經(jīng)歷建模過程 感悟模型思想

孫保華

摘 ? 要：模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想，要真正讓學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象的過程，使學(xué)生積累經(jīng)驗，掌握建模方法，逐步形成模型思想。在課堂中，教師需引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用模型解決實際問題的過程，逐步感悟數(shù)學(xué)模型思想，從而提升學(xué)生的思維能力和應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);模型思想;建模;感悟

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2021）01-0022-04

數(shù)學(xué)模型思想就是要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事物和復(fù)雜問題情境中舍棄非本質(zhì)因素，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)要素和數(shù)量關(guān)系，并加以抽象概括建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并實現(xiàn)問題解決的過程。要讓學(xué)生真正感悟模型思想，教師必須要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法。只有掌握了數(shù)學(xué)建模的方法，學(xué)生才能初步形成模型思想，感悟模型價值，樹立用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的意識。

一、選擇素材，讓建模有根源

好的素材一方面要和學(xué)生的生活實際相結(jié)合，另一方面要和學(xué)生的實際能力相結(jié)合，后者也許更為重要。因為數(shù)學(xué)模型的建立一定是基于學(xué)生對情境的抽象和對問題的表征，然而受限于小學(xué)生年齡特征與認(rèn)知水平，建模前的抽象和表征是基于學(xué)生的實際操作，有利于學(xué)生經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)問題到建立模型再到求解驗證的活動過程。因此教師要努力提供與學(xué)生日常生活有聯(lián)系、典型且熟悉的素材，讓學(xué)生在觀察、操作、抽象、概括的過程中形成一般的模式表達(dá)。

（一）典型的素材

建立模型思想的本質(zhì)就是要讓學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。為了實現(xiàn)這個目的，教師要為學(xué)生提供典型的素材，這樣有利于學(xué)生更好地觀察現(xiàn)實情境，啟發(fā)思考并提取有用的信息，激發(fā)學(xué)生探究的欲望，抽象出數(shù)學(xué)模型。

例如，用植樹的素材講解間隔計數(shù)問題就比較恰當(dāng)，因為植樹的素材中清晰地蘊(yùn)含著分割點和間隔，很好地體現(xiàn)了分割點和間隔之間的關(guān)系。教學(xué)中，可以讓學(xué)生進(jìn)行模擬植樹，就會發(fā)現(xiàn)不同情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。這種舍去植樹問題的一些非本質(zhì)屬性，形成純數(shù)學(xué)的間隔計數(shù)問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)，并用文字語言進(jìn)行表達(dá)（如下圖），從而滲透模型思想。

（二）熟悉的素材

弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)化的對象就是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實，而不是成人熟悉的現(xiàn)實。因此，在教學(xué)中要盡可能選擇學(xué)生現(xiàn)實生活中經(jīng)歷過的真實事情和熟悉故事。這些學(xué)生熟悉的素材簡潔、易懂、容易讓其產(chǎn)生親近感，便于激活已有經(jīng)驗，從而幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

例如，建立加法運(yùn)算模型時，教師依次呈現(xiàn)了多個生活實例。

① 同學(xué)們在做紙花，小明做了4朵紅花，小紅做了3朵黃花，兩人一共做了多少朵花？

② 草地上有3只白兔，2只黑兔，一共有多少只兔？

這些問題都是學(xué)生熟悉的素材，在解決此類問題時，讓學(xué)生感到不管是求“一共做了多少朵花”，還是求“一共有多少只兔”，其共同點都是將兩部分合并起來。教師適時引導(dǎo)學(xué)生歸納：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)都可以用加法計算。

二、經(jīng)歷過程，讓建模有思路

有經(jīng)歷才有感受，只有讓學(xué)生在思考、探究、交流和求證等數(shù)學(xué)活動中合理建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，充分經(jīng)歷從生活原型到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)變，才能有效培養(yǎng)模型思想。因此在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索、合作交流，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程。讓學(xué)生在這一過程中理解、掌握有關(guān)知識和技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。

（一）抓住建模起點，鼓勵提出問題

數(shù)學(xué)模型是以具體問題為載體，學(xué)生在建模的過程中要接觸多側(cè)面、多層次豐富的現(xiàn)實問題原型。因此，選擇的問題要有代表性，要能激發(fā)學(xué)生建模的興趣，努力創(chuàng)設(shè)利于建模的問題環(huán)境，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要。用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活情境并發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點。教師要抓住起點，找準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)其提出有價值的研究問題，引發(fā)真思考。如“乘法分配律”的教學(xué)，出示情境圖：

