幾何畫板在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的運(yùn)用策略

安徽省濉溪縣教育科學(xué)研究室(235100) 楊經(jīng)驗(yàn)

幾何畫板能夠動態(tài)地展現(xiàn)出幾何對象的位置關(guān)系、運(yùn)動變化規(guī)律,有著傳統(tǒng)尺規(guī)作圖所無法比擬的優(yōu)越性,其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D程序、強(qiáng)大的作圖和計算功能,能有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)的水平和能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及課堂教學(xué)中,使用幾何畫板,可以使教學(xué)更加形象化、生動化、多樣化和趣味化,這更有利于揭示數(shù)學(xué)概念的形成過程,呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程,展示數(shù)學(xué)思維的形成過程;有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)圖形構(gòu)建能力及空間想象的能力[1].經(jīng)過不斷地學(xué)習(xí)探索實(shí)踐,在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用幾何畫板已取得顯著成效.在農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實(shí)施中如何運(yùn)用幾何畫板呢? 下面幾條是具體做法.

1 利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)是從問題開始的,每一節(jié)數(shù)學(xué)課都離不開問題.這些問題是由教師一道一道的講解,還是由學(xué)生自己探究呢?時代優(yōu)勢教學(xué)理論特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己探究的重要性.在學(xué)生自主探究中,幾何畫板可以通過創(chuàng)設(shè)合適問題情境,給學(xué)生自主探究提供幫助.例如, 在講解函數(shù)的最值問題時, 可以用幾何畫板提出這樣的問題: 在圓的內(nèi)接矩形中,邊長比是多少的矩形面積最大? (請用畫板軟件探索結(jié)果).學(xué)生們可以很快就投入到操作和實(shí)踐中,通過移動圓上的動點(diǎn),比較邊長的關(guān)系,便可以很快得出結(jié)論: 圓的內(nèi)接正方形即邊長比為1 的矩形面積最大.教師接著再問,為什么圓的內(nèi)接正方形是圓的內(nèi)接矩形中面積最大的呢? 學(xué)生們你一言,我一語互相討論起來,進(jìn)而在教師的引導(dǎo)下,利用二次函數(shù)求最值的方法,得出了證明……學(xué)生在課上,經(jīng)歷了探索——猜想——證明這三個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必須階段,使知識得到了進(jìn)一步的內(nèi)化,大大提高了農(nóng)村孩子的學(xué)習(xí)效率.

初中數(shù)學(xué)枯燥又抽象,不少的學(xué)生對數(shù)學(xué)敬而遠(yuǎn)之,甚至是懼怕和厭惡,特別是在初中接觸了幾何與函數(shù)之后,這種情緒更為強(qiáng)烈,這極大地壓抑了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力.幾何畫板具有強(qiáng)大的動態(tài)變化功能,一流的交互功能,能以濃縮的形態(tài)給學(xué)生提供數(shù)學(xué)背景,通過學(xué)生的參與和親手操作,枯燥抽象的內(nèi)容變成生動形象的圖形,原本不明白或不甚明白的概念等變得一目了然[2].以往用圓規(guī)、三角板繪制幾何體,是不動的一個圖形,幾何畫板運(yùn)用動態(tài)的幾何圖形培養(yǎng)了學(xué)生空間想象的能力.

當(dāng)我們使用幾何畫板動態(tài)地、探索式地表現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系,還有像圓錐的側(cè)面展開圖等等,都能形象化地直觀呈現(xiàn).原本靜止枯燥的數(shù)學(xué)課變成了生動、活潑、優(yōu)美感人的舞臺,學(xué)生情緒高漲,專注渴求和欣喜的神情掛在臉上,作為老師的我們感到無限欣慰.幾何畫板一時成了師生的熱門話題,使學(xué)生深刻體會到:“自己的眼睛可以看到自己在現(xiàn)實(shí)生活中看不到的一面”、“數(shù)學(xué)原來也能這樣來學(xué)”、“想不到數(shù)學(xué)還真有趣”……

興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的最好的老師, 是學(xué)生學(xué)習(xí)的原動力.實(shí)踐證明使用幾何畫板探索學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅不會成為學(xué)生的負(fù)擔(dān),相反變抽象為形象,給農(nóng)村孩子的學(xué)習(xí)生活帶來極大的樂趣,孩子們完全可以在輕松愉快的氛圍中獲得知識.

2 鼓勵學(xué)生利用幾何畫板自主參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣,老師可以鼓勵學(xué)生,利用幾何畫板這一工具,自主參與數(shù)學(xué)研究[3].例如,證明“三角形中,如果有兩個角的平分線相等,則這個三角形是等腰三角形”這一問題,由于該題目的證明思路很不容易被找到,學(xué)生嘗試用多種方法思考證不出來時,提出了這樣的問題:“老師,你讓我們證明的題目是正確的嗎? ”教師可以提示學(xué)生用幾何畫板對題目進(jìn)行驗(yàn)證.學(xué)生作出了圖形,并測量了有關(guān)的線段的長度,當(dāng)通過拖動M、N兩點(diǎn),在找準(zhǔn)使AM與BN相等的點(diǎn)時,學(xué)生得到AC與BC的值總是相等的.于是,在驗(yàn)證了結(jié)論是正確的這樣一種良好心理的支撐下,學(xué)生興奮地告訴說:“老師,題目的結(jié)論是正確的,我要再試試如何證明.”

