近地小行星極短弧定軌的進(jìn)化算法研究1)

李鑫冉 趙海斌

?(中國(guó)科學(xué)院行星科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,紫金山天文臺(tái)南京 210034)

?(月球與行星科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,澳門(mén)科技大學(xué)澳門(mén) 999078)

??(中國(guó)科學(xué)院比較行星學(xué)卓越創(chuàng)新中心合肥 230026)

引言

近地小行星是太陽(yáng)系內(nèi)一類特殊的天體,部分近地小行星軌道可能與地球相交,對(duì)地球安全和人類生存環(huán)境構(gòu)成潛在威脅,如6500 萬(wàn)年的全球物種大滅絕[1]、2013 年俄羅斯的車?yán)镅刨e斯克隕石墜落事件[2-3]、發(fā)現(xiàn)于2004 年6 月著名的危險(xiǎn)小行星(99942)Apophis[4].因此,發(fā)現(xiàn)、監(jiān)測(cè)近地小行星并計(jì)算其與地球的碰撞概率、開(kāi)展危險(xiǎn)程度的評(píng)估等相關(guān)研究是十分重要的,而其中能利用較少數(shù)據(jù)盡早確定近地小行星的軌道參數(shù)尤為關(guān)鍵,小行星參數(shù)的精確度對(duì)碰撞模型和危害評(píng)估的結(jié)果有很大影響[5],準(zhǔn)確的軌道參數(shù)可以為后續(xù)的預(yù)警工作提供可靠的輸入,而這就涉及到小行星的定軌問(wèn)題.

NASA 在 2005 年提出對(duì)至少 90%的直徑超過(guò) 140 m 的近地天體進(jìn)行編目和特性獲取[6],Pan-STARRS[7]、Catalina[8]、NEOWISE[9]及LSST[10]、NEOCam[11]等大量的近地小行星大視場(chǎng)巡天項(xiàng)目的開(kāi)展使得巡天能力不斷增強(qiáng),得到了大量的觀測(cè)數(shù)據(jù).但同時(shí),新的觀測(cè)方式也使得無(wú)法對(duì)巡天中探測(cè)到的每一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行后續(xù)的跟蹤觀測(cè),因此獲得的弧長(zhǎng)都很短,通常只有一個(gè)晚上的拍攝[12].為了提高巡天效率,未來(lái)采集的數(shù)據(jù)將會(huì)更為稀疏,并且軌道參數(shù)分布范圍很廣,包含眾多大偏心率軌道,這些短而稀疏的數(shù)據(jù)給軌道確定以及識(shí)別帶來(lái)了很大困難.對(duì)于這些過(guò)短的觀測(cè)弧段尤其是大偏心率極短弧段,利用傳統(tǒng)的Laplace 和Gauss 方法無(wú)法進(jìn)行定軌,加之短弧定軌本身具有的病態(tài)性[12-16],使得定軌難度大幅度增加.由此,如何有效利用這些數(shù)據(jù)對(duì)小行星進(jìn)行極短弧定軌,對(duì)巡天項(xiàng)目的充分利用及小行星的探測(cè)研究都有著重要意義.近年來(lái)針對(duì)這類問(wèn)題,極短弧定軌的概念被明確提出并成為研究熱點(diǎn).極短弧的具體弧長(zhǎng)目前尚無(wú)嚴(yán)格的定義,通常無(wú)法用經(jīng)典方法得到合理定軌結(jié)果的觀測(cè)弧段即稱為極短弧,以區(qū)別于傳統(tǒng)意義上的短弧定軌[12-13,17-18].

除經(jīng)典計(jì)算方法外,優(yōu)選法也可被利用來(lái)解決定軌問(wèn)題,優(yōu)選法克服了經(jīng)典方法中迭代不收斂的現(xiàn)象,但更適合于解決一維的優(yōu)選問(wèn)題.對(duì)于多維情況,計(jì)算過(guò)程過(guò)于復(fù)雜.此外,方法對(duì)于初值的要求較高,而初值選取本身就是一個(gè)初軌計(jì)算問(wèn)題,對(duì)于極短弧軌道計(jì)算問(wèn)題也不適用.

