定常升阻力普適理論的特色和升力的物理來源

吳介之 劉羅勤 劉天舒

1 北京大學(xué),北京100871

2 University of Twente,7500 AE Enschede,The Netherlands

3 Western Michigan University,Kalamazoo,MI 49008,USA

1 引 言

現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)誕生一百多年來,從無黏到有黏,從定常到非定常,從不可壓到可壓縮,從近似到精確,已經(jīng)發(fā)展出眾多關(guān)于升力和阻力的理論,得到了多方面實(shí)踐的充分檢驗(yàn),參見筆者的詳細(xì)述評(píng)(Wu et al.2018).它們對(duì)航空航天、流體機(jī)械、風(fēng)工程等眾多應(yīng)用領(lǐng)域,提供了不可或缺的基礎(chǔ)保證.一般說來,除一些高度簡化的近似理論外,升阻力的精確表達(dá)式都具有積分形式.用積分表示合力,其積分域與邊界總可以有多樣化的選擇,例如物面上的應(yīng)力積分或者流場物理量的體積分.對(duì)于定常流則可簡化為流場外邊界的面積分.相應(yīng)地,被積函數(shù)也是多樣化的,它們的優(yōu)劣取決于具體問題的需要,當(dāng)然越簡單越好,越能抓住物理本質(zhì)越好.

這些積分型的理論分為近場理論和遠(yuǎn)場理論兩類.近場理論的被積函數(shù)包含影響合力的全部復(fù)雜的近場非線性過程與結(jié)構(gòu),用以對(duì)計(jì)算流體力學(xué)(CFD) 和實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)(EFD) 取得的流場數(shù)據(jù)進(jìn)行物理的診斷,是當(dāng)代氣動(dòng)力理論的主流和熱點(diǎn).遠(yuǎn)場理論的特點(diǎn)則是從遠(yuǎn)場線性近似出發(fā),得到極為簡潔卻在近場精確有效的升阻力公式.定常流的合力可以表示為遠(yuǎn)場邊界積分,為發(fā)展這種理論提供了必要條件(注: 不可壓非定常流的合力也可用邊界積分表示,見Noca 等(1997)和Wu 等(2005)).它始于Joukowski (1906) 的著名升力定理L=ρUΓ?和Filon (1926) 較少受到注意的阻力定理D=ρUQψ,其中Γ?和Qψ分別是環(huán)量和有旋尾流的入流,詳見下面的2.1 節(jié).遠(yuǎn)場理論包括建立復(fù)雜流場在接近無窮遠(yuǎn)處的衰減規(guī)律以及精確的合力公式,這是CFD 和EFD 夠不著而只能依靠解析方法的領(lǐng)域.它們?yōu)樗薪鼒隼碚摰墓教峁┝藱z測的標(biāo)準(zhǔn),也為在CFD 中設(shè)置遠(yuǎn)場邊界條件提供了判據(jù).然而,環(huán)量和入流的取值不由遠(yuǎn)場理論本身決定,而要結(jié)合近場理論根據(jù)具體流動(dòng)狀態(tài)給出.可以說,遠(yuǎn)場理論提供了戰(zhàn)略目標(biāo),而近場理論做戰(zhàn)術(shù)實(shí)施.

長期以來,遠(yuǎn)場合力理論一直停留在低速不可壓流.雖經(jīng)幾代人的努力,但仍未能把它精確地推廣到黏性可壓縮流.這種狀況直到2014—2018 年才得以突破.本文第二作者在其博士論文(以下簡稱博文)中提出了黏性可壓縮定常流的普適升阻力理論(以下簡稱普適理論,劉羅勤2016),突破了經(jīng)典空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理論延續(xù)了八九十年的一個(gè)缺口,其內(nèi)容發(fā)表在3 篇期刊論文上(Liu et al.2015,2017a,2017b).博文依據(jù)對(duì)遠(yuǎn)場線化Navier-Stokes 方程(NS 方程) 解析解的研究,獲得了經(jīng)典不可壓二維定常流的Kutta-Joukowski 升力定理(KJ 定理) 的現(xiàn)代二、三維普適版這個(gè)核心結(jié)果,并給出了數(shù)值檢驗(yàn).基于線性近似的NS 方程(Oseen 方程) 得到的簡潔公式,何以能在高度非線性的復(fù)雜流場中仍然精確成立,這里涉及饒有興趣的方法論問題,很值得關(guān)注.本文的第一個(gè)任務(wù),是在簡要回顧普適理論基本成果的基礎(chǔ)上,反思其方法論特色和背后的物理機(jī)理.

眾所周知,飛機(jī)上天與火箭上天的物理機(jī)制有根本的區(qū)別.后者用牛頓第二、三定律就可以直觀地解釋; 前者則很不直觀: 水平飛行的機(jī)翼何以竟然能產(chǎn)生垂直于飛行方向(因而本身不做功) 的巨大升力? 這里涉及的物理過程比火箭上天復(fù)雜得多.盡管嚴(yán)格的量化升力理論已經(jīng)得到航空實(shí)踐的廣泛檢驗(yàn),但100 年來在各種出版物和媒體上仍常常出現(xiàn)關(guān)于升力物理來源的各種假說,還在最近登上了享譽(yù)世界的科普刊物《科學(xué)美國人》(Regis 2020),作者宣稱科學(xué)家迄今對(duì)飛機(jī)為何上天的問題“仍然沒有答案”.這種狀況再次提醒人們:升力物理來源這個(gè)問題,并沒有在國內(nèi)外眾多的教科書、專著和課堂中得到徹底的澄清,認(rèn)真回答這個(gè)問題在今天仍然具有迫切的重要性.普適理論的普遍有效性和高度簡潔性使人們能用它以盡可能直接的方式為澄清升力來源提供邏輯嚴(yán)密的論據(jù),值得著重考察.這是本文的第二個(gè)任務(wù).為簡便起見,本文的討論限于常溫下的宏觀流體.

2 從線化遠(yuǎn)場到精確近場: 不可壓升阻力的經(jīng)典理論

2.1 環(huán)量與入流

普適理論有兩個(gè)基本物理量: 決定升力的環(huán)量和決定阻力的入流.令滿足NS 方程的任意黏性可壓縮定常流(可以是時(shí)均定常湍流) 的速度及其在直角坐標(biāo)系(x,y,z) 中的分量為u=(u,v,w),有恒定速度U=Uex(其中U為速度大小,ex為速度方向,即指向x正半軸的單位矢量) 和密度ρ0的直勻來流,物體引起的擾動(dòng)速度為u′=u ?U= (u′,v,w).令S為一個(gè)包圍任意靜止固體B的任意閉曲面,外法向?yàn)閚,其包含的流體體積記為Vf,它屬于定常子空間Vst(參見第3.1 節(jié)).由此,定義矢量形式的環(huán)量和標(biāo)量形式的入流,它們分別表征u′的切向分量和法向分量沿S的積分

其中ω=?×u′和?=?·u′是渦量和脹量,因此Γ和?Q分別是Vf中的總渦量和總脹量.式(1) 涉及的物理量都是可觀測和計(jì)算的.但是,升阻力和Γ與Q之間的關(guān)系并不那么直接.更確切些,需要對(duì)u′做縱橫分解或Helmholtz 分解

