加性和乘性三值噪聲激勵下周期勢系統(tǒng)的動力學分析1)

靳艷飛 王賀強

(北京理工大學力學系,北京 100081)

引言

隨機共振的概念是Benzi 等[1]在研究第四紀全球冰川期問題時提出的,揭示了噪聲對非線性系統(tǒng)的動力學行為起到的積極有序的建設性作用的一面.近40 年來,隨機共振及其相關(guān)問題的研究在理論、實驗和應用方面都取得了豐碩成果[2-6].然而,這些研究成果大多集中在經(jīng)典的雙穩(wěn)系統(tǒng)和閾值系統(tǒng),對于復雜非線性多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中噪聲誘導共振的研究較少.許多實際的工程系統(tǒng)、電子電路、超導器件、控制器等,其基本的模型都是基于周期勢系統(tǒng)建立的,比如:生物馬達中的棘齒模型[7]、物理領域的約瑟夫森結(jié)[8-9]、工程力學中的單擺模型[10]等.因此,周期勢系統(tǒng)中噪聲誘導的共振研究成為非線性動力學關(guān)注的熱點[11-23].Fronzon 和Mannella[11]研究了傾斜的周期勢系統(tǒng)中由噪聲激勵的布朗粒子的傳輸問題,并搭建了鎖相環(huán)電路模型進行實驗驗證.Dan 等[13]從理論上研究了非均勻介質(zhì)中質(zhì)點在過阻尼周期勢系統(tǒng)中的運動,取適當相位差時,質(zhì)點的運輸會隨著噪聲強度的變化達到隨機共振的效果.Zhang[14]在恒力加白噪聲驅(qū)動的欠阻尼單擺中研究了相干共振現(xiàn)象.Saikia 等[15-16]發(fā)現(xiàn)在驅(qū)動頻率接近最小勢阱的固有頻率時,欠阻尼的周期勢系統(tǒng)中存在隨機共振現(xiàn)象,并把平均輸入能量作為新的指標量引入到隨機共振的研究中,發(fā)現(xiàn)兩個穩(wěn)定的動力學狀態(tài)和隨機共振的產(chǎn)生主要取決于系統(tǒng)的阻尼比和外激勵的振幅.Jin 等[17-19]研究了不同噪聲激勵下周期勢系統(tǒng)中的相干共振和隨機共振現(xiàn)象,并探討了有色噪聲對系統(tǒng)響應和隨機共振的影響.謝勇和陳若男[21]在弱周期信號極限下,利用Floquet 理論和非擾動展開法給出了一種非線性響應意義上的矩方法,對周期信號和高斯白噪聲共同作用下過阻尼搓板勢系統(tǒng)的隨機共振進行了研究.Liu 和Kang[22]主要研究了非高斯列維噪聲對欠阻尼周期勢系統(tǒng)隨機共振的影響,發(fā)現(xiàn)噪聲參數(shù)對系統(tǒng)共振效應具有重要影響.Lou 等[23]研究了關(guān)聯(lián)噪聲激勵下單自由度周期勢系統(tǒng)的首次離出時間行為并討論了系統(tǒng)中發(fā)生的共振激活現(xiàn)象.上述研究結(jié)果主要針對白噪聲激勵下的過阻尼系統(tǒng)展開,對欠阻尼周期勢系統(tǒng)的研究較少.