Ansalone 和Curti[18]針對(duì)極短弧定軌問(wèn)題下天基的模擬資料,應(yīng)用遺傳算法(genetic algorithm,GA),將觀測(cè)首末時(shí)刻的斜距作為優(yōu)選變量,使定軌問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題,但采用的參數(shù)與通常選法相差較多.王志勝等[19]傳算法運(yùn)用到短弧定軌的問(wèn)題上來(lái),研究基于測(cè)角資料的衛(wèi)星短弧定軌.劉磊等[20]將遺傳算法應(yīng)用于天基的短弧定軌問(wèn)題,采用雙ρ 迭代模型,對(duì)稀疏數(shù)據(jù)進(jìn)行定軌.李鑫冉和王歆[21-22]對(duì)參數(shù)調(diào)整后將遺傳算法應(yīng)用到了極短弧定軌問(wèn)題中,在地基的空間目標(biāo)定軌問(wèn)題中得到了較好的應(yīng)用.進(jìn)化算法在優(yōu)選問(wèn)題中可以將生物進(jìn)化中優(yōu)勝劣汰的現(xiàn)象應(yīng)用到對(duì)最優(yōu)解的搜尋中,在探索過(guò)程中通過(guò)積累經(jīng)驗(yàn),啟發(fā)式地尋找最終解.算法已有較為成熟的理論基礎(chǔ),在多個(gè)領(lǐng)域都有研究和應(yīng)用[23-24].算法對(duì)先驗(yàn)信息的依賴性較小,受數(shù)據(jù)中的噪聲影響也較小,采用進(jìn)化算法研究定軌問(wèn)題已成為新的趨勢(shì).除遺傳算法外,進(jìn)化算法中還包含多種不同進(jìn)化機(jī)制的算法,算法各有特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì),粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)、差分進(jìn)化算法(differential evolution,DE),及基于統(tǒng)計(jì)學(xué)思想的分布估計(jì)法(estimation of distribution algorithm,EDA)等已被應(yīng)用于解決空間目標(biāo)的短弧定軌問(wèn)題,并在近圓軌道下有較好表現(xiàn).

本文將進(jìn)化算法引入小行星的極短弧定軌問(wèn)題,構(gòu)建計(jì)算框架,以差分進(jìn)化算法為代表采用模擬資料進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證,并比較算法在不同偏心率下短弧定軌問(wèn)題中的表現(xiàn),探討大偏心率下算法的特征.

1 進(jìn)化算法

20 世紀(jì)60 年代進(jìn)化算法基于模擬自然進(jìn)化的方法首次被提出,70 年代出現(xiàn)了相關(guān)的理論研究,直至21 世紀(jì)基本成熟[25].

這其中最具代表性的就是GA 算法,算法通過(guò)模擬自然進(jìn)化中優(yōu)勝劣汰的過(guò)程搜索最優(yōu)解,基于適應(yīng)度來(lái)選擇父代進(jìn)行雜交,GA 算法產(chǎn)生的子代有概率發(fā)生變異,從而在進(jìn)化的同時(shí)尋找新的可能性.從20世紀(jì)70 年代被Holland 和De Jong 提出以來(lái)被廣泛應(yīng)用,收斂性和全局搜索能力已得到證明[25].

PSO 算法于1995 年被Kennedy 和Eberhart[26]提出,源于對(duì)鳥(niǎo)類捕食行為的研究,即鳥(niǎo)類找到食物最簡(jiǎn)單有效的方法就是搜尋當(dāng)前距離食物最近的鳥(niǎo)的附近區(qū)域.與GA 算法不同,它基于群體智能而不是遺傳操作,利用群體中個(gè)體對(duì)信息的分享,使整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)在問(wèn)題求解空間中產(chǎn)生從無(wú)序到有序的演化,最終獲得最優(yōu)解.

DE 方法在1996 年由Storn 和Price[27]提出,是目前最有效的隨機(jī)參數(shù)優(yōu)選算法之一,它模擬生物進(jìn)化,將初始種群中兩個(gè)個(gè)體的向量差作為變異方向,疊加到第三個(gè)個(gè)體上,以此產(chǎn)生新個(gè)體,反復(fù)迭代使得適應(yīng)環(huán)境的個(gè)體被保留下來(lái).不同于遺傳算法原本采用二進(jìn)制編碼適用于離散問(wèn)題的求解,它適用于求解連續(xù)變量的優(yōu)化問(wèn)題.算法構(gòu)造思想借鑒了GA 算法和PSO 算法,算法保留了GA 算法的進(jìn)化過(guò)程,同時(shí)以類似于PSO 算法中的更新方法替代GA 算法中的遺傳操作,因此參數(shù)和算子較少,計(jì)算復(fù)雜性降低.