其中?和ψ是標(biāo)量速度勢和矢量流函數(shù),二者合稱縱橫勢或Helmholtz 勢.據(jù)此,博文對(duì)環(huán)量與入流做縱橫分解,即令Γ=Γ?+Γψ和Q=Q?+Qψ,其中

這里,?和ψ只是人為引進(jìn)的輔助函數(shù),不是能夠測量或計(jì)算的物理量,所以u(píng)?和uψ中任意一個(gè)也不能直接測量或計(jì)算,環(huán)量和入流分解后的每個(gè)組份也是如此.事實(shí)上,從已經(jīng)得到的渦量場和脹量場數(shù)據(jù)可以通過求解Poisson 方程解出連續(xù)變化的?和ψ,但迄今不知道如何算出下文式(6) 和式(9) 中出現(xiàn)的Helmholtz 勢的突躍.但是,由u?的無旋性和uψ的無散性容易證明,Γ?和Qψ的值一定獨(dú)立于包圍物體的閉曲面S的大小和形狀.這使它們能在線化遠(yuǎn)場解析地求得,而又能直接用于非線性近場,從而結(jié)果具有普遍性.相反,積分Γψ和Q?不具有這種獨(dú)立性.這個(gè)微妙的區(qū)別是理解遠(yuǎn)場理論中升阻力公式普適性的關(guān)鍵.

2.2 KJ 升力定理和 Taylor 條件

對(duì)于任一個(gè)包圍物體的閉曲面S,無黏不可壓定常合力可表示為

其中第二式據(jù)Bernoulli 定理用動(dòng)能取代了壓力,其被積函數(shù)是速度的二次齊式.現(xiàn)在考慮發(fā)生在(x,z)平面上的二維流,S退化為一條切向?yàn)閠、法向?yàn)閚的閉曲線C,矢量弧元為tds,n,t和y方向基矢量ey構(gòu)成右手正交單位標(biāo)架,ψ= (0,ψ,0),Γ=Γey.Joukowski (1906) 在遠(yuǎn)場取了一個(gè)大回路C,使得式(5)的速度二次齊式可以只保留到u′的線性項(xiàng),然后發(fā)現(xiàn): 翼型的升力正比于給定參數(shù)U和ρ0,以及繞C的環(huán)量Γ(本文援引的Joukowski 這個(gè)遠(yuǎn)場證明方法,取自Batchelor (1967)中用現(xiàn)代語言改寫的介紹).在他發(fā)表這個(gè)定理時(shí),Prandtl (1904) 的邊界層理論只出現(xiàn)兩年,尚未引起外界注意.Joukowski 唯一能用的流動(dòng)模型是無黏勢流理論,所論環(huán)量實(shí)為Γ?

其中[[·]] 表示有關(guān)量繞C一周的突躍.由于前述Γ?對(duì)C選取的獨(dú)立性,該回路可以完全縮小到在離物體近得多的非線性流動(dòng)中,預(yù)測的升力不變,因而式(6) 具有普遍意義.Γ?的取值或突躍[[?]] 不是定理本身要回答的,需在尖后緣施加Kutta 條件(參見第4.4 節(jié)) 以保證流動(dòng)沒有奇異性來決定.

在從式(6) 發(fā)展出薄翼型理論并對(duì)小攻角大雷諾數(shù)翼型繞流得到實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)之后,人們開始考慮它能否用于真實(shí)的黏性有旋流,即是否能把原始Joukowski 公式(6) 改為

這里,可測的物理環(huán)量Γ需要包含Γψ的貢獻(xiàn),雖然它僅來自C切割翼型尾流的地方,其大小必然依賴于C的具體選取,這就引起對(duì)式(7)的普適性的疑問.英國學(xué)者Bryant 和Williams 在1926 年做了實(shí)驗(yàn)研究,發(fā)現(xiàn)在黏流中測得的Γ仍然獨(dú)立于C的選取.對(duì)此,Taylor (1926) 指出: 由于尾渦層很薄,可以用邊界層近似在翼型后緣下游不遠(yuǎn)處的一個(gè)垂直于來流的尾流截線W上證明渦量流的積分為零,稱之為Taylor 判據(jù).這個(gè)條件保證了在黏流中仍有Γψ=0,因而式(7)也具有普遍性.事實(shí)上,Taylor 也用這個(gè)判據(jù)表述Kutta 條件.現(xiàn)在,對(duì)它的導(dǎo)出和表述可以擴(kuò)展為(詳見Wu et al.2015,pp.290-293)

其中第三式表示渦量的尾流截面積分為零,后面將看到在遠(yuǎn)場對(duì)二、三維流都成立.

2.3 Filon 阻力定理

同年但獨(dú)立于Taylor 的理論研究,Filon (1926)對(duì)二維不可壓黏性有旋流得到了遠(yuǎn)場Oseen 線化方程的級(jí)數(shù)解,對(duì)升阻力做了徹底的研究.一方面,他證明式(7)在遠(yuǎn)場的確漸近成立,和Taylor的分析一致; 另一方面,他證明阻力僅取決于Qψ

它反映阻力來自黏性尾流中的動(dòng)量虧損,即從上游進(jìn)入C的動(dòng)量流多于從下游流出C的動(dòng)量流;而勢流對(duì)入流沒有貢獻(xiàn) (D’Alembert 佯謬).因?yàn)镼ψ的值也獨(dú)立于C的形狀和大小,式 (9) 預(yù)測的阻力也具有普適意義.式(9) 和式(6) 在形式上完美對(duì)稱,構(gòu)成了二維升阻力的一對(duì)極為簡潔的基本公式.但是,Qψ也不是可觀察量,這很可能是Filon 公式(9) 長期沒有得到工程技術(shù)界重視的原因.與此對(duì)比,KJ 公式(6) 幸運(yùn)得多,它在Taylor 判據(jù)(8) 成立的范圍內(nèi)達(dá)到了可測公式(7).

2.4 三維不可壓黏流和可壓縮流

上面的發(fā)展限于二維不可壓流.20 世紀(jì)30 年代,英國著名理論家Goldstein (1929,1931) 沿著Filon 的理論路線,率先研究了遠(yuǎn)場三維不可壓Oseen 方程的兩族級(jí)數(shù)解,證明Filon 阻力公式(9)對(duì)三維流同樣有效.但在升力的研究中沒有做到底.最終的結(jié)果是劉羅勤(2016) 得到的.

隨著高速空氣動(dòng)力學(xué)的興起,人們自然對(duì)如何把從Joukowski 開始的這個(gè)“從線性遠(yuǎn)場到精確近場”的理論派別推廣到可壓縮流極感興趣,幾代著名理論家都曾投入了這個(gè)方向的研究,從理論和數(shù)值模擬中初步觀察到KJ 升力定理在高亞聲速下仍然有效,其中Finn 和Gilbarg (1957,1958)把不可壓二維勢流理論嚴(yán)格推廣到非線性亞聲速流,證明式(6) 對(duì)二維流仍然成立,而三維時(shí)合力等于零.這些進(jìn)展詳見劉羅勤(2016) 的述評(píng),但都沒有達(dá)到人們期望的普適性目標(biāo).