噪聲廣泛存在于工程實際中[24-26],為了簡化計算,常常將寬帶或記憶時間很短的激勵用高斯白噪聲表示.但事實上,真正的白噪聲是不存在的,故實際問題中的隨機激勵需要用具有非零相關(guān)時間的噪聲來描述.三值噪聲是一種隨機電報噪聲,是真實噪聲的典型模型,能更好地描述自然界中的環(huán)境波動[27-29].三值噪聲包含了二值噪聲的情形,并且在一定極限條件下能退化為高斯白噪聲或者散粒白噪聲.特別地,生態(tài)系統(tǒng)中總存在隨機環(huán)境擾動,如,環(huán)境(氣溫、濕度、光照等)的變化、氣候變遷,這種擾動由于其多樣性通常以三值或多值噪聲形式表示.例如:在描述N 類種群的Lotka-Volterra 隨機系統(tǒng)中,需要考慮隨機環(huán)境對種群數(shù)量的容納能力的影響,該隨機環(huán)境激勵以三值噪聲來刻畫[29].近年來,針對二值噪聲作用下非線性系統(tǒng)的隨機共振研究取得了一些成果[30-35].如:Jin 等[30-31]研究了二值和三值噪聲激勵下捕食與被捕食模型的解矩穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)相比于高斯白噪聲,三值噪聲更利于提高系統(tǒng)解的穩(wěn)定性.Xu 等[32-33]利用數(shù)值方法研究了非對稱二值噪聲作用下雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振和隨機分岔,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)響應會呈現(xiàn)非對稱性,且加性二值噪聲的狀態(tài)和強度能夠誘導系統(tǒng)產(chǎn)生隨機分岔現(xiàn)象.Fulinski[34]研究了非馬爾可夫二值噪聲作用下系統(tǒng)中噪聲誘導的遷移和隨機共振現(xiàn)象.

本文研究了加性和乘性三值噪聲及外周期信號驅(qū)動下的欠阻尼周期勢系統(tǒng)的概率密度演化和隨機共振.通過數(shù)值方法得到了系統(tǒng)的瞬態(tài)概率密度和聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù),分析了系統(tǒng)參數(shù)和噪聲對概率密度演化的影響.此外,利用系統(tǒng)平均輸入能量來刻畫隨機共振,討論了三值噪聲強度、噪聲轉(zhuǎn)遷率、外周期信號振幅等對隨機共振的影響.

1 系統(tǒng)的隨機響應

1.1 動力學模型

考慮乘性和加性三值噪聲及外周期力驅(qū)動下的欠阻尼周期勢系統(tǒng),其動力學方程如下

其中,γ 為阻尼系數(shù),勢函數(shù)U(x)=?sinx?bx,b是一個偏置常數(shù),外周期力F(t)=F0cos(ω0t),這里F0和ω0分別是其振幅和頻率.ξ(t)和η(t)是兩個獨立的三值噪聲,它們的統(tǒng)計特性為

其中,噪聲自相關(guān)時間τi,噪聲強度Di(i=1,2).

對于三值噪聲(2),假設ξ(t)和η(t)分別取值為{?Ai,0,Ai} (i=1,2),從±Ai到0 的轉(zhuǎn)遷率為αi,其他態(tài)之間的轉(zhuǎn)遷率為βi.對于對稱的三值噪聲,αi=βi(i=1,2).則有轉(zhuǎn)遷概率滿足[29]

1.2 隨機響應

針對系統(tǒng)(1),分析系統(tǒng)參數(shù)對隨機響應的影響.在圖2 和圖3 中,固定噪聲強度D1=0.4,D2=0.2,b=0.2,ω0=π/4,α1=α2=10.通過數(shù)值方法對方程式(1)進行數(shù)值積分,所取的初值為x0∈[?π:π/50:π],0=0,對不同初始值得到的響應軌線進行平均,給出系統(tǒng)響應的時間歷程圖、穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù).從圖2 來看,當阻尼系數(shù)和外周期力振幅均較小時,系統(tǒng)響應在x=1.5 附近振蕩,即系統(tǒng)粒子僅在一個穩(wěn)態(tài)勢阱內(nèi)運動,其對應的穩(wěn)態(tài)概率密度是單峰結(jié)構(gòu).在圖3 中,當F0增大到0.4 時,可以看到系統(tǒng)粒子開始在多個穩(wěn)態(tài)之間躍遷,其對應的穩(wěn)態(tài)概率密度是多峰結(jié)構(gòu).上述現(xiàn)象可以解釋為,對于固定的噪聲強度,通過增加外周期力的振幅能夠使系統(tǒng)在多個勢阱間做躍遷運動.