進(jìn)化算法的進(jìn)化機(jī)制多種多樣,但通常的流程是相同的.一般將需要被優(yōu)選的變量稱為個(gè)體,通過(guò)優(yōu)選方法隨機(jī)生成一定數(shù)量的個(gè)體組成初始種群.種群內(nèi)個(gè)體數(shù)目稱為種群數(shù),種群數(shù)越大搜索能力也越強(qiáng),但計(jì)算效率隨之降低.適值函數(shù)用于評(píng)估個(gè)體優(yōu)劣,即優(yōu)選法中的目標(biāo)函數(shù),對(duì)于最小化問(wèn)題,個(gè)體適值越小則越優(yōu)秀.通過(guò)進(jìn)化在滿足預(yù)定條件時(shí)終止即得到最優(yōu)解.具體流程如圖1.

圖1 進(jìn)化算法流程圖Fig.1 The flowchart of Evolutionary Algorithm

2 初軌計(jì)算的差分進(jìn)化算法

DE 算法的主要步驟與GA 算法類似,主要包括變異(mutation)、交叉(crossover)、選擇(selection)三種操作,但次序不同.算法隨機(jī)生成初始種群X={x1,x2,...,xNP},其中NP為種群數(shù),xi={xi1,xi2,...,xiD}為D維向量,D為優(yōu)選變量的維數(shù).DE 算法先進(jìn)行變異操作,對(duì)每個(gè)個(gè)體xi變異得到個(gè)體Vi,變異方式較GA 算法大為簡(jiǎn)化,常見(jiàn)的變異方式有以下三種

(1)DE/rand/1

(2)DE/best/1

(3)DE/target-to-best/1

其中r為互不相同的均勻分布的隨機(jī)整數(shù),ri∈[1,NP]且ri≠i;S為縮放因子,一般在區(qū)間[0,1]中取值,但多數(shù)文獻(xiàn)建議取較大的值,綜合文獻(xiàn)[27-30],范圍在[0.4,1]比較合適,S取值決定了算法的全局搜索能力,越大的取值全局搜索能力越強(qiáng);xbest為由適值函數(shù)所確定的當(dāng)代最優(yōu)的個(gè)體,DE/*/*是DE 算法變異的表達(dá)方式,兩個(gè)* 依次表示變異基和差分?jǐn)?shù)量.經(jīng)變異所得的種群V={V1,V2,...,VNP}和原種群X交叉操作,得到新種群U.具體如下

其中r為[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù),rand為[1,D]上均勻分布的隨機(jī)整數(shù),CR為交叉概率.此操作使得Ui以一定概率接受變異個(gè)體的分量,但確保至少有一個(gè)分量來(lái)自變異個(gè)體,CR決定了種群的多樣性,文獻(xiàn)中建議CR取0.1 或0.9[27-30]作為初始嘗試值.最后進(jìn)行選擇操作,DE 算法采用了貪婪操作,如果新個(gè)體優(yōu)于初始個(gè)體,則取而代之,否則初始個(gè)體保留下來(lái),進(jìn)入下一次的進(jìn)化

這里k表示進(jìn)化代數(shù),表示xi(k)進(jìn)化到第k代的個(gè)體,函數(shù)F(·)表示求解個(gè)體的適值.從選擇方式可看出最優(yōu)個(gè)體一定會(huì)進(jìn)入下一代,每一代種群不會(huì)劣于前一代.

通過(guò)上述三個(gè)操作完成了一次種群的進(jìn)化,并通過(guò)不斷迭代求解出最優(yōu)解.算法常用操作中的選擇和交叉操作都只有一種方式,而變異操作選擇也比較少,且基本形式是相同的.