3 黏性可壓縮定常流的普適升阻力理論

3.1 外無界遠(yuǎn)場的分區(qū)結(jié)構(gòu)

在進(jìn)入普適理論之前,博文首先用非定常線性遠(yuǎn)場方法,建立了一個(gè)關(guān)于外無界流場分區(qū)結(jié)構(gòu)的引理(劉羅勤2016):

引理.令V∞是包含運(yùn)動(dòng)物體的外無界空間,在無窮遠(yuǎn)處流體具有均勻性質(zhì),靜止或做勻速運(yùn)動(dòng).則只有黏性、非定常、可壓縮流能夠以聲波的形式指數(shù)衰減到無窮遠(yuǎn)靜止或均勻運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由此可統(tǒng)一地證明三個(gè)命題:

(1) 定常流區(qū)Vst必由非定常流包圍;

(2) 不可壓流區(qū)Vinc必由可壓縮流包圍;

(3) 無黏流區(qū)Vinv必由黏流包圍.

因此,這些V∞的子區(qū)域都是人為的理論模型,盡管在其內(nèi)部也可以使用“無窮遠(yuǎn)”的概念.下面介紹的普適理論是定常子域中的精確理論.上述命題1 比較熟知,吳鎮(zhèn)遠(yuǎn)(Wu 1981) 曾大力強(qiáng)調(diào); 命題 2 首先由 Landau 和 Lifshitz (1959) 闡明,并由 Saffman (1992) 具體證明; 命題 3 是博文首次證明的(劉羅勤2016).

3.2 升阻力的遠(yuǎn)場運(yùn)動(dòng)學(xué)表示與Stokes 定理

遵照J(rèn)oukowski-Filon 等人 “從線化遠(yuǎn)場到精確近場” 的路線,首先需像式(5) 那樣,把黏性可壓縮合力公式用線化遠(yuǎn)場的邊界積分表示,取線性近似,并只用運(yùn)動(dòng)學(xué)量表示以保持普適性.具體地,令μ和μθ為分子的或湍流的剪切黏性系數(shù)和縱向黏性系數(shù),它們和密度在遠(yuǎn)場均取常值,則定常線化NS 方程為

它可按式(2) 做縱橫分解,其縱向部分可積分一次

據(jù)此,可把合力的遠(yuǎn)場線化表達(dá)式寫成

其中μω×n=τ仍是動(dòng)力學(xué)量,但可借助式(11) 證明

從而得

顯然,二維流的Joukowski 公式(6) 和Filon 公式(9) 已被推廣到可壓縮流.式(14) 的第三項(xiàng)只出現(xiàn)在三維流,暗示流向渦量ωx=??2ψx對(duì)合力也有貢獻(xiàn).但為得到這項(xiàng)的具體形式,必須求得ψ的線化遠(yuǎn)場解,見后.這里,先考察式(14)的結(jié)構(gòu).顯然,三項(xiàng)積分都具有(n×?)?F的形式,其中F為任意張量場,?為任何可實(shí)施的張量或算符乘積.于是立即想到廣義Stokes 定理: 對(duì)任意邊界為?S的曲面S,若F連續(xù)、分段可微,則有

而對(duì)閉曲面,式 (15) 右邊為零.因此,由式 (2)、式 (3) 和式 (14) 可見,如果?和ψ滿足廣義 Stokes定理的條件,就會(huì)回到零合力的佯謬(包括D’Alembert 的零阻力佯謬).具體地說,式(14) 包含了一個(gè)重要判斷(奇怪的是,Stokes 定理的這個(gè)作用,似乎此前沒有被提到過):

縱橫勢非正則性定理.黏性可壓縮定常流升阻力完全來自 ? 和 ψ 在二維時(shí)的多值性 (流域雙連通) 和三維時(shí)的奇異性.

二維流?和ψ的多值性是熟知的,已在式(6) 和式(9) 顯示出來.三維流域是單連通的,升阻力只能來自?和ψ的奇異性.這個(gè)思想來自Goldstein (1931).注意,這種多值性和奇異性只能出現(xiàn)在縱橫勢中,速度場和其他可測物理量必須是單值的和非奇異的.由于這個(gè)結(jié)果,?和ψ中的正則部分在計(jì)算升阻力時(shí)可以略去,而它們的奇異部分在計(jì)算速度時(shí)必須相互抵消.

應(yīng)當(dāng)看到: 對(duì)于流域雙連通的二維流,物體引起的擾動(dòng)Helmholtz 勢未必總是多值的.如果所考慮的流域是V∞,它包含了所有擾動(dòng),例如尾流中的全部渦量場,那么多值性并不出現(xiàn).但這時(shí)V∞中不斷下行的啟動(dòng)渦使得流場必然是非定常的.作為V∞子域的定常流域Vst總要把啟動(dòng)渦排除在外,僅在這時(shí)縱橫勢才可能是多值的.

同理,對(duì)于流域單連通的三維流,在定常流域Vst的下游任意遠(yuǎn)的尾流截面W上,必然仍有尾渦穿過,Vst不可能完全囊括所有擾動(dòng)場.這是?和ψ具有奇異性的原因所在.下面的遠(yuǎn)場解證實(shí)了這種奇異性,它們在計(jì)算速度場時(shí)的確相消.不過,?和ψ的三維奇異性是否像其二維多值性那樣在非線性近場也存在,卻是個(gè)尚未檢驗(yàn)也難以檢驗(yàn)的問題.

3.3 縱橫遠(yuǎn)場的基本解方法

為了完成可壓縮升阻力的三維推廣,同時(shí)對(duì)可壓縮遠(yuǎn)場的縱橫過程獲得量化理解,需要解析地求得定常可壓縮Oseen 方程解.Filon 和Goldstein 的方法是尋找Oseen 方程的完備級(jí)數(shù)解,復(fù)雜冗長.但注意到在遠(yuǎn)場觀察者看來,任何有限物體都可視為點(diǎn)狀結(jié)構(gòu),劉羅勤(2016) 轉(zhuǎn)而采用了簡潔得多的基本解方法.這種方法是加州理工學(xué)院Lagerstrom 等(1949) 在一份給海軍的研究報(bào)告中提出的,其中包括線化NS 方程縱橫分解的系統(tǒng)論述.可惜他們把線化NS 方程基本解用于簡化邊界層理論的嘗試并未成功,是用錯(cuò)了地方.

線化縱橫遠(yuǎn)場基本解方法的要點(diǎn)可以概括如下.首先,物體給流場施加一個(gè)外力,它在線化遠(yuǎn)場表現(xiàn)為位于原點(diǎn)的點(diǎn)狀力

這里F是物體受到的合力,δ(x) 是Dirac Delta 函數(shù).這個(gè)外力的存在說明,?和ψ描繪的縱場和橫場不像無內(nèi)外邊界的線性場那樣互相獨(dú)立,而是互相耦合

其中G?和Gψ是縱橫場的基本解,可用經(jīng)典的積分變換和特殊函數(shù)方法做解析研究,在二維和三維流中有不同的形式.