根據(jù)小學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知水平，課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的問題應(yīng)該是直擊知識核心，并能準(zhǔn)確反映教學(xué)內(nèi)容的。教師鼓勵學(xué)生觀察情境圖，從中獲得哪些數(shù)學(xué)信息，能提出什么數(shù)學(xué)問題。學(xué)生可能從只數(shù)出發(fā)提問“這里一共有多少只小動物”，也可能從面積出發(fā)提問“動物活動區(qū)的總面積是多少”。對于這樣的典型問題，教師要做到心中有數(shù)，只有對典型問題進(jìn)行深入探究才能讓情境成為數(shù)學(xué)模型的范例。

（二）關(guān)注建模抽象，鼓勵自主表達(dá)

學(xué)生提出了有價值的數(shù)學(xué)問題，教師組織學(xué)生在充分感知大量感性材料的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷觀察、比較、操作等活動，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)這些問題的共性，逐步抽象概括。每個學(xué)生的認(rèn)知水平不同、思維方式各異，因此解決問題的思路也不盡相同，鼓勵學(xué)生用不同的方式進(jìn)行表征，從而滿足不同層次學(xué)生的認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)需求。

①圍繞問題嘗試列式，說出思路。要解決“動物活動區(qū)的總面積是多少”“這里一共有多少只小動物”這兩個問題，要讓學(xué)生寫出思考過程，針對每個問題寫出兩個算式，并說出想法。

（5+8）×6=5×6+8×6

（4+6）×4=4×4+6×4

每一個問題所列出的兩個算式，思路不同，結(jié)果相同，可以用等號連接，就形成了一個等式。

②觀察等號兩邊算式，說出發(fā)現(xiàn)。等號兩邊都有加法和乘法，左邊是兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，右邊是兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，然后再相加。

③多途徑多視角驗證，增強(qiáng)感悟。提問：像這樣的等式是否都有這個規(guī)律并進(jìn)行驗證。

計算驗證：（70+35）×4 ○ 70×4+35×4

（5+6）×7 ○ 5×7+6×7

舉例驗證：一個足球80元，一個排球65元，各買4個，一共需要多少元？

畫圖驗證：

求a b兩部分合起來的大長方形的面積也可以說明乘法分配律的合理性，即8×4+3×4=（8+3）×4。

④建立知識間的聯(lián)系，完善認(rèn)知。在舉例驗證的基礎(chǔ)上，要讓學(xué)生思考為什么會有這個規(guī)律。其實可以通過運(yùn)算意義來理解，從而揭示規(guī)律的本質(zhì)。

（5+6）×7 〇 5×7+6×7

11 ? ? ? ? ?5個7加6個7

11個7 ? ? ?11個7

⑤運(yùn)用多種方式表征，豐富模型。情境表征：（上衣的價錢+褲子的價錢）×套數(shù)=上衣的價錢×套數(shù)+褲子的價錢×套數(shù)

文字表征：兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別與第三個數(shù)相乘，再把所得的積加起來。

符號表征：（□+△）×○=□×○+△×○

字母表征：（a+b）×c=a×c+b×c

不同的表征方式表達(dá)的是同一個意思，可以在互相借鑒中去尋找既簡潔又概括的表達(dá)方式。在這樣的過程中，學(xué)生既有自己的獨立思考，又有同學(xué)的資源共享，在觀察比較中抽象出數(shù)學(xué)符號的表達(dá)式，凸顯了用字母表達(dá)的優(yōu)勢。

三、靈活應(yīng)用，讓建模有價值

要讓學(xué)生掌握模型思想，就要讓學(xué)生運(yùn)用所建立的數(shù)學(xué)模型遷移運(yùn)用到結(jié)構(gòu)相似、具體情境不同的問題解決中，感受模型的應(yīng)用價值。因此，教師可以在學(xué)生經(jīng)歷了建模過程后，引導(dǎo)他們利用這一模型尋找生活中的原型、利用模型解決生活中的實際問題和感悟模型的結(jié)構(gòu)內(nèi)涵。

（一）根據(jù)模型尋找原型

根據(jù)數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生尋找生活的原型，通過舉例，講故事等方法給模型賦予情境。讓學(xué)生從模型的角度親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，有助于他們實現(xiàn)知識的內(nèi)化，加深對模型的理解，增強(qiáng)其應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識。

例如，“單價×數(shù)量=總價”是一個基本模型，學(xué)生經(jīng)歷抽象、概括得到這一模型后，可以鼓勵其應(yīng)用該模型尋找生活中的原型。

生1：我去超市買了4支鋼筆，每支鋼筆6元，一共付了24元。

生2：買了4本練習(xí)本，每本3元，一共需要12元。

學(xué)生在尋找生活中與“單價×數(shù)量=總價”有關(guān)的原型并轉(zhuǎn)化為用自己的語言表達(dá)出來，溝通了已有經(jīng)驗和新知識的聯(lián)系，真正實現(xiàn)了思維的轉(zhuǎn)化。