3 (a,e,M)優(yōu)選法

3.1 變量選擇

對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題,優(yōu)化變量過(guò)高會(huì)帶來(lái)求解困難的問(wèn)題,即使如今計(jì)算能力已有了大幅度的提升.因此本文采用了3 個(gè)Kepler 根數(shù),即歷元時(shí)刻t0的(a,e,M0)作為優(yōu)化變量,與Ansalone 和Curti[18]采用首尾觀測(cè)時(shí)刻的斜距作為優(yōu)化變量的方法不同,在只增加一維的情況下,使得優(yōu)化結(jié)果不再需要依賴觀測(cè)量就可以得到完整的解,便于資料處理.

3.2 初始種群生成生成和終止條件

根據(jù)先驗(yàn)信息定義優(yōu)選變量的值域,由于進(jìn)化算法對(duì)初值要求較低,無(wú)確切信息時(shí)可將范圍取的大一些:a∈[al,au],e∈[el,eu],M0∈[Ml,Mu].初始種群中每個(gè)個(gè)體的每個(gè)變量都在取值范圍內(nèi)隨機(jī)選取,重復(fù)NP次即得到整個(gè)種群{xNP}.終止條件選取較為普通的迭代次數(shù)達(dá)最大進(jìn)化代數(shù)G終止或連續(xù)C代沒(méi)有進(jìn)化.

3.3 適值函數(shù)

令已知一組觀測(cè)量{ti,αi,δi,i=1,2,...,n},(αi,δi)代表ti時(shí)刻的赤經(jīng)和赤緯,則由歷元時(shí)刻t0的(a,e,M0)可得ti時(shí)刻黃道坐標(biāo)下的近點(diǎn)角Mi,fi和Ei,進(jìn)一步可得

其中Li=(cos δicos αi,cos δisin αi,sin δi)T,ri為ti時(shí)刻目標(biāo)的日心位置矢量,ri=|ri|,ρi為目標(biāo)斜距,Ri為測(cè)站的日心位置矢量可由測(cè)站地心位置矢量Re和地日位置矢量RS得到.由于地球與小行星的為相對(duì)位置分地內(nèi)和地外兩種情況,因此依據(jù)R和L的夾角對(duì)觀測(cè)幾何進(jìn)行分類討論.

當(dāng)R·L<0 時(shí),即圖2 所示,此時(shí)觀測(cè)目標(biāo)的所在位置有A,B,C 三種情況:

(2)當(dāng)|r| >|R|時(shí),即小行星的軌道高于地球,處于位置C;

(3)其他,此時(shí)目標(biāo)位置有兩種可能A 或B,無(wú)法根據(jù)已有條件確定其具體位置,需分別計(jì)算.但這一計(jì)算非常容易,不會(huì)造成過(guò)多負(fù)擔(dān).

當(dāng)R·L>0 時(shí),即圖3 所示,有2 種情況.

(1)|r| <|R| 時(shí),目標(biāo)軌道低于地球,但考慮到R和L的夾角,此情況不可能發(fā)生;

(2)其他,此時(shí)目標(biāo)只可能位于A,即軌道在地球之上.

圖2 R·L<0 時(shí)地球與小行星的位置Fig.2 The locations of Earth and asteroid when R·L<0

基于上述分析,則可得式(1).當(dāng)目標(biāo)位于圖2 位置B、C,及圖3 位置A 時(shí),式中取“+”,其他情況取“-”,則任意一對(duì)觀測(cè)時(shí)刻(tk,tj)且tk>tj,可得對(duì)應(yīng)的(rk,rj)、(fk,fj),此時(shí)有適值函數(shù)

可以看出,適值越小表示個(gè)體越優(yōu).

圖3 R·L>0 時(shí)地球與小行星的位置Fig.3 Locations of Earth and asteroid when R·L>0

3.4 (i,?,ω)的求解

通過(guò)以上計(jì)算已可得t0的(a,e,M0),從而得到每個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的位置矢量ri,從而可得(i,?,ω),考慮到計(jì)算精度,可由每對(duì)(ri,rj)得到的(i,?,ω)取多組結(jié)果的中值作為最后結(jié)果.

