基于幾何光學(xué)近似迭代的多重散射波面分析

彭梓齊，楊江河

(湖南文理學(xué)院數(shù)理學(xué)院，中國 常德 415000)

光學(xué)遙感作為成熟的測量技術(shù)在工業(yè)、醫(yī)療、環(huán)保等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-7]。在光學(xué)遙感應(yīng)用中，光在媒質(zhì)中的傳播效率是影響光學(xué)測量結(jié)果與精度的一項(xiàng)重要參數(shù)。在散射粒子大量存在的高散射媒質(zhì)(生物組織、大氣云層等)中，可視光以及紅外波段光會發(fā)生強(qiáng)烈的散射現(xiàn)象[8-12]。多重散射不僅使光波能量發(fā)散，導(dǎo)致傳播效率低下，同時(shí)使散射光偏光面發(fā)生變化，降低光學(xué)相干性，導(dǎo)致入射光原有的光學(xué)特性發(fā)生變化。如果能在高散射媒質(zhì)中建立一種高效、穩(wěn)定的傳播方法，將有利于提高光學(xué)遙感的測量范圍與精度。

環(huán)形波面的調(diào)制光在空氣中長距離傳播時(shí)，通過自身干涉效果可以形成一類強(qiáng)度分布為近似貝塞爾函數(shù)的波面。具有類波面的光通常被稱為非衍射光。理想的非衍射光波面中心集中大部分能量，波面強(qiáng)度分布不隨傳播距離的變化而變化，整個(gè)波面有抑制衍射的效果[13-17]。相比高斯分布的光源，在遠(yuǎn)距離傳播的情況下環(huán)狀光在中心部位有著極高的傳播效率。

在前期的研究中[18-20]，我們研究了在散射媒質(zhì)中環(huán)狀光的傳播特性。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：收緊光學(xué)接收機(jī)視野角(3 mrad)的前提下，在特定濃度與深度的高散射媒質(zhì)中，環(huán)狀光經(jīng)過4～5次的多重散射之后，最終在出射面中心部形成中心波峰強(qiáng)度相對較高的干涉光，且中心主瓣周圍存在強(qiáng)度較弱的旁瓣。針對這一現(xiàn)象，還需要進(jìn)一步的理論分析與數(shù)值解析。

數(shù)值解析不僅可以幫助驗(yàn)證前期實(shí)驗(yàn)結(jié)果的真?zhèn)?，還為后期實(shí)驗(yàn)的可行性提供分析與參考，是一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容。米氏散射理論是眾多散射理論中最為常用的理論之一，它以球體為散射解析對象，通過把電磁波的邊界條件代入球體模型，然后對電磁波傳播過程進(jìn)行嚴(yán)密的求解從而得到球體后方的散射強(qiáng)度分布。這樣求得的單個(gè)球體散射模型被稱之為單散射。在針對多個(gè)散射球體同時(shí)存在且個(gè)數(shù)較少的情況下可以利用巴比涅原理對單散射模型進(jìn)行疊加來實(shí)現(xiàn)分析多個(gè)球體的散射。另外，求解格林函數(shù)并進(jìn)行疊加也是常見解析方法之一[21-23]。

前期研究的結(jié)果采用的散射媒質(zhì)濃度較高，媒質(zhì)中散射粒子極多，且粒子間距極小，這樣導(dǎo)致了粒子間發(fā)生多重散射，且粒子產(chǎn)生的散射光之間可能存在干涉效果，在這種情況下，采用米氏散射模型的疊加算法不能體現(xiàn)多重散射以及微小距離間散射光相互干涉的效果。在前期研究的實(shí)驗(yàn)條件中，我們引入了收緊接收機(jī)視野角測量前方散射光的測量方法，在解析中同樣需要針對前方散射光的分析方法。根據(jù)以上條件，本文提出了一種基于簡化幾何光學(xué)近似的迭代解析方法，分析了環(huán)狀光多重散射現(xiàn)象中的前方散射光強(qiáng)度。在本文中，筆者首先敘述了簡化幾何光學(xué)近似的原理，運(yùn)用該原理對單散射模型進(jìn)行計(jì)算并與米氏散射理論結(jié)果比較，驗(yàn)證了簡化幾何光學(xué)近似法的計(jì)算精度。在此基礎(chǔ)上，利用蒙特卡洛模擬與迭代方法，提出了一種由單散射過程迭代來實(shí)現(xiàn)多重散射的效果計(jì)算方法，對環(huán)狀光在散射媒質(zhì)中的傳播進(jìn)行了分析，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對，評價(jià)了該分析方法的可靠性。