3.3.1 橫場

外力F產(chǎn)生的橫場,在遠(yuǎn)場f=0 滿足Oseen 方程的旋度部分

與馬赫數(shù)無關(guān).可發(fā)現(xiàn)速度的橫分量仍可分解出一個(gè)無旋部分

其中χ正是Lamb (1932) 引入的渦量勢(Lamb 的結(jié)果僅限于定常二維或軸對(duì)稱流),即渦量總可寫成

而χ的尾流積分總等于 2π/k,由此可證,本來針對(duì)近場薄尾流建立的 Taylor 判據(jù) (8) 的第三式,在線性遠(yuǎn)場也成立.圖1 例示了χ的云圖.對(duì)三維流,發(fā)現(xiàn)Gψ沿x正半軸有奇異性

其中Γ(·,·) 是上不完備Gamma 函數(shù).因此ψ也有奇異性.還可得到一個(gè)簡單的合力公式

式(22) 是Goldstein (1931) 對(duì)不可壓縮流的一個(gè)中間結(jié)果.博文指出,Goldstein 未能做到底的原因之一是沒能把縱橫分解貫徹到底.

3.3.2 縱場

黏性縱場的基本解既依賴于雷諾數(shù),又依賴于馬赫數(shù)M=U/a,a為遠(yuǎn)場恒定聲速.因此,不僅要分別考慮二、三維的解,而且要針對(duì)亞聲速、超聲速和近聲速這三個(gè)速度范圍分別研究.大體上說,亞聲速遠(yuǎn)場的行為和不可壓一致,只差一個(gè)變換而且主導(dǎo)效應(yīng)是無黏的; 超聲速遠(yuǎn)場則靠變換的流動(dòng)聯(lián)系.重要的是,經(jīng)典氣體動(dòng)力學(xué)和高速空氣動(dòng)力學(xué)一直是不考慮黏性的(黏性效應(yīng)只在附著流邊界層中出現(xiàn)).Cole 和Cook (1986) 在其跨聲速空氣動(dòng)力學(xué)的專著中把無黏遠(yuǎn)場做到二階擾動(dòng),仍不能發(fā)現(xiàn)其正確的漸近行為.而博文首次證明,跨超聲速的遠(yuǎn)場必須是黏性的,否則無法向無窮遠(yuǎn)的均勻流光滑過渡.尤其是,線性近聲速遠(yuǎn)場僅存在于黏流中.黏性效應(yīng)表現(xiàn)為參數(shù)

圖1

這里δ稱為聲擴(kuò)散系數(shù),κ和cp分別是熱擴(kuò)散系數(shù)和定壓比熱.例如,對(duì)二維流,速度勢?可分解成對(duì)升力L和阻力D有貢獻(xiàn)的兩部分

其中對(duì)超聲速流有

由于Λ ?1,?主要在馬赫波x ?B|z|≈0 附近沿法向有顯著變化(圖2).特別地,阻力勢?d除原點(diǎn)外處處連續(xù),但升力勢?l在跨越x軸時(shí)有間斷(注: 雖然升力勢本身在跨越x軸時(shí)有間斷,升力勢誘導(dǎo)的速度在x軸附近卻是連續(xù)的,且以指數(shù)衰減速率趨于零).對(duì)亞聲速流有

由于黏性不顯含于式(26) 中,亞聲速遠(yuǎn)場的主導(dǎo)效應(yīng)為無黏流動(dòng),擾動(dòng)分布于整個(gè)空間(圖3).

圖2

圖3

3.4 統(tǒng)一合力定理與可測合力公式

有了縱橫勢和速度場在遠(yuǎn)場的解析表達(dá)式,就可得到博文的核心結(jié)果:

外無界定常流的統(tǒng)一合力定理.繞任意物體的 n 維黏性可壓縮定常流作用在物體上的合力是

顯然,第一項(xiàng)是垂直于來流的力即廣義的升力,第二項(xiàng)是沿來流的力即阻力.對(duì)二維流,式 (27)和不可壓流的經(jīng)典公式(6) 和式(9) 以及式(14) 完全相同.對(duì)三維流,由于渦量分布與二維分布有根本區(qū)別,其升力的表達(dá)式恰好是二維流的兩倍(并非升力的預(yù)測值大了一倍).這些公式與雷諾數(shù)和馬赫數(shù)無關(guān),“Nature would never care these numbers if it could recognize scalar and vector potentials” (Liu 2019).為紀(jì)念百年前的先驅(qū),這個(gè)定理也可稱為廣義Kutta-Joukowski-Filon 定理,簡稱廣義KJF 定理(Wu et al.2018).

為證明式 (27),用式 (17) 和式 (19) 可得

因?yàn)閡′和v是正則的,F ·??(G? ?Gψ) 這個(gè)勢也是正則的.這可以在計(jì)算Γ?時(shí)把它從式 (17)第一式中扣除,剩下有效的?′=?F ·?Gψ.另一方面,計(jì)算Q時(shí)用到的則是F ×?Gψ.所以,只用一個(gè)Gψ的解析表達(dá)式(21) 就足夠了.結(jié)果得到

從而定理得證.

有趣的是,這個(gè)證明僅從式(16) 出發(fā)計(jì)算Γ?和Qψ,不依賴于前面從合力的邊界積分表示導(dǎo)出的式(14).但比較式(29) 和式(14) 表明,那里的純?nèi)S項(xiàng)剛好貢獻(xiàn)了升力的一半

為何如此,尚無解釋.

遺憾的是,式(27) 雖然理論上精確普適,但u?和uψ都不可測量,無法在實(shí)驗(yàn)和計(jì)算中直接檢驗(yàn).不過,定理一旦確立,這兩個(gè)分速度的特定積分Γ?和Qψ就立即變成“廣義可測” 的了: 對(duì)在黏性可壓縮流中產(chǎn)生定常(或時(shí)均定常) 流的任何物體,只要測出或算出它所受的升力和阻力,分別除以 (n ?1)ρ0U和ρ0U,就得到Γ?和Qψ了!

當(dāng)然,最好是找到在什么條件下,Γ?和Qψ可以用直接可測量的積分代替.博文找到了這個(gè)條件,那就是式(27) 的遠(yuǎn)下游漸近形式: 取屬于Vst的域V,其上游邊界和側(cè)邊界退到足夠遠(yuǎn),其下游邊界是一個(gè)垂直于來流的遠(yuǎn)尾流截面W.則Γψ趨于零且Qψ經(jīng)過分部積分可化為渦量矩在W上的積分QW

它在近場表現(xiàn)為尾流截面上的總焓損失.因此

其中Γ由式(1) 定義.僅對(duì)三維流,也可把Γ寫為

為方便用實(shí)際測量或計(jì)算檢驗(yàn)這些可測公式,博文基于阻力公式,對(duì)達(dá)到線性遠(yuǎn)場的最小距離給出了量級(jí)估計(jì),發(fā)現(xiàn)最難達(dá)到的遠(yuǎn)場是二維近聲速的橫側(cè)方向.所以,超聲速飛機(jī)在一萬米高空產(chǎn)生的音爆仍能傳到地面; 翼展的一千倍距離還沒到達(dá)線性遠(yuǎn)場!

另一方面,盡管可壓縮流尤其是超聲速流有復(fù)雜的激波、熵增等來自縱場的過程與結(jié)構(gòu),反映這些過程的特征量如脹量、溫度、熵等在合力公式中都退到幕后成為隱變量.這是因?yàn)?縱過程都能轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的渦量場,它們在下游遠(yuǎn)場衰減的比較快,把自身的存在轉(zhuǎn)化成渦量分布的特殊印記(例如,彎曲激波后面產(chǎn)生的渦量場比邊界層尾流渦量寬廣得多,但微弱得多).從而僅留下衰減得最遠(yuǎn)的渦量的線性函數(shù).