4 數(shù)值試驗(yàn)

基于DE 算法采用MATLAB 編寫(xiě)程序,算法參數(shù)選擇NP=300,S=1.0,CR=0.9,變異方法選擇DE/rand/1,最大迭代次數(shù)G=200,連續(xù)迭代次數(shù)C=30 最優(yōu)適值的相對(duì)變化小于10?12則提前結(jié)束計(jì)算.考慮到近地小行星,令值域選擇范圍為a∈[0.8,4.0],M∈[0,2π].

選取三組偏心率不同的軌道,分別計(jì)算其軌道根數(shù),并與傳統(tǒng)的Laplace 方法進(jìn)行比較.表1 給出了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的定軌結(jié)果,模擬數(shù)據(jù)基于其觀測(cè)數(shù)據(jù)的初始時(shí)刻、觀測(cè)時(shí)刻和測(cè)站數(shù)據(jù)生成,同時(shí)保留了觀測(cè)的幾何構(gòu)型,其中POD 代表已獲得的軌道根數(shù),作為參考標(biāo)準(zhǔn).

表1 小行星實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)定軌結(jié)果Table 1 The results of orbit determination with measured data and simulated data

可以看出,模擬數(shù)據(jù)下兩種方法都可得到初軌結(jié)果,Laplace 方法更接近準(zhǔn)確值.采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí),當(dāng)偏心率較小,DE 算法的結(jié)果偏差稍大,當(dāng)偏心率逐漸增大時(shí),Laplace 方法的結(jié)果偏離程度增大,至e>0.6時(shí),已得不到有效結(jié)果,而DE 算法雖然出現(xiàn)偏差,依然可以得到有效解為后續(xù)工作提供軌道范圍的參考信息.另一方面,Laplace 方法只能由單一解判斷軌道信息,當(dāng)計(jì)算出現(xiàn)困難時(shí),得到的結(jié)果完全無(wú)效,無(wú)法指導(dǎo)后續(xù)工作.而進(jìn)化算法的結(jié)果并不僅僅是單一的解,有效范圍內(nèi)的解都是有效的,可根據(jù)多組解的分布判斷結(jié)果的有效性,并提示其存在范圍.對(duì)于大偏心率極短弧軌道,DE 算法的適用性更廣.

極短弧定軌問(wèn)題本身存在困難,當(dāng)偏心率增大時(shí)變得更為復(fù)雜,稀疏數(shù)據(jù)中的誤差也可能對(duì)計(jì)算帶來(lái)很大影響,因此,為了重點(diǎn)關(guān)注算法的計(jì)算規(guī)律,采用模擬數(shù)據(jù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化,主要探討DE 算法在極短弧下解的特征.增加不同偏心率的小行星進(jìn)行比較,選取MPC 中小行星共9 組,已經(jīng)確定的軌道如表2,偏心率覆蓋[0,0.7]的范圍,每組數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度為1-3 天,數(shù)據(jù)點(diǎn)不足10 個(gè).

表2 小行星軌道根數(shù)Table 2 Orbital elements of asteroids

圖4 給出了小行星2001 FR85 在一次完整計(jì)算過(guò)程中軌道半長(zhǎng)徑a和適值的變化.其中e∈[0.0,0.3],NP=300.可以看出DE 算法的效率很高,收斂速度很快.

圖4 半長(zhǎng)徑a 和適值F 的收斂過(guò)程Fig.4 The convergence process of the semi-major and fitness value

考慮到大偏心率定軌相較近圓軌道更為復(fù)雜,不易求解,試驗(yàn)時(shí)偏心率e的取值范圍不直接擴(kuò)大到[0,1],而是對(duì)9 組數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行分類計(jì)算:當(dāng)e∈[0.0,0.3]時(shí),值域選擇范圍為e∈[0.0,0.3];當(dāng)e∈[0.3,0.6]時(shí),值域選擇范圍為e∈[0.3,0.6];當(dāng)e∈[0.6,1)時(shí),值域選擇范圍為e∈[0.6,0.9].為避免隨機(jī)數(shù)對(duì)結(jié)果的影響,采用不同隨機(jī)數(shù)對(duì)每組數(shù)據(jù)重復(fù)計(jì)算300 次.計(jì)算發(fā)現(xiàn),與在空間碎片的計(jì)算結(jié)果不同,優(yōu)化結(jié)果的適值差異明顯,并不像近圓軌道的解那樣彼此接近,因此適值的差異性同樣需要關(guān)注.表3 列出了2001 FR85,2006 SV189,2019 UJ10 各自適值最小的前5 組優(yōu)選結(jié)果.算法雖然不同于空間碎片近圓軌道下可以迅速準(zhǔn)確找到軌道信息的表現(xiàn),但從適值大小分析,真實(shí)解在適值上仍具有較為明顯的優(yōu)勢(shì),且小偏心率的適值優(yōu)勢(shì)比大偏心率更加突出.僅依靠1-3 天的觀測(cè)數(shù)據(jù),得到的最優(yōu)解與MPC 中給的軌道根數(shù)基本一致.