1 解析算法

前期研究采用了一般市場販賣的低脂肪加工純牛奶的稀釋液作為的高散射媒質(zhì)的模型。加工純牛奶中脂肪球粒子大小相對均一，粒子濃度調(diào)節(jié)相對準(zhǔn)確，適合作為散射媒質(zhì)模型。采用的加工純牛奶中所含散射粒子主要為脂肪球的脂類與酪蛋白的蛋白質(zhì)，平均粒子直徑分別為1.1 μm與0.1 μm。與脂肪球相比，酪蛋白粒子直徑只有脂肪球的1/10左右，散射截面大小只有脂肪球的1/100左右。酪蛋白粒子散射強(qiáng)度相比脂肪球粒子散射強(qiáng)度十分微小。實(shí)驗(yàn)中采用了波長為660 nm的半導(dǎo)體激光作為光源，相對于波長為660 nm的光源，脂肪球粒子發(fā)生米氏散射，其異向性參數(shù)g的大小為0.936，散射光幾乎都集中在入射光軸方向。另一方面，酪蛋白粒子直徑遠(yuǎn)小于光源波長，散射類型為瑞利散射，散射光在每個(gè)方向上的分布幾乎是均等的。根據(jù)這兩個(gè)條件，在收緊接收器視野角，觀測前方散射光的實(shí)驗(yàn)前提條件下，解析中可以忽略酪蛋白產(chǎn)生前方散射光。本研究的解析算法中只考慮了脂肪球的散射影響。

1.1 粒子單散射模型

在粒子直徑大于光源波長的情況下，通常采用米氏散射理論[24]來分析球形粒子的單散射模型。米氏散射的散射強(qiáng)度受光源的波長影響小，而主要受散射角的影響。隨著粒子直徑的增大，米氏散射中的前方散射光部分也會逐漸增強(qiáng)。研究表明，散射粒子直徑相對較大的條件下，運(yùn)用幾何光學(xué)近似法分析的單散射模型與米氏散射的分析結(jié)果基本一致[25，26]。此外，幾何光學(xué)近似采用菲涅爾解析可以準(zhǔn)確計(jì)算出近場空間的散射光。基于以上理由，本文采用了幾何光學(xué)近似作為解析工具。

一般的幾何光學(xué)近似手法會考慮在散射球體上所發(fā)生的反射、折射、衍射過程，綜合分析散射強(qiáng)度[24]。由于前期研究實(shí)驗(yàn)中測量的是前方散射光，本文采用的幾何光學(xué)近似也只考慮透射與衍射，而忽略了在前方散射上效果微弱的反射。光在穿過球體界面時(shí)，發(fā)生較大偏轉(zhuǎn)的折射光幾乎不能被小角度接收機(jī)接收，本次解析中為了簡化計(jì)算，我們同時(shí)忽略了光線在散射球體內(nèi)部的折射偏轉(zhuǎn)，當(dāng)光線穿過散射球體時(shí)，以直線光程來考慮。簡化后的幾何光學(xué)近似的模型如圖1所示。在多重散射光的干涉效果定量分析上，一般需要考慮到由多重散射所引起的偏光面變化，而前期研究中測量的前方散射光其偏光面基本不發(fā)生變化[20]，所以在本解析方法中忽略了偏光面變化，直接采用了菲涅爾衍射公式來計(jì)算單散射的散射強(qiáng)度，散射光振幅大小可用下式來計(jì)算：

(1)

式中，u，u0分別為入射面與觀察面上入射光與散射光的振幅；(x0，y0)和(x,y)分別為入射面與觀察面上的位置坐標(biāo)；k為波數(shù)；l為(x0,y0)到(x,y)上的距離，dσ為積分微小光源的寬度。對于任意觀察點(diǎn)，參照圖1，其光程l可用下式表示：

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l=l1·n1+l2·(n2-n1)，

(2)

式中，l1為幾何光程；l2為光線穿過散射球體內(nèi)部時(shí)球體內(nèi)部的光程差；n1，n2分別為媒質(zhì)折射率與散射球體折射率。

在光程l的計(jì)算中，由于媒質(zhì)內(nèi)部的散射球體的分布是隨機(jī)的，需要確認(rèn)二次波光線傳播方向與散射球體位置的相互關(guān)系。一般的方法是用隨機(jī)數(shù)確定粒子位置，然后從粒子位置與光線方向之間的關(guān)系來計(jì)算光程長度[27，28]。為了縮短計(jì)算時(shí)間，本研究采用新的算法來計(jì)算光程，平面的計(jì)算原理圖如圖2所示。