幾何畫板不僅在學(xué)生解題時很有用處,而且對新知識的學(xué)習(xí)也很有用.如學(xué)習(xí)“三角形三內(nèi)角和為180°”定理時,教師可以讓學(xué)生繪制一個三角形,測量出每個角的度數(shù)求出三內(nèi)角和的值,并拖動三角形的任一個頂點(diǎn),觀察三個內(nèi)角之和是否仍保持為180°.在具體論證之前,學(xué)生利用幾何畫板,對問題由感性認(rèn)知到理性認(rèn)同,這為下一階段的學(xué)習(xí)作了很好的鋪墊.再如勾股定理、圓周角定理、切線長定理等重要數(shù)學(xué)定理的證明,利用這種方法都能起到很好的教學(xué)效果.

在八年級下冊中的四邊形一章中,很多學(xué)生很容易將常用的四邊形性質(zhì)混淆,如矩形、菱形、平行四邊形、正方形等.對于中點(diǎn)四邊形更是弄不明白,傳統(tǒng)的教學(xué)方式中,教師就需要畫很多的圖形進(jìn)行證明,這更容易令學(xué)生產(chǎn)生眼花繚亂的感覺.運(yùn)用幾何畫板,我們可以將其進(jìn)行整合與變形,可以讓學(xué)生舉一反三,快速掌握相關(guān)知識.例如,在一節(jié)習(xí)題講評課上,教師設(shè)計了如下一組題目: 順次連結(jié)四邊形的各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 學(xué)生經(jīng)過思考和證明不難得到結(jié)論,進(jìn)而教師利用畫板按鈕變換圖形和題目引出下列變式習(xí)題: 變式1: 順次連結(jié)矩形的各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式2: 順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式3: 順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式4: 順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式5: 順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 變式6:順次連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形是? 學(xué)生利用幾何畫板,用動態(tài)的圖促進(jìn)學(xué)生深入思考,以便快速總結(jié)出規(guī)律.

3 利用幾何畫板提高課堂教學(xué)效率

3.1 利用幾何畫板動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容

幾何畫板可以動態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題,使教學(xué)更加直觀、生動,這有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)教學(xué)的趣味性.數(shù)形結(jié)合思想是一個非常重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)家華羅庚說:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”.幾何畫板為“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)造了一條便捷的通道,它不僅對幾何模型的繪制提供信息,同時,可以解決學(xué)生難以繪制的圖形,而且提供了圖形“變換”的動感,豐富多彩的“動畫”模型,給農(nóng)村學(xué)生一種耳目一新的視覺感受,使學(xué)生從畫面中去尋求到問題解決的方法和依據(jù),并從畫面中去認(rèn)清問題的本質(zhì),幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)基本概念.

在引入幾何畫板之后,可以測量各種數(shù)值以及進(jìn)行各種函數(shù)運(yùn)算,在圖形的變化過程中,數(shù)量變化特征也可以直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前,“以形助數(shù)”,“用數(shù)解形”,這在傳統(tǒng)教學(xué)中是無法辦到的.比如,在學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系時,用幾何畫板畫一個二次函數(shù)圖像y=ax2+bx+c.各參數(shù)的變化情況以及數(shù)量關(guān)系都顯示在同一屏幕上(如圖1 二次函數(shù)圖像的演變), 不用老師開口, 學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)b2?4ac的值與拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)的變化規(guī)律,以及a、b、c的變化對二次函數(shù)的圖像形狀及位置的影響.這種做法非常形象直觀,易于接受,比過去直接用理論來說明或簡單地在黑板上畫幾個草圖來講解的效果會好得多.

圖1

圖2

在邊長為a的正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,正方形OFEG與邊BC,CD相交于點(diǎn)N、M,求四邊形ONCM的面積(如圖2).該問題解決關(guān)鍵在于得出四邊形ONCM的面積與三角形OBC的面積相等,引導(dǎo)學(xué)生注意四邊形OFEG的運(yùn)動特征,讓學(xué)生應(yīng)用幾何畫板的動畫特征,轉(zhuǎn)動正方形OFEG,觀察四邊形ONCM面積的變化,從而探究出S四邊形OMCN=SΔOBC的結(jié)論.