圖5 給出了9 條軌道的(a,e)概率密度分布圖,圖中顏色越淺表示聚集度越高.可以看到,當(dāng)偏心率較小(e<0.1)時(shí),最優(yōu)解主要集中分布在真實(shí)軌道附近,且與適值最小的結(jié)果相吻合,DE 算法可以得到有效的結(jié)果.而當(dāng)偏心率逐漸增大(e>0.3)時(shí),求得解的分布區(qū)域發(fā)生偏離,或出現(xiàn)多個(gè)分布區(qū)域,且分布最集中的區(qū)域也并不是真實(shí)解的所在區(qū)域,分布不再明顯集中于真實(shí)軌道附近.2018 XB5 和2011 HT 有多個(gè)分布聚集的區(qū)域,真實(shí)解包含在其中的某個(gè)區(qū)域但不是聚集度最有優(yōu)勢(shì)的區(qū)域.雖然DE 算法搜索到了真解,但它在獲得的多個(gè)解中并沒(méi)有明顯優(yōu)勢(shì),個(gè)體分布較少.小偏心率的軌道更為穩(wěn)定從而更易被搜索得到解,而當(dāng)偏心率增大時(shí),進(jìn)化過(guò)程對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的敏感性可能產(chǎn)生變化.

表3 各組小行星軌道根數(shù)Table 3 Orbital Elements of Different Asteroid

圖5 概率密度分布圖Fig.5 Probability Density

圖5 概率密度分布圖(續(xù))Fig.5 Probability Density(continued)

因此,對(duì)于小偏心率軌道,算法易于直接尋找到最優(yōu)解,而對(duì)于大偏心率軌道,需結(jié)合分布密度和解的適值進(jìn)行選擇,偏心率的增大使軌道更為復(fù)雜,也導(dǎo)致算法在搜尋最優(yōu)解的靈敏度上有所下降,在搜尋過(guò)程中容易發(fā)生最優(yōu)解搜尋方向的偏離,雖然可以找到適值最優(yōu)的解,但數(shù)量較少,適值不具有優(yōu)勢(shì)的解會(huì)被大量搜索到,真實(shí)解的小范圍內(nèi)的聚集現(xiàn)象,在整體分布上沒(méi)有明顯優(yōu)勢(shì).

2011 FS2 僅包含半天的觀測(cè)數(shù)據(jù),而2019 UJ10偏心率較大,其在概率密度分布圖上的聚集更加難以顯現(xiàn).因此將搜索的解空間進(jìn)行縮小,提高算法的靈敏度,再次進(jìn)行試驗(yàn).表4 中列出了2011 FS2 分別在e∈[0.0,0.3]和e∈[0.1,0.2]內(nèi)搜尋的結(jié)果,均為適值最小的5 個(gè)解.可以看到隨著搜索區(qū)間的縮小,搜索效率得到提高,最優(yōu)解的存在被凸顯出來(lái).將2019 UJ10 的搜索空間縮小至e∈[0.6,0.7]得到了圖6 的概率密度分布圖.可知,雖然仍有另一個(gè)干擾解的存在,但算法明顯搜索到真實(shí)解的存在區(qū)域,并且在此范圍內(nèi)呈現(xiàn)聚集狀.因此算法在計(jì)算大偏心率及過(guò)短弧段的軌道時(shí),搜索空間中真實(shí)解是存在的,只是在大范圍搜索中不易搜到,聚集分布不明顯.計(jì)算時(shí)可以通過(guò)將區(qū)間進(jìn)行約束劃分,分段計(jì)算最優(yōu)解,來(lái)提高算法的靈敏度及搜索能力,提升聚集程度,同時(shí),結(jié)果需結(jié)合解的分布聚集區(qū)域和適值最優(yōu)的個(gè)體考慮.