圖2 系統(tǒng)響應的時間歷程圖和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Fig.2 Time history and stationary probability density function of system(1)

圖3 系統(tǒng)響應的時間歷程圖和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Fig.3 Time history and stationary probability density function of system(1)

下面為了研究系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的演化,對方程(1)采用蒙特卡洛方法進行數(shù)值模擬,令D1=0.2,D2=0.1,系統(tǒng)的其他參數(shù)選取如上.在計算區(qū)域{(x,):(?20,20)×(?20,20)}和{(x,):(?2π,2π)×(?2π,2π)} 上分別取200×200 組初始值,每個初始值計算組樣例,計算系統(tǒng)平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)[36-37]和瞬態(tài)概率密度函數(shù).圖4 和圖5 顯示了平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)在外周期力作用下的演變情況.在圖4 中,對于γ=0.1,一個周期內(nèi)的平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度具有多個高度基本相等的峰.隨著F0的增大,峰之間的躍遷更加頻繁,多個峰的高度逐漸變得不相等,且隨著x由?20 增大到20,峰值逐漸增大,即粒子由于F0的增加,有更大的幾率運動到離穩(wěn)定點更遠的地方,見圖4(b).圖5 中固定γ=0.9,可以看出,此時的平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)呈現(xiàn)3 個獨立的尖峰結(jié)構(gòu),說明隨著阻尼系數(shù)的增大,勢阱之間的躍遷運動變得困難,符合物理直觀.對比圖4 和圖5,可以發(fā)現(xiàn)阻尼系數(shù)和外周期力振幅的變化可以引起平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)的形態(tài)發(fā)生拓撲結(jié)構(gòu)的變化,這種現(xiàn)象類似于隨機P-分岔現(xiàn)象.圖6 顯示了在一個周期內(nèi)的不同時刻,系統(tǒng)瞬態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)在(x,y)平面內(nèi)的投影,反映了聯(lián)合概率密度函數(shù)的演化過程.可以清晰地看出,概率密度函數(shù)峰的位置之間相互連接,其界限比較模糊,隨著時間的延長,概率密度函數(shù)峰的位置逐步演化成3個相互獨立的“吸引子”,顯示了瞬態(tài)概率密度函數(shù)在一個周期內(nèi)的演化過程.

圖4 系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)(γ=0.1)Fig.4 Average stationary joint probability density function of system(1)(γ=0.1)

圖5 系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)(γ=0.9)Fig.5 Average stationary joint probability density function of system(1)(γ=0.9)

圖6 一個周期內(nèi)不同時刻瞬態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)在(x,y)平面的投影(γ=0.6,F0=1.4)Fig.6 Projection of transient joint probability density function at different moment(γ=0.6,F0=1.4)

圖6 一個周期內(nèi)不同時刻瞬態(tài)聯(lián)合概率密度函數(shù)在(x,y)平面的投影(γ=0.6,F0=1.4)(續(xù))Fig.6 Projection of transient joint probability density function at different moment(γ=0.6,F0=1.4)(continued)

2 隨機共振

在外周期力和三值噪聲共同作用下的周期勢系統(tǒng)(1)中,布朗粒子存在有序的運動和無序的熱運動,系統(tǒng)的隨機共振體現(xiàn)在周期力做功隨著噪聲強度變化所表現(xiàn)出的非單調(diào)上[38],該方法也稱為隨機能量法.

定義外周期力在一個周期T0=2π/ω0內(nèi)對系統(tǒng)所做的功為

將不同初始位置下的所有外加周期力輸入能量式(4)進行平均,得到系統(tǒng)的平均輸入能量

其中N是計算的周期數(shù).