圖1 幾何光學(xué)近似Fig. 1 Geometric optics approximation

圖2 散射媒質(zhì)中的光程計(jì)算圖示Fig. 2 Optical path calculation when light transmits in random media

在1 mm長度的立方體空間內(nèi)，式(1)中寬度為dσ的微小光源(對應(yīng)圖1中的一條光線)在穿過該空間時(shí)，在平面上投影面積為M=l1* dσ。根據(jù)散射媒質(zhì)的濃度以及圖2平面模型的物理厚度可以算出在1 mm×1 mm的平面內(nèi)存在n’個(gè)散射球體。假設(shè)這些散射球體在平面上的投影不重疊且均勻分布，那么每個(gè)粒子在1 mm×1 mm的平面上所占有的面積為N= 1/n’ (mm2)，每個(gè)散射球體在自己占據(jù)的面積內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。在這種情況下，把微小光源的光線與散射球體發(fā)生碰撞沖突的概率簡單的定義為S=M/N。通過產(chǎn)生0～1區(qū)間的隨機(jī)數(shù)R，在R>S的情況下光線不穿過散射球體，散射球體內(nèi)部光程長l2為0；當(dāng)R

1.2 多重散射模型

前期研究中所用散射媒質(zhì)為脂肪濃度1.8%的加工牛奶的稀釋液。稀釋濃度以0.1%為單位，最高濃度為1.0%(本文中所述“牛奶濃度”均指稀釋濃度，牛奶濃度1.0%指將加工牛奶稀釋100倍后的溶液)。媒質(zhì)容器為長度20 cm的立方體玻璃水槽。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在牛奶濃度為0.8%～1.0%的濃度范圍內(nèi)，可以明顯觀測到中心干涉光效果[18-20]。根據(jù)濃度以及脂肪球的其他參數(shù)，使用下式可以求出光在此散射媒質(zhì)中的平均自由程。

(3)

式中，a為脂肪球半徑；n為單位體積中的散射球體個(gè)數(shù)，Q為散射截面參數(shù)的Q值，g為異向性參數(shù)。

圖3 多重散射的分析模型(上方視角) Fig. 3 Analysis model for multiple scattering (view from above)

假設(shè)所有脂肪球在入射光方向上的投影沒有重疊，參考脂肪球的直徑大小、折射率以及生成中心干涉光時(shí)的牛奶濃度，可以計(jì)算出產(chǎn)生中心干涉光時(shí)光在散射媒質(zhì)中的平均自由程為4～5 cm。實(shí)驗(yàn)中采用的媒質(zhì)容器長度為20 cm，可以計(jì)算出從環(huán)狀光入射散射媒質(zhì)到射出散射媒質(zhì)的過程中會發(fā)生4～5次散射，所以計(jì)算觀察面的波面時(shí)應(yīng)考慮多重散射的效果。

為了將1.1節(jié)中所述簡化幾何光學(xué)近似的單散射模型擴(kuò)展利用到多重散射模型中，我們將整個(gè)散射媒質(zhì)在空間上分割成若干層，同時(shí)將每層分割為若干更小的單位空間。在每個(gè)單位空間中存在的散射球體數(shù)極少的情況下，可使用簡化幾何光學(xué)近似作為單散射模型處理。具體的媒質(zhì)分割處理的平面圖如圖3所示。

2 解析結(jié)果

2.1 單散射模型計(jì)算結(jié)果評價(jià)

為了檢驗(yàn)1.1節(jié)中所提出的簡化幾何光學(xué)近似在單散射計(jì)算上的準(zhǔn)確性，我們計(jì)算了空氣中水球體的散射光強(qiáng)分布，同時(shí)與米氏散射理論的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。計(jì)算中光源波長為630 nm；散射球體相對折射率為1.33；散射球體直徑分別為4，10和15 μm。

計(jì)算結(jié)果如圖4所示，橫軸為散射角度，縱軸為散射強(qiáng)度。由于幾何光學(xué)近似的計(jì)算手法中存在米氏散射計(jì)算中未考慮的直射光，幾何光學(xué)近似的計(jì)算結(jié)果在0°到1°的區(qū)間包含了極強(qiáng)的直射光強(qiáng)度，因而去掉了0 °到1 °附近的計(jì)算結(jié)果便于比較。從比較結(jié)果來看，在1°到15°附近的范圍里，散射強(qiáng)度的峰值以及該峰值所出現(xiàn)的散射角基本一致。在評價(jià)光軸附近的前方散射光的計(jì)算中是有效的。由于直射光的原因，兩者在0°到1°區(qū)間上有明顯的數(shù)值區(qū)別，在實(shí)驗(yàn)中接收機(jī)所測量前方散射光中也包含了直射光的成分，實(shí)際的多重散射解析計(jì)算中，與實(shí)驗(yàn)一樣直射光成分并未被去除，而是包含在計(jì)算中并在迭代計(jì)算中體現(xiàn)。