3.2 利用幾何畫板揭示問題本質(zhì)

在解決數(shù)學(xué)問題中,由于問題本身的抽象性和推理的復(fù)雜性,學(xué)生花費(fèi)了很多時間都未能把問題證明出來,此時,產(chǎn)生對問題的疑義并對問題真實(shí)性進(jìn)行驗(yàn)證是一種極為可能并想去做的事.因?yàn)轵?yàn)證一方面可以緩解心理緊張和心理焦慮,變換思維角度,對問題進(jìn)行再認(rèn)識;另一方面可以調(diào)節(jié)心理平衡,重塑解題信心.學(xué)生在通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,可以確定問題的正確性.這將會增強(qiáng)學(xué)生解決問題的動力.從而幫助學(xué)生有效地克服推理過程中產(chǎn)生的心理障礙[4].例如,研究函數(shù)圖像的性質(zhì),特別是增減性,是教學(xué)的難點(diǎn),有了幾何畫板,就很容易解決這一問題.

圖3

圖4

(1)一次函數(shù)(如圖3): 在坐標(biāo)系內(nèi),任作一條直線,很容易得到它的解析式,我們拖動直線,就可以看到它的k和b在不斷變化,學(xué)生們自己操作,仔細(xì)研究,就可以總結(jié)出,k、b大小與圖像所經(jīng)過的象限的關(guān)系.如下圖,如果拖動直線上的點(diǎn)P,則它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都在同時變化,變化趨勢明顯.這樣,當(dāng)k ＞0 和k ＜0 時,極易掌握一次函數(shù)的增減性.(2)二次函數(shù)(如圖4): 在研究二次函數(shù)圖像的增減性時,我們拖動拋物線上點(diǎn)P,可以很形象地看到,y隨著x的增大,一會兒增大,一會兒減小.問及同學(xué)們它的分界線在哪里,再次研究后都能回答是拋物線的對稱軸.

3.3 利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

在教師的引導(dǎo)下, 幾何畫板可以給學(xué)生創(chuàng)造一個實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境,學(xué)生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測和驗(yàn)證結(jié)論,在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識,形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景從而更有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解.同時幾何畫板還能為學(xué)生創(chuàng)造一個進(jìn)行幾何“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境,有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生計算、演澤等具有根本意義的嚴(yán)格推理的能力,還培養(yǎng)學(xué)生嘗試歸納、探索、尋找相似性等非形式推理能力的思想.

實(shí)驗(yàn)方法在數(shù)學(xué)科學(xué)中的作用愈來愈被重視,除了直接觀察、假想試驗(yàn),統(tǒng)計抽樣等方法也日益被采用.而幾何畫板的使用,使學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)多了一件有用的工具,使得在課堂上讓每個學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為可能.這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),對學(xué)生主體意識的形成,主動參與數(shù)學(xué)實(shí)踐本領(lǐng)的提高,自行獲取數(shù)學(xué)知識的能力培養(yǎng),都將發(fā)揮作用.例如,(1)在計算機(jī)上用幾何畫板軟件畫任意一個三角形,再畫出它的三條中線,有什么規(guī)律? (三角形三條中線交于一點(diǎn))然后拖動三角形的頂點(diǎn)A隨意改變所畫的三角形的形狀,看看這個規(guī)律是否改變.(2)在計算機(jī)上用幾何畫板軟件畫任意一個三角形,量出它的各內(nèi)角并計算它們的和,然后拖動頂點(diǎn)改變所畫三角形的形狀,再量出變化后的各內(nèi)角計算內(nèi)角和.從而得出“三角形內(nèi)角和等于180 度”這一結(jié)論.

4 使用幾何畫板的教學(xué)體會

幾何畫板作為一種新的認(rèn)知工具,一定能得到廣泛的使用.設(shè)想,如果學(xué)生能進(jìn)一步掌握操作技能,在教師的引導(dǎo)下,自行構(gòu)建模型,然后通過類比,優(yōu)化模型,找到解決問題的途徑,將起到事半功倍的成效.廣大農(nóng)村數(shù)學(xué)教師要進(jìn)一步研究并使用這種工具.在運(yùn)用幾何畫板的時候,要充分地利用它來引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí).我們用幾何畫板繪制圖表、圖像、圖形、動畫等來創(chuàng)設(shè)直觀情境輔助學(xué)生思考,而不是代替學(xué)生思考.作為教師要給予恰當(dāng)?shù)奶崾?通過計算機(jī)演示實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生完成思考過程,形成對知識的理解,而不是利用計算機(jī)直接地給出結(jié)論[5].否則會使學(xué)生一味停留在視覺層面,養(yǎng)成過分依賴的習(xí)慣,挫傷學(xué)生的創(chuàng)造意識和實(shí)踐能力.

5 結(jié)論

信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合,不是簡單地把信息技術(shù)僅僅作為輔助教師教學(xué)的演示工具,而是要實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)融合.通過對初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中幾個典型事例的分析,我們可以發(fā)現(xiàn): 幾何畫板能更好地創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,自主地參與到學(xué)習(xí)與研究之中;幾何畫板能動態(tài)地展示教學(xué)內(nèi)容,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);幾何畫板利用進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),能提高課堂教學(xué)效率,有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)水平和能力的提升.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的融合,還有很多值得探討的課題,我們?nèi)栽谘芯康穆飞?