圖4

圖4 是 RAE-2822 翼型升阻力的計(jì)算結(jié)果和理論預(yù)測的比較,計(jì)算參數(shù)是Re= 6.5×106,α=5.0?,詳見文獻(xiàn)Liu 等(2015).實(shí)線是翼型表面應(yīng)力積分算得的值,把它當(dāng)做理論標(biāo)準(zhǔn),也就是式(27) 用Γ?和Q預(yù)測的值.點(diǎn)狀符號(hào)是不同尾流截面位置xW上用式(32) 算得的升阻力.在得到式(27) 之前,曾經(jīng)以為兩者的差是環(huán)量理論固有的誤差,其實(shí)那正是Γψ的貢獻(xiàn).對(duì)于升力,可看出,在給定的xW下,Taylor 判據(jù)能滿足到近聲速,一旦出現(xiàn)跨聲速激波后的渦量場,Γψ就有了比較明顯的效應(yīng).到超聲速區(qū),由于尾流在斜激波壓制下難以擴(kuò)寬,Γψ的效應(yīng)隨馬赫數(shù)增加保持為一個(gè)小而有限的值,Taylor 判據(jù)近似成立.但隨xW增大,Γψ在整個(gè)速度范圍都很快減弱,證實(shí)了式(32) 的預(yù)測.

對(duì)于阻力,按式(32) 算得的和式(27) 預(yù)測的在亞聲速與超聲速區(qū)一致,前者是因?yàn)闇u量主要來源于邊界層,后者則是由于斜激波的壓制導(dǎo)致渦量都集中于有限區(qū)域.但是在跨聲速區(qū)兩者差別相當(dāng)大,即使當(dāng)xW取到400 個(gè)弦長時(shí)QW也沒有收斂到Qψ,這是因?yàn)榭缏曀賲^(qū)的正激波產(chǎn)生的渦量會(huì)導(dǎo)致很寬的尾跡.基于線性遠(yuǎn)場的最小距離估計(jì),此時(shí)線性遠(yuǎn)場的橫側(cè)距離達(dá)到O(108),遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于計(jì)算域的尺度.

3.5 方法論特色小結(jié)

至此,可以對(duì)遠(yuǎn)場理論的方法論特色做幾點(diǎn)反思.

3.5.1 理論的線性結(jié)構(gòu)

在所有合力理論中,只有遠(yuǎn)場理論得到的升阻力線性地依賴于擾動(dòng)流場,既精確又簡潔(注:Burgers (1920) 年開創(chuàng)的非定常合力的沖量理論,或許能在簡潔、精確和一般性上與式(27) 媲美.這兩種理論的應(yīng)用范圍剛好互補(bǔ).在沖量理論中,合力也具有對(duì)渦量矩的線性依賴性,但積分號(hào)外還有時(shí)間導(dǎo)數(shù)算子,而且推廣到可壓縮流有些局限性,參見Kang 等(2018)).顯然,導(dǎo)致這個(gè)突出特色的關(guān)鍵是從遠(yuǎn)場線性近似出發(fā).為說明這點(diǎn),對(duì)同樣條件下的近場合力公式和遠(yuǎn)場公式做個(gè)比較.從無黏不可壓公式(5) 出發(fā),經(jīng)過一個(gè)恒等式即得Prandtl 渦力公式

此式的被積函數(shù)u×ω即Lamb 矢量(這里忽略負(fù)號(hào))代表一個(gè)非線性氣動(dòng)力,它需要速度u和渦量ω共存,而力的方向總和二者垂直,所以不做功.在局部意義下,這種力正是升力的特點(diǎn).現(xiàn)在可見,若式(34) 中速度的中值是來流速度U,它就立即簡化成線性公式(7).對(duì)此,von K′arm′an 和Burgers (1935) 已給出了證明,但他們的方法只適用于二維流.線性表達(dá)式不是總能靠中值定理獲得的.式(27) 和式(32) 中的三維升力公式是個(gè)嶄新的發(fā)現(xiàn).

類似地,黏性的引入導(dǎo)致一個(gè)型阻,可以表示成總壓擾動(dòng)的尾流截面積分

其被積函數(shù)也是非線性的.對(duì)于三維流,式(34) 還有個(gè)非線性阻力分量即誘導(dǎo)阻力,它和型阻的和是總阻力.而這個(gè)總阻力在式(27) 中卻線性地依賴于Qψ.現(xiàn)已確證,誘導(dǎo)阻力在遠(yuǎn)場趨于零,型阻就成為總阻力(Zou et al.2019); 這在遠(yuǎn)場理論中表現(xiàn)為QW趨于Qψ.

3.5.2 理論的普適性及其物理根源

可以看到,為使遠(yuǎn)場理論具有普遍性,首先要把合力公式里的變量全用運(yùn)動(dòng)學(xué)變量表示.事實(shí)上,式(14) 正是式(5) 對(duì)黏性可壓縮流的推廣,其中正應(yīng)力和切應(yīng)力都不見了.但到速度這個(gè)層次還不夠,還要通過縱橫分解下沉到變量的最底層,即縱橫勢.縱橫分解是個(gè)線性運(yùn)算,當(dāng)然在遠(yuǎn)場理論中能發(fā)揮到極致.結(jié)果,由Stokes 定理進(jìn)而發(fā)現(xiàn),升阻力只涉及縱橫勢特有的多值或奇異部分,它們和積分域的選取無關(guān).進(jìn)一步的追究表明,這種多值性和奇異性是定常流域Vst必然切割尾流所帶來的特有性質(zhì),而尾流向下游延伸到遠(yuǎn)場時(shí)僅表現(xiàn)為渦量場.這些相當(dāng)深刻的發(fā)現(xiàn)表明,徹底的縱橫分解很有助于揭示問題的物理本質(zhì).

在普適理論中,復(fù)雜流場有各種非線性過程與結(jié)構(gòu),例如密度變化、溫度梯度與熵梯度、流動(dòng)分離、旋渦、激波,乃至黏性系數(shù)對(duì)溫度的非線性依賴性,它們對(duì)合力是不是都有影響？若有,這些影響如何都能一股腦兒歸結(jié)為它們對(duì)Γ?和Qψ這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)量的效應(yīng),而且獨(dú)立于雷諾數(shù)和馬赫數(shù)? 這是個(gè)很深刻的問題,其答案從式(29) 中可以看出端倪.那里,只有一個(gè)橫場基本解Gψ最終參與了合力的計(jì)算,在不同馬赫數(shù)下有復(fù)雜表現(xiàn)的縱場基本解G?并不出現(xiàn),因?yàn)閱慰壳罢呒醋阋员磉_(dá)縱橫勢多值性和奇異性對(duì)合力的凈貢獻(xiàn).但G?不出現(xiàn)背后的物理根源,乃是縱橫場在流場內(nèi)部和邊界上的內(nèi)稟耦合造成的.例如,眾所周知,無黏超聲速流中的升力和波阻可以用激波和膨脹波計(jì)算出來; 但不僅彎曲激波會(huì)產(chǎn)生分布渦量而在遠(yuǎn)場留下足跡,由于在黏流中激波的根部伴隨很強(qiáng)的逆壓梯度,它通過黏附條件也可以導(dǎo)致很強(qiáng)的局部邊界渦量流(BVF),因而人們也可以用物面BVF 分布算出同樣的升阻力(Wu et al.2018).