表4 小行星2011 FS2 軌道根數(shù)Table 4 Orbital Elements of 2011 FS2

圖6 e ∈[0.6,0.7]概率密度分布圖Fig.6 Probability density of e ∈[0.6,0.7]

不同類型軌道受誤差的影響不同,對(duì)多組模擬數(shù)據(jù)加入隨機(jī)觀測(cè)誤差在DE 算法下進(jìn)行比較.表5 給出了分別加入0.1′′,0.2′′誤差的2001 FR85,2006SV189 和2019UJ10 的定軌結(jié)果.可以看到在0.1′′的誤差下,仍可得到有效的定軌結(jié)果.當(dāng)誤差擴(kuò)大到0.2′′時(shí),解的分布仍涵蓋真實(shí)解,可提示軌道信息的參考范圍,但隨著偏心率增大,受誤差影響也增大了,大偏心率的軌道定軌結(jié)果會(huì)受到明顯影響.圖7 給出了約束解空間后加入0.2′′誤差的2011 FS2 的概率密度分布圖,星號(hào)表示真實(shí)解所在位置,在加入誤差后解的分布仍覆蓋真實(shí)解.

表5 加入誤差的定軌結(jié)果Table 5 The results of orbit determination with error

圖7 加入0.2′′ 誤差2011 FS2 的概率密度分布圖Fig.7 Probability Density of 2011 FS2 with 0.2′′ error

5 結(jié)論

極短弧定軌問(wèn)題采用經(jīng)典方法存在很大困難,甚至無(wú)法得到有效解,包括DE 算法在內(nèi)的進(jìn)化算法將這一反問(wèn)題正向處理,避免了經(jīng)典方法固有的病態(tài)性,并且DE 算法參數(shù)較少,操作簡(jiǎn)便,易于實(shí)現(xiàn).進(jìn)化算法計(jì)算框架基本一致,只是進(jìn)化機(jī)制和側(cè)重不同,對(duì)于不同需求的問(wèn)題改用不同進(jìn)化算法時(shí)操作更為便捷,如EDA 方法更注重整體搜索,DE 算法更注重局部搜索,換用不同進(jìn)化算法時(shí)計(jì)算框架可保持不變.

根據(jù)進(jìn)化算法的特點(diǎn),將其應(yīng)用于近地小行星的極短弧定軌進(jìn)行探索.對(duì)于小偏心率軌道,DE 算法利用少于3 天的少量數(shù)據(jù)得到的軌道信息與利用多天多站定軌下的信息一致,可為后續(xù)工作提供可參考的信息.對(duì)于復(fù)雜的大偏心率軌道和弧段更短的軌道,進(jìn)化算法的表現(xiàn)不如小偏心率軌道下良好,搜索靈敏度降低,不易搜索到最優(yōu)解,僅在局部有向最優(yōu)解聚集的現(xiàn)象.因此,需要縮小搜索空間提高算法靈敏度,并結(jié)合分布區(qū)域和適值最優(yōu)進(jìn)行討論.加入誤差后,較小的誤差對(duì)定軌結(jié)果影響較小,隨著誤差增大,盡管適值最優(yōu)解受到干擾,尤其大偏心率軌道的定軌受影響較大,解的分布仍涵蓋真實(shí)解所在區(qū)域.

小行星軌道較為多樣,大偏心率軌道數(shù)量較多,并且實(shí)際觀測(cè)中觀測(cè)位置不同、與地球的相對(duì)位置不同,也會(huì)對(duì)算法產(chǎn)生影響,尤其對(duì)于極短弧定軌問(wèn)題,數(shù)據(jù)量較少,觀測(cè)數(shù)據(jù)差異和誤差的影響更不可忽視.在模擬數(shù)據(jù)的研究基礎(chǔ)上,未來(lái)需對(duì)觀測(cè)位置和時(shí)刻做進(jìn)一步研究,在不同情況下分類計(jì)算,提高算法在大偏心率下的搜索效率,完善進(jìn)化算法在小行星極短弧定軌方面的應(yīng)用.