圖4 單散射波形計(jì)算結(jié)果 (a) 幾何光學(xué)近似. (b) 米氏理論Fig. 4 Single scattering waveform calculated by (a)Geometric optics approximation. (b) Mie theory

2.2 多重散射解析結(jié)果

運(yùn)用1.2節(jié)中所示的分割迭代計(jì)算的解析方法，計(jì)算散射媒質(zhì)中光的透射率以及環(huán)狀光傳播的散射波面。計(jì)算中光源波長為660 nm，脂肪球平均直徑設(shè)為1.1 μm，水與脂肪球的折射率分別為1.33與1.45。

圖5 高斯光在散射媒質(zhì)中的透射率 Fig. 5 Transmittance of Gaussian beam in random media

在光的透射率計(jì)算中，入射光為寬度6 mm的高斯光，通過在200 mm長的牛奶稀釋液中的傳播后，計(jì)算等寬部位入射前后的光強(qiáng)，將其比值作為透射率。計(jì)算所得透射率與實(shí)驗(yàn)所得透射率如圖5所示?？梢钥闯鲭S濃度變化的透射率在計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果上是一致的，驗(yàn)證了2.1節(jié)中所述直射光部分的正確性。散射媒質(zhì)在0.1%～0.4%的范圍內(nèi)，主要受單散射支配，透射率隨著濃度的升高而急劇下降。通過朗伯-比爾定律可知，媒質(zhì)的散射系數(shù)σ可以由透射率的對數(shù)對濃度求微分而得到[29]。在濃度0.1%～0.4%范圍內(nèi)，可依據(jù)圖5中透射率曲線的斜率求得散射系數(shù)σ1為158 cm-1，結(jié)果與通過米氏散射理論所計(jì)算的散射系數(shù)一致。在散射媒質(zhì)濃度為0.5 %以上的區(qū)域，多重散射的效果逐漸增大，隨著濃度的增加，透射率的衰減率逐漸減小。當(dāng)散射媒質(zhì)濃度超過0.8%時(shí)，多重散射逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，通過圖5的透射率曲線斜率可以求得此時(shí)的散射系數(shù)為23 cm-1。把前方散射光作為透射光的一部分情況下，考慮到異向性參數(shù)g為0.936，在濃度為0.8 %的情況下，根據(jù)米氏散射理論所計(jì)算出的散射系數(shù)為23.3 cm-1。這與前述的透射率斜率計(jì)算結(jié)果也是一致的。其中異向性參數(shù)g的計(jì)算式如下式所示。

(4)

式中，θ為散射角；p(θ)為散射角為θ時(shí)的概率函數(shù)。

運(yùn)用相同的計(jì)算方法，我們計(jì)算了與實(shí)驗(yàn)參數(shù)相同的環(huán)狀光散射光波面，散射媒質(zhì)長度為200 mm。環(huán)狀光參數(shù)設(shè)定為直徑40 mm，環(huán)厚3 mm。圖6(a)和(b)分別為牛奶濃度0.8%和1.0%時(shí)散射光波面的解析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果。牛奶濃度0.8%時(shí)，計(jì)算結(jié)果在波面中心出現(xiàn)了干涉波峰，其寬度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同。牛奶濃度1.0%時(shí)，計(jì)算結(jié)果在波面中心、左右兩側(cè)處出現(xiàn)了多個(gè)波峰，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果在波面中心、左右8 mm處出現(xiàn)了3個(gè)波峰。從比較的結(jié)果來看，本文采用的基于簡化幾何光學(xué)近似的迭代方法在多重散射的計(jì)算中是一種有效的模型。

