīng)由一個量變到質(zhì)變的過程。頓悟是結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中不可跨越的一步，也是數(shù)學(xué)思想形成的重要節(jié)點(diǎn)。作為教師，要把握新知探究建構(gòu)的生長點(diǎn)，每個結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都要實(shí)現(xiàn)頓悟，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才有可能真正發(fā)生。比如教師在“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)中，組織兩次問題探究活動，為學(xué)生充分經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程提供活動機(jī)會。第一次，組織學(xué)生“用12個小正方形拼成一個大長方形，并用一道算式表示自己的拼法”，讓學(xué)生在動手操作的過程中感受到12個小正方形的個數(shù)即拼成的長方形大小是一個不變的量，拼成的長方形長邊變化了，寬邊也跟著變化，在變與不變的過程中體會感悟有序的方法和函數(shù)思想，同時也為下面根據(jù)乘法算式和除法算式成對有序地找一個數(shù)的因數(shù)作鋪墊。讓學(xué)生在探究討論中進(jìn)一步建構(gòu)兩者相互依存的關(guān)系，建立對因數(shù)和倍數(shù)概念的數(shù)學(xué)模型。在建模過程中教師有意引領(lǐng)和學(xué)生無意感悟促進(jìn)他們對函數(shù)思想、對應(yīng)思想和模型思想的感悟。第二次，通過問題引領(lǐng)，讓學(xué)生獨(dú)立記錄36所有的因數(shù)，并在小組里說一說“你是怎么找的？”然后集中展示典型的三種記錄方法，組織對比觀察，討論：“你有什么想說的？”學(xué)生通過小組討論發(fā)現(xiàn)，找36的因數(shù)如果能有序、不重復(fù)、不遺漏是最好的。這時再追問：“怎么樣做到呢？”這一問激起千層浪，輕松獲得找一個數(shù)因數(shù)的方法。因?yàn)榻o予學(xué)生經(jīng)歷找一個數(shù)因數(shù)的方法的過程，并在比較中自主感悟和發(fā)現(xiàn)有序思考、成對去找的好處，使學(xué)生在找因數(shù)方法不斷優(yōu)化的過程中感悟有序思考、一一對應(yīng)的價值，從而建立找一個數(shù)因數(shù)的思想方法，使得有序思想、函數(shù)思想、模型思想的滲透得以自然、自主地生長。這個從無序到有序，由零散重復(fù)到不重復(fù)不遺漏這個過程正是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會。

三、數(shù)學(xué)思想要在結(jié)構(gòu)化應(yīng)用反思中循環(huán)上升

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的研究，數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)應(yīng)規(guī)避“功能固著”，數(shù)學(xué)新知學(xué)習(xí)后的結(jié)構(gòu)化練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成素養(yǎng)的重要組成部分，這里通過問題引領(lǐng)的練習(xí)反思和感悟既是對數(shù)學(xué)知識、技能的鞏固，也是數(shù)學(xué)思想滲透提升的重要途徑[3]。

1.在仿例變式中鞏固循環(huán)

“因數(shù)和倍數(shù)”的新知學(xué)習(xí)后，教師設(shè)計(jì)“找一找”的數(shù)學(xué)活動，“你能找出下面各數(shù)的因數(shù)嗎？”通過問題引領(lǐng)仿例和變式練習(xí)，找出24的所有因數(shù)，鞏固找一個數(shù)因數(shù)的方法。找后面三個數(shù)的因數(shù)則是變式練習(xí)，是形成數(shù)學(xué)思想方法更加充實(shí)的課程資源，具有一定的挑戰(zhàn)性。當(dāng)方框或字母不確定時，因數(shù)也是不確定的，但有些因數(shù)是肯定的，比如1和這個數(shù)本身一定是這個數(shù)的因數(shù)等等。突出在變式練習(xí)中感悟?qū)W習(xí)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，讓學(xué)生體會從變化中感悟數(shù)學(xué)思想不變的真諦。這樣的變式練習(xí)不僅鞏固了新學(xué)的因數(shù)的相關(guān)知識，而且把握了因數(shù)概念的本質(zhì)。

2.在解決問題中鞏固循環(huán)