（二）利用模型解決問題

學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決實際問題是對數(shù)學(xué)模型的再認(rèn)識，使已經(jīng)構(gòu)建的模型不斷得到豐富，有助于加深對模型的理解，體驗?zāi)Ｐ偷膬r值。教師可以根據(jù)數(shù)學(xué)模型設(shè)計不同的問題，但這些問題一定要源于生活，具有現(xiàn)實意義，這樣才可能激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，讓他們看到模型在生活中的廣泛應(yīng)用。

例如，在學(xué)生尋找了“單價×數(shù)量=總價”的生活原型后，可設(shè)計與其相關(guān)的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生將解決該問題的方法和思路進(jìn)行運(yùn)用。

問題：學(xué)生用的橡皮是2元/塊，10元可以買多少塊？

①理清問題。首先引導(dǎo)學(xué)生理解文字信息，條件有橡皮的單價、購買橡皮的總價，問題要求購買橡皮的數(shù)量，顯然是有關(guān)購物的問題。

②確定數(shù)據(jù)。購物問題的基本數(shù)量關(guān)系是總價、數(shù)量、單價之間的關(guān)系。根據(jù)題意，單價和總價都直接提供了，要求的是數(shù)量。

③運(yùn)用模型。根據(jù)購物問題模型：單價×數(shù)量=總價，但本題要求是數(shù)量，所以將此模型變式為：總價÷單價=數(shù)量，接著運(yùn)用這一模型求出橡皮的數(shù)量。

④解答問題。10÷2=5（塊），從前面的解答過程看，小學(xué)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用其實并不復(fù)雜，按照步驟，一般都能比較容易使問題得以解決。在這里，難點可能是模型系統(tǒng)的確定。

（三）感悟模型結(jié)構(gòu)內(nèi)涵

對于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)模型建立的過程，本質(zhì)上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。結(jié)合解決實際問題教學(xué)，設(shè)計“一題多變”練習(xí)，有助于學(xué)生感悟原型間的聯(lián)系，體會數(shù)量關(guān)系（模型結(jié)構(gòu)）的魅力。例如：

河濱小學(xué)有塊長方形水池，長36米，寬16米。改建后長縮短4米，寬縮短3米，改建后面積減少多少平方米？

河濱小學(xué)報告廳原來每排36個座位，有16排，改建后，每排減少4個座位，減少3排，改建后共減少多少個座位？

河濱小學(xué)原打算買36個排球，每個16元，實際每個降價4元，且少買了3個，實際比計劃少花多少元？

情節(jié)雖然不同，但數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）是相同的。通過這樣的變式訓(xùn)練，能讓學(xué)生感悟到此類問題其實都是來源于同一個模型系統(tǒng)。

四、拓展延伸，讓建模有發(fā)展

在應(yīng)用模型的過程中，不能讓學(xué)生簡單套用模型，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生展示解決問題的思維過程，并對程序的各個部分進(jìn)行剖析，促進(jìn)學(xué)生分析、解決問題能力的發(fā)展與提高。在深入理解模型的基礎(chǔ)上，教師可適當(dāng)?shù)赝卣寡由?，變換問題情境引導(dǎo)學(xué)生通過知識的遷移體會數(shù)學(xué)模型的一般化思想方法，增加建模的思維厚度，深化模型的內(nèi)涵。例如：

（1）一條長80米的小路，工人要在路的一邊栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是5米。一共要栽多少棵樹？

（2）學(xué)校大門前有一條120米的路，工人要在路的一邊栽樹。每隔5米栽一棵（一端栽、一端不栽）。一共要栽多少棵？

針對這兩種情況，由“兩端都栽”的模型“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”，依據(jù)前面的基礎(chǔ)模型合作探究推導(dǎo)出“兩端都不栽”的模型“間隔數(shù)-1=棵數(shù)”和“只栽一端”的模型“間隔數(shù)=棵數(shù)”。

（3）李大伯準(zhǔn)備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長240米，如果每隔20米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

通過引導(dǎo)學(xué)生將只栽一端的線段兩個端點重合，理解封閉曲線上植樹和只栽一端兩種情況的聯(lián)系。幫助學(xué)生直觀理解不同情況下植樹棵數(shù)、分割點和間隔數(shù)之間的關(guān)系，由此真正理解和建立“植樹問題”所有情況的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生不僅獲得了數(shù)學(xué)結(jié)論，更重要的是在建模的過程中將知識內(nèi)化、模型內(nèi)化和思想升華。

總之，模型思想在實際教學(xué)中的滲透，不僅有利于學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)的知識，還有利于學(xué)生從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的角度去闡述這些知識的本質(zhì)。教師在教學(xué)實踐中要有滲透模型思想的意識，讓學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，理解數(shù)學(xué)模型的價值與作用，解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)應(yīng)用意識。

參考文獻(xiàn)：

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