我們也計(jì)算了牛奶濃度0.9 %時(shí)環(huán)狀光入射散射媒質(zhì)所產(chǎn)生的散射波面。圖7(a)為牛奶濃度0.8%～1.0%時(shí)散射波面變化的計(jì)算結(jié)果，隨著散射媒質(zhì)濃度的降低，散射光波面光強(qiáng)逐漸增強(qiáng)，散射波面中心干涉波峰強(qiáng)度也逐漸增強(qiáng)，而周圍的旁瓣有向中心靠攏的趨勢。另一方面，在對牛奶濃度0.8%的散射媒質(zhì)分別靜置11，49和86 min后，我們將直徑40 mm，環(huán)厚1 mm的環(huán)狀光入射到散射媒質(zhì)中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7(b)所示。隨著靜置時(shí)間的增長，散射媒質(zhì)中的散射粒子逐漸沉淀，媒質(zhì)容器中心部位的粒子濃度逐漸下降，散射波面的強(qiáng)度逐漸上升，中心的干涉波峰的大小也逐漸增大，旁瓣有逐漸向中心靠攏的趨勢。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算解析結(jié)果呈現(xiàn)了相同的趨勢。雖然干涉波峰、旁瓣在位置、寬度上的一定的差異性，這是由于圖7(b)的實(shí)驗(yàn)采用了不同參數(shù)的環(huán)狀光(環(huán)厚1 mm)，同時(shí)該實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)時(shí)的濃度與計(jì)算結(jié)果上存在差異。通過計(jì)算可以知道，對于同樣大小的環(huán)狀光，在環(huán)厚比較細(xì)的情況下，更容易在近距離上相互干涉產(chǎn)生非衍射光[18]。相比于圖7(a)的計(jì)算結(jié)果，在圖7(b)的實(shí)驗(yàn)中由于采用環(huán)厚更細(xì)的環(huán)狀光，在低于0.8 %濃度的散射介質(zhì)中產(chǎn)生了中心干涉光，這符合理論依據(jù)。

圖6 環(huán)狀光在各濃度的散射媒質(zhì)中的散射波形 (a)0.8%, (b)1.0%Fig. 6 Annular beam propagation pattern in random media at concentration of (a)0.8%, (b)1.0%

圖7 環(huán)狀光在各濃度散射媒質(zhì)中波形的變化 (a)仿真結(jié)果；(b)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 7 Variation of annular beam propagation pattern in random media with different concentration (a) Simulation; (b) Experiment

然而在圖6中，依然可以看到理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果在散射波形的旁瓣上存在的微小差別。這是因?yàn)槭艿蕉嘀厣⑸涞挠绊懀嬖跁r(shí)間與空間上都會產(chǎn)生一定的波動(dòng)，導(dǎo)致散射光在到達(dá)測量平面時(shí)相干性降低。而在本文中所討論的手法中我們假設(shè)了所有的光子都具有相干性、并沒有考慮到散射媒質(zhì)的波動(dòng)對散射光相干性的影響。所以在圖6(b)中，對相干性要求相對嚴(yán)格的旁瓣位置上，由于多重散射對相干性的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的旁瓣波峰并不明顯。

3 結(jié)論

本研究以幾何光學(xué)近似為基礎(chǔ)，運(yùn)用迭代算法對環(huán)狀光在散射媒質(zhì)中的傳播進(jìn)行了數(shù)值分析。在單散射模型中，我們運(yùn)用了簡化的幾何光學(xué)近似進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果與米氏理論的散射結(jié)果一致，證明了該簡化幾何光學(xué)近似在散射計(jì)算中的可靠性。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用迭代算法實(shí)現(xiàn)了多重散射的模型。通過透射率的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)中心干涉光在散射媒質(zhì)中出現(xiàn)時(shí)，散射媒質(zhì)的濃度介于發(fā)生單一散射與多重散射的濃度之間。在環(huán)狀光散射波形的分析中，計(jì)算的散射波形的中心干涉波峰與旁瓣的振幅、位置與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。同時(shí)觀察到隨著沉淀過程的進(jìn)行，散射波形變化的該過程與計(jì)算結(jié)果顯示了同樣的趨勢。隨著濃度的升高，中心干涉光波峰逐漸強(qiáng)度逐漸提高，旁瓣逐漸向中心位置移動(dòng)。

在實(shí)際的應(yīng)用中，若要利用環(huán)狀光在散射媒質(zhì)中的該傳播特性，不僅需要調(diào)整散射媒質(zhì)的濃度，其他光學(xué)參數(shù)(傳播距離、散射粒子的種類、大小、折射率、光源的調(diào)制形狀等)也需要相應(yīng)的調(diào)整與控制。本文提出的基于幾何光學(xué)近似的迭代算法可以調(diào)整、控制相應(yīng)參數(shù)，可在數(shù)值計(jì)算上優(yōu)化環(huán)狀光在散射媒質(zhì)中傳播效率，為實(shí)驗(yàn)提供有效的理論依據(jù)。

若需完全構(gòu)建與實(shí)驗(yàn)條件相同的散射模型，在后續(xù)工作中需要在數(shù)值計(jì)算中加入散射媒質(zhì)實(shí)時(shí)波動(dòng)對干涉性的影響。同時(shí)運(yùn)用該算法，探索在更高濃度的散射媒質(zhì)中形成中心干涉光的條件。