上面兩題既是鞏固知識，形成技能，更重要的是突出用表格的形式來體現(xiàn)變與不變的數(shù)學(xué)思想，更直觀地反映排數(shù)、每排的人數(shù)，以及乘坐人數(shù)和應(yīng)付元數(shù)等兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系。應(yīng)用反思是結(jié)構(gòu)化練習(xí)功能循環(huán)提升的一種策略，也是數(shù)學(xué)思想方法形成提升的策略，當(dāng)學(xué)生把表格填寫完整后，教師追問：“為什么每排人數(shù)和排數(shù)都是24的因數(shù)？為什么應(yīng)付的元數(shù)都是4的倍數(shù)？”通過這一思維過程，幫助學(xué)生進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化理解因數(shù)和倍數(shù)的含義，鞏固有序思想、對應(yīng)思想、函數(shù)思想和模型思想。

每一次探究、練習(xí)和反思都是數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的極好機(jī)會，在課堂上我們要適時對數(shù)學(xué)知識形成過程中的各個環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，加深對概念內(nèi)涵的理解和數(shù)學(xué)思想的感悟。

四、數(shù)學(xué)思想要在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)遷移中整體孕育

小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想的滲透，不是一兩節(jié)課能達(dá)到的，要結(jié)合不同階段、不同內(nèi)容的知識學(xué)習(xí)，有意識地反復(fù)孕育同一種數(shù)學(xué)思想，這一過程一定是螺旋式上升，需要經(jīng)歷較長時間的認(rèn)識和理解，切忌操之過急[4]。數(shù)學(xué)思想通過滲透點(diǎn)的理解發(fā)現(xiàn)、關(guān)聯(lián)點(diǎn)的觸發(fā)頓悟、融合點(diǎn)的遷移反思，體驗(yàn)螺旋提升，逐步引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟和思考，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和感悟積累到一定程度時，數(shù)學(xué)思想就能達(dá)到一種呼之欲出的境界。

雖然，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)比數(shù)學(xué)知識教學(xué)有難度，但仍然是有規(guī)律可循的，數(shù)學(xué)思想方法的形成一定是經(jīng)過多次孕育、初步理解、簡單應(yīng)用的過程?！耙驍?shù)和倍數(shù)”這節(jié)課的重點(diǎn)是有序思考和對自然數(shù)相互關(guān)系的新理解。有序的數(shù)思想方法，從一年級第一節(jié)課“數(shù)一數(shù)”就開始孕育，其間“認(rèn)數(shù)”“認(rèn)識圖形”“認(rèn)識乘除法”“解決問題”等新知學(xué)習(xí)過程中，不斷滲透有序思想方法，經(jīng)過各年級反復(fù)孕育，現(xiàn)在學(xué)習(xí)探索一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法做到有序，可以說是水到渠成。再如，抽象概括不是一節(jié)課就能學(xué)會的，學(xué)生解決問題或多或少帶有一些“試誤”的可能，有些雖然解決了問題，但對問題解決的思路、方法乃至結(jié)果的正確性沒有把握，因此，在解決問題的過程中學(xué)會反思是非常重要的。在學(xué)生已有認(rèn)知中對自然數(shù)之間的關(guān)系以及對“因數(shù)”和“倍數(shù)”的名詞并不陌生，相差關(guān)系、倍比關(guān)系是他們所熟知的自然數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生已經(jīng)知道的“因數(shù)”可能是乘法算式中的乘數(shù)，已經(jīng)知道的倍數(shù)也可能是受到“倍”的影響，在學(xué)生已有認(rèn)知中因數(shù)和倍數(shù)是兩個獨(dú)立的概念。但“彼因數(shù)非此因數(shù)”“彼倍數(shù)非此倍數(shù)”。在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境，學(xué)生基于自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)會對與自己認(rèn)知產(chǎn)生沖突的兩個概念提出質(zhì)疑：“這里的因數(shù)和以前學(xué)的因數(shù)是否一樣？這些倍數(shù)和今天學(xué)的倍數(shù)一樣嗎？”課堂從關(guān)聯(lián)點(diǎn)出發(fā)，在關(guān)鍵處慢下來，提出質(zhì)疑，進(jìn)行辨析，整體建立對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生學(xué)會抽象概括的思想方法。

參考文獻(xiàn)

[1] 王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

[2] 吳玉國.走向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)[J].江蘇教育，2017（09）：67-68.

[3] 鐘啟泉.讀懂課堂[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[4] 李光樹.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].北京：人民教育出版社，2014.

[責(zé)任編輯：陳國慶]