根據(jù)方程式(1)、式(4)和式(5),圖7 ～圖11 分別討論了加性噪聲強度、加性噪聲轉(zhuǎn)遷率和乘性噪聲轉(zhuǎn)遷率對系統(tǒng)的平均輸入能量的影響.在數(shù)值計算中,取γ=0.3,ω0=π/4,N=2000.圖7 和圖8 描述了系統(tǒng)分別在加性噪聲激勵、加性和乘性噪聲共同激勵下,隨加性三值噪聲強度D1的變化規(guī)律.在圖7中,當F0分別取0.1,0.2,0.3 時,隨D1的增大呈現(xiàn)非單調(diào)變化,有共振峰出現(xiàn),即出現(xiàn)隨機共振.隨著F0的進一步增大,隨D1的增大出現(xiàn)單調(diào)遞減變化,此時隨機共振消失.類似地,在圖8 中固定F0=0.3,系統(tǒng)(1)在乘性和加性噪聲共同作用下,隨D1的增加出現(xiàn)共振峰,但是和最優(yōu)的D1的值較圖7 變小.總之,當噪聲強度和外周期力振幅取適當值時,系統(tǒng)(1)會出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象.

圖7 僅在加性噪聲激勵下,系統(tǒng)的平均輸入能量隨強度D1的變化(α1=0.5,A2=α2=0.0)Fig.7 Average input energy as a function of intensity D1for the case of additive noise excitation(α1=0.5,A2=α2=0.0)

圖8 在加性和乘性噪聲共同激勵下,系統(tǒng)的平均輸入能量隨強度D1的變化(α1=α2=0.5,A2=2.5)Fig.8 Average input energy as a function of intensity D1for the case of both additive and multiplicative noise excitations(α1=α2=0.5,A2=2.5)

圖9 僅在加性噪聲激勵下,系統(tǒng)的平均輸入能量隨加性噪聲轉(zhuǎn)遷率α1的變化(A1=0.3,A2=α2=0.0)Fig.9 Average input energy as a function of transition rate of additive noise for the case of additive noise excitation(A1=0.3,A2=α2=0.0)

圖10 僅在乘性噪聲激勵下,系統(tǒng)的平均輸入能量隨乘性噪聲轉(zhuǎn)遷率α2的變化(A2=3.0,A1=α1=0.0)Fig.10 Average input energy as a function of transition rate of multiplicative noise for the case of multiplicative noise excitation(A2=3.0,A1=α1=0.0)

圖11 在加性和乘性噪聲共同激勵下,系統(tǒng)的平均輸入能量隨加性噪聲轉(zhuǎn)遷率α1的變化(A1=3.0,α2=0.5,A2=2.5)Fig.11 Average input energy as a function of transition rate of additive noise α1for the case of both additive and multiplicative noise excitations(A1=3.0,α2=0.5,A2=2.5)

3 結(jié)論

本文主要研究了由加性和乘性三值噪聲激勵下,二階欠阻尼周期勢系統(tǒng)中的非線性隨機動力學.通過計算系統(tǒng)的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)和瞬態(tài)概率密度函數(shù),討論了系統(tǒng)參數(shù)和外周期力振幅對聯(lián)合概率密度函數(shù)的影響,顯示了瞬態(tài)概率密度函數(shù)在一個周期內(nèi)的演化過程.利用隨機能量法研究了周期力和噪聲對系統(tǒng)的平均輸入能量的影響,揭示了系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)存在適當?shù)脑肼晱姸群屯庵芷诹φ穹沟闷骄斎肽芰壳€存在極大值,導致系統(tǒng)出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象.在平均輸入能量隨加性噪聲轉(zhuǎn)遷率的變化規(guī)律中發(fā)現(xiàn)當周期力幅值較小時,出現(xiàn)了抑制共振的現(xiàn)象;平均輸入能量隨乘性噪聲轉(zhuǎn)遷率的變化中也出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象,但相比于加性噪聲轉(zhuǎn)遷率,未見抑制共振現(xiàn)象,說明乘性三值噪聲和加性三值噪聲對系統(tǒng)隨機共振的影響是不同的.