因此,在近場理論中只能通過案例具體分析的事情,在遠(yuǎn)場理論中變得簡單明了: 復(fù)雜的可壓縮縱場對(duì)升阻力只有間接的影響,從而升阻力的公式與不可壓經(jīng)典公式具有完全相同的形式,而不是和某個(gè)超聲速馬赫數(shù)如下的公式相同.換言之,升阻力的物理根源業(yè)已完全根植于不可壓黏流之中.這個(gè)發(fā)現(xiàn)為Batchelor (1967) 的一個(gè)觀點(diǎn)提供了新的證據(jù),他認(rèn)為不可壓黏性流體處于流體動(dòng)力學(xué)的中心,因?yàn)榇蠖鄶?shù)基本概念在研究有內(nèi)摩擦的流體的有旋流動(dòng)時(shí)都能清晰地揭示出來.

3.5.3 近場非線性在遠(yuǎn)場理論中的特殊表現(xiàn)

當(dāng)然,近場繞流總是高度非線性的.除了非線性渦力外,可壓縮縱場的參與更加強(qiáng)了各種非線性,如見Liu 等(2014).而統(tǒng)一合力定理卻硬是把在近場計(jì)算的合力統(tǒng)統(tǒng)表示成對(duì)Γ?和Qψ的線性依賴關(guān)系.這是個(gè)有趣的奇葩: 用線性關(guān)系表示非線性物理不是不可能,而是要付出代價(jià),即這兩個(gè)量都是不可測的.線性理論的誤差通常是按其與非線性結(jié)果的差別來衡量的,但在這里卻是用另兩個(gè)不可測量Γ?和Qψ的大小來衡量.自然界就以這種奇特的方式顯示近場非線性的頑強(qiáng)存在性.結(jié)果,到了線性遠(yuǎn)場,這種“誤差” 的確自然消失了.

4 環(huán)量與升力的物理來源

以上討論了普適理論的方法論特色,現(xiàn)在轉(zhuǎn)向討論環(huán)量與升力的物理來源.在普及的層面上,最近已經(jīng)出現(xiàn)了一些可喜的進(jìn)步.曾有個(gè)長期被國內(nèi)外中學(xué)和飛行員教材廣泛采用的“等轉(zhuǎn)移理論”,它在第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束前在英國曾是唯一被接受的解釋(Ackroyd 2015): 在前緣分手的流體必在后緣匯合,所以在一個(gè)有攻角或非對(duì)稱的翼型上,上翼面流體跑得比下翼面快,于是根據(jù)Bernoulli 定理,上翼面壓力低于下翼面,而產(chǎn)生了升力.但是,Panton (1984) 在其不可壓流教材中最早給出了CFD 的結(jié)果,表明在前緣分手后,下翼面流體到達(dá)后緣之前,上翼面流體早已跑到尾流里去了,上下表面速度差比“等轉(zhuǎn)移” 規(guī)定的大得多.這個(gè)結(jié)果見諸更多書刊和網(wǎng)絡(luò)之后,人教版中學(xué)《物理》課本8 年級(jí)下冊在2020 年版消除了2019 年版上“等轉(zhuǎn)移” 的觀念.但是這只消除了為何上表面流動(dòng)快的一個(gè)錯(cuò)誤解釋,卻不能提供任何改進(jìn)的解釋.其實(shí),整個(gè)問題的難點(diǎn)就在這里.這個(gè)例子表明,必須在專業(yè)層面上做出徹底澄清,才有可能產(chǎn)生有說服力的普及文章,消除那些錯(cuò)誤的假說.

《科學(xué)美國人》質(zhì)疑升力來源的文章(Regis 2020)開頭就說: “從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)層面上講,工程師們知道如何設(shè)計(jì)能在高空中飛行的飛機(jī),但數(shù)學(xué)公式并不能解釋氣動(dòng)升力產(chǎn)生的原因.” 這句話或許道出了關(guān)于升力來源的種種假說最有代表性的動(dòng)因: 不否認(rèn)業(yè)已被實(shí)踐證明的升力公式,但不相信它背后的物理.下面將依據(jù)這個(gè)判斷展開討論.該文沒說“嚴(yán)格的數(shù)學(xué)層面”上能用來設(shè)計(jì)飛機(jī)的“數(shù)學(xué)公式” 是什么,但最有資格的公式莫過于人們最熟知的經(jīng)典的L=ρUΓ了,可以將它稱為“空氣動(dòng)力學(xué)的F=ma”.它對(duì)升力的正確預(yù)測已被無數(shù)實(shí)驗(yàn)證實(shí),圖5 為其一例.圖中攻角大于α=12?時(shí)理論預(yù)測與實(shí)驗(yàn)測量之間的偏差不是KJ 公式有誤,而是流動(dòng)分離使Γ值偏離了小攻角線性近似.既然它現(xiàn)在已被推廣成定常升阻力普適理論,基于它的論證應(yīng)當(dāng)最有說服力;而根據(jù)升力對(duì)環(huán)量的線性依賴性,應(yīng)能以最簡單的方式直擊問題的本質(zhì).

因此,下面就以這個(gè)KJ 公式為基礎(chǔ)來討論升力的物理來源.稱沿這個(gè)思路展開的解釋為“環(huán)量解釋”,它其實(shí)是正統(tǒng)解釋; 而把不理睬KJ 公式的解釋或假說稱為“非環(huán)量解釋”.上面既然已經(jīng)觀察到升阻力的物理根植于不可壓黏流之中,下面討論不可壓二維流就夠了.可以看到: 正統(tǒng)的環(huán)量解釋一路走來并非無隙可乘,仍需要繼續(xù)加以完善,難怪對(duì)升力來源有那么多不同的聲音.本文在這里盡可能給出完整的邏輯鏈條,其理論細(xì)節(jié)均可在Wu 等(2015) 中找到.本節(jié)內(nèi)容的最初版本,是本文第一作者代表另外兩位以及朱金陽、鄒舒帆博士,在大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院所作的報(bào)告《升力的來源》(2014 年9 月3 日).

圖5

4.1 無黏勢流: 正確卻神秘的環(huán)量

討論從無黏勢流入手,升力由原始的Joukowski 環(huán)量公式 (6) 決定.Joukowski 曾構(gòu)造了后緣角為零的Joukowski 翼型,并將其保角變換到有旋轉(zhuǎn)的圓柱繞流,按后緣Kutta 條件決定了翼型環(huán)量(等于旋轉(zhuǎn)圓柱繞流的環(huán)量),導(dǎo)出了升力隨攻角和翼型厚度變化的正確規(guī)律.在這個(gè)勢流圖景中,只能設(shè)想環(huán)量來自翼型內(nèi)部一個(gè)假想的渦.這個(gè)渦是否真實(shí)存在? Prandtl 及其學(xué)生做了著名的實(shí)驗(yàn).他們根據(jù)環(huán)量守恒斷定,一個(gè)突然啟動(dòng)的機(jī)翼一旦獲得環(huán)量和升力,一定甩下一個(gè)環(huán)量等值反號(hào)的“啟動(dòng)渦”,這個(gè)渦完全待在流體中,可以直接顯示出來(圖6).于是人們從啟動(dòng)渦的直接觀察可以推斷出機(jī)翼環(huán)量即升力渦的存在.這個(gè)實(shí)驗(yàn)迄今仍被大多數(shù)教材視為證明升力環(huán)量存在的經(jīng)典證據(jù).

但是,式(6) 一出現(xiàn),就首先在頂尖學(xué)者尤其是在英國和歐洲大陸的學(xué)者之間,引起很大爭議(Darrigol 2005,Bloor 2011).英國學(xué)者包括Rayleigh,Lamb,Kelvin 等人,都不相信式(6).他們的基本理由是: 根據(jù)Kelvin 環(huán)量定理,機(jī)翼不可能無中生有地產(chǎn)生環(huán)量.有趣的是,正是Kelvin (1869)建立了環(huán)量的概念和守恒定理,正是Rayleigh (1878) 研究了旋轉(zhuǎn)圓柱繞流以解釋如何擊出能曲線飛行的網(wǎng)球.對(duì)于升力渦和啟動(dòng)渦的實(shí)驗(yàn)解釋,英國學(xué)者Jeffreys 反駁說: 從啟動(dòng)渦推斷翼型環(huán)量,需要用到剛剛違反了的Kelvin 定理,所以錯(cuò)用了兩次,而錯(cuò)了兩次不等于對(duì)了一次.

然而,Prandtl 的哥廷根團(tuán)隊(duì)最關(guān)切的是推進(jìn)新興航空科學(xué)的發(fā)展,率先取得突破、擴(kuò)大戰(zhàn)果,并應(yīng)用于飛機(jī)設(shè)計(jì),而不是坐而論道,使有關(guān)理論的各方面都完備化.他們依據(jù)KJ 定理建立了薄翼型線化理論和細(xì)長體理論,發(fā)展了三維機(jī)翼升力線理論,到1918 年奠定了經(jīng)典低速空氣動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ).而英國航空空氣動(dòng)力學(xué)的發(fā)展則從1906 年算起遲滯了約20 年.史家高度評(píng)價(jià)Prandtl 學(xué)派的貢獻(xiàn),他們在分析這場爭論時(shí)說: “Rayleigh,Lamb 和Kelvin 對(duì)流體力學(xué)了解太多,以致無法想象繞機(jī)翼的環(huán)量是升力的主要原因.兩個(gè)獨(dú)立地撞到這個(gè)想法的人則缺乏理論物理的訓(xùn)練.他們一個(gè)是工程師,另一個(gè)是年輕的數(shù)學(xué)家.” (Darrigol 2005)“英國將空氣動(dòng)力學(xué)交給數(shù)學(xué)物理學(xué)家,而德國人則將空氣動(dòng)力學(xué)交給數(shù)學(xué)精湛的工程師.” “······在劍橋 Tripos (注: 約指劍橋大學(xué)特有的一套計(jì)算成績和考核的方式)的基礎(chǔ)上發(fā)展出的數(shù)學(xué)物理文化和德國技術(shù)學(xué)院發(fā)展出的技術(shù)力學(xué)文化之間存在著差異.” (Bloor 2011).

圖6

不過,現(xiàn)在可以反思了.哥廷根學(xué)派維護(hù)的環(huán)量解釋的確留下了理論的短板.在無黏流假設(shè)下,KJ 公式確是違反Kelvin 環(huán)量守恒定理; 假想的渦找不到現(xiàn)實(shí)載體; 也不能認(rèn)為Prandtl 對(duì)啟動(dòng)渦的實(shí)驗(yàn)觀察就是對(duì)升力起源的完備解釋,它就像在陽光下從一個(gè)人的影子推斷這個(gè)人出現(xiàn)了一樣,并不回答環(huán)量從哪里來.

為了理解無黏流中的環(huán)量概念何以不可能令人滿意,需要回顧它最基本的性質(zhì).在嚴(yán)格的無黏流模型中,在同一個(gè)邊界條件下,Euler 方程的解不唯一.兩層沿同一方向運(yùn)動(dòng)的流體,能以不同的速度運(yùn)動(dòng),它們之間允許相對(duì)滑移即切向速度間斷,只要壓力連續(xù).在沿物面運(yùn)動(dòng)的流體和物面之間也是如此(Bernoulli 常數(shù)可以僅沿每一層不變).在這個(gè)圖景中,翼型的環(huán)量無非是物面上速度切向間斷的回路積分,由來流條件、翼型形狀和Kutta 條件唯一地確定.結(jié)果必然導(dǎo)致零阻力這個(gè)D’Alembert 佯謬(第2.4 節(jié)已提到,這個(gè)結(jié)果已經(jīng)被嚴(yán)格地推廣到亞聲速可壓縮勢流).這種切向間斷是一種物質(zhì)形態(tài)嗎? 在嚴(yán)格無黏理論中不是,因?yàn)殚g斷面沒有流體質(zhì)點(diǎn).遺憾的是,這種觀點(diǎn)一直延續(xù)到現(xiàn)代,如見Baker (1982).據(jù)此,談?wù)撉邢蜷g斷自身的演化是毫無意義的.但如果不是物質(zhì)載體,KJ 公式里的環(huán)量還是物質(zhì)的嗎? 倘若不是,它提供升力的機(jī)制當(dāng)然就難以置信了.

4.2 無黏有旋流: 升力與環(huán)量的來源之謎

對(duì)無黏勢流模型的第一個(gè)改進(jìn)是進(jìn)入有旋流.這時(shí)Bernoulli 積分就不好用了,流體的壓力和動(dòng)能之間沒有那樣簡單的關(guān)系了.Kelvin 在其經(jīng)典論文(Kelvin 1869,p.225) 中曾對(duì)旋渦(vortex)下了定義: “I now define a vortex as a portion of fluid having any motion that it could not acquire byfluid pressure transmitted through itself from its boundary.” 意思是,旋渦是一部分可任意運(yùn)動(dòng)的流體,該運(yùn)動(dòng)并非從其邊界傳過來的流體壓力所致.Kelvin 這個(gè)渦定義是否合適另當(dāng)別論(吳介之和楊越2020),但他這段話清楚地指出了有旋流不能簡單地用Bernoulli 的速度–壓力關(guān)系來描述.事實(shí)上,Euler,Lagrange 和 D’Alembert 在 18 世紀(jì)中葉建立 Euler 方程時(shí)就考慮過有旋流.不可壓Euler 方程的旋度就是渦量方程

當(dāng)時(shí),他們立即看到,對(duì)于ω= 0 的無旋流,Euler 方程可以立即積分一次得到 Bernoulli 方程,從而找到解;但有旋流的解不好找.所以這三位先驅(qū)都傾向于只研究無旋流就夠了,結(jié)果把渦運(yùn)動(dòng)的研究推遲了一個(gè)世紀(jì).尤其是,Lagrange (1781) 提出了一個(gè)勢流定理: 如果u和ω有任意階時(shí)間導(dǎo)數(shù) (解析性),則若t= 0 時(shí)流動(dòng)無旋,它將永遠(yuǎn)無旋.對(duì)式(36) 求逐階升高的時(shí)間導(dǎo)數(shù),利用其齊次性就能證明定理.后來Cauchy 在1815 年進(jìn)一步把這個(gè)勢流定理落實(shí)到每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)(參見Truesdell 1954,Frisch & Villone 2014).當(dāng)Helmholtz (1858) 和Kelvin (1869) 開創(chuàng)渦運(yùn)動(dòng)研究的時(shí)候,他們不管渦量的來源,只在承認(rèn)有旋流業(yè)已存在的前提下建立理論.Helmholtz 三個(gè)渦量管定理和Kelvin 的環(huán)量定理實(shí)際上是Lagrange-Cauchy 勢流定理對(duì)有旋流的直接推廣.

在這個(gè)模型里,無黏有旋流模型仍然允許切向間斷,KJ 升力理論中的環(huán)量要受到所有這些定理的制約.但根據(jù)這些定理,翼型在無黏流中的運(yùn)動(dòng)無法產(chǎn)生環(huán)量,也無法解釋啟動(dòng)渦的渦量從哪里來.

4.3 黏性有旋流: 升力與環(huán)量的物理載體

如果流體完全沒有黏性,人們會(huì)感覺不到水是濕的(Goldstein 1969),費(fèi)曼在其《物理學(xué)講義》中稱之為“干水”.清風(fēng)吹到臉上不會(huì)覺得涼快,因?yàn)闆]有熱交換.陸士嘉先生的名言“流體經(jīng)不住搓,一搓就搓出了渦” 也不靈,因?yàn)檫@時(shí)“一搓就滑”,根本搓不出渦,只有滑移.即使有渦,也是來歷不明.其實(shí),從不可壓NS 方程

可以看出,與代表正應(yīng)力的壓力相反;代表切應(yīng)力的渦量內(nèi)稟地和黏性共存,這才是陸士嘉先生說的“一搓就搓出了渦”.只是在Helmholtz-Kelvin 時(shí)代人們已經(jīng)知道,如果ω=O(1),那么對(duì)水和空氣來說μω項(xiàng)可以忽略,符合無黏渦運(yùn)動(dòng)理論的描述.

升力的正統(tǒng)解釋也只有進(jìn)入黏性流動(dòng)才能轉(zhuǎn)入坦途,黏性來自伴隨流體分子無規(guī)碰撞的動(dòng)量交換與動(dòng)能交換,不管它有多小.其作用之一是抹光無黏流模型中所有內(nèi)部和邊界上的間斷,把切向間斷變成光滑的有旋流.Prandtl 的邊界層理論回答了D’Alembert 佯謬,也揭示出機(jī)翼環(huán)量的物質(zhì)載體就是邊界層.形象地說,在黏流中的機(jī)翼不是“裸”的,而總穿著一層緊身的邊界層衣服,機(jī)翼的環(huán)量完全來自這層衣服.這層衣服在機(jī)翼啟動(dòng)時(shí)滑落到尾流,在自身誘導(dǎo)下卷成集中渦,就是啟動(dòng)渦.于是升力環(huán)量和啟動(dòng)渦的物質(zhì)載體都落實(shí)了.一架A380 客機(jī),滑跑到U=80 m/s 就能騰空而起,加速到250 m/s 就能持續(xù)巡航.托舉著將近600 t 的重量,而發(fā)動(dòng)機(jī)的全部做功只是為了克服阻力以保持式(7) 中的速度U.這樣巨大而節(jié)能的升力,居然全部來自機(jī)翼周圍幾公分厚的邊界層里的凈渦量! 這個(gè)匪夷所思的圖景,卻是已被無數(shù)CFD 算例所直接確認(rèn)的事實(shí),圖4 所示僅為其一例.

第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后,英國學(xué)者到哥廷根的訪問促成了他們從無黏流轉(zhuǎn)向黏流.1926 年出現(xiàn)了對(duì)黏流證實(shí)式(7) 的實(shí)驗(yàn)和理論解釋,出現(xiàn)了Filon 阻力公式.批評(píng)過無黏流啟動(dòng)渦解釋的 Jeffreys 也轉(zhuǎn)向基于 NS 方程的升力研究.還出現(xiàn)了Glauert 關(guān)于空氣動(dòng)力學(xué)的第一本經(jīng)典英語教材(Glauert 1926).Glauert 到哥廷根和Prandtl 合作過,熟知其邊界層理論,是英國唯一堅(jiān)定支持Prandtl 學(xué)派的學(xué)者.盡管書中介紹的Prandtl 升阻力公式?jīng)]有黏性項(xiàng),表面上是“無黏” 的,但Glauert 強(qiáng)調(diào):環(huán)量理論的物理基礎(chǔ)是黏性流動(dòng),表面無黏的氣動(dòng)力公式成立的條件是黏性系數(shù)μ→0 但μ=0,而不是嚴(yán)格無黏流假設(shè)的μ≡0.這是翼型上的邊界層在Re →∞下的漸近近似,稱為面渦(vortex sheet),這個(gè)概念是Helmholtz 首先引入的.此時(shí)邊界層和尾流剪切層的厚度趨于零,而層內(nèi)的渦量趨于無窮大,保持其法向積分為有限值即面渦強(qiáng)度

其中[[u]] 是速度間斷,在物面上即外部無旋流和物面速度之差.可見,面渦是物質(zhì)的而絕不是非物質(zhì)的切向間斷,是邊界層和自由剪切層在無需考察摩阻和層內(nèi)流動(dòng)時(shí)的簡化模型,它能忠實(shí)地保持有限厚度邊界層和自由剪切層內(nèi)的總渦量,也就是環(huán)量.于是在Taylor 判據(jù)滿足的條件下,記機(jī)翼表面為?B,機(jī)翼攜帶的環(huán)量就是

至此,還需回答: 對(duì)于黏流,Kelvin 定理變成什么樣了? 用以從啟動(dòng)渦推斷升力渦存在的總環(huán)量守恒還能成立嗎?

準(zhǔn)確地說,Kelvin 環(huán)量定理說的是: 任何同一組流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的物質(zhì)渦量管,其環(huán)量不僅在空間上守恒,也在時(shí)間上守恒.但定理是有條件的: 流體無黏、正壓、體積力有勢,亦即一般意義下Bernoulli 積分存在的條件.黏性的出現(xiàn)破壞了環(huán)量的守恒性,它可以從無到有地產(chǎn)生或從有到無地消失.總渦量守恒則是另一回事.在Kelvin 時(shí)代它被看做是一般環(huán)量守恒的一個(gè)特例,只是到晚近才被從Kelvin 環(huán)量守恒中分離出來.現(xiàn)在知道,在無窮遠(yuǎn)流體靜止的無界空間V∞中,對(duì)三維流,總渦量為零; 而對(duì)二維流,總環(huán)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零.即

這個(gè)結(jié)果是普適的,對(duì)黏流也成立(三維總渦量為零是渦量無散的直接結(jié)果,二維總環(huán)量的時(shí)間不變性是吳鎮(zhèn)遠(yuǎn)(Wu 1982)首先證明的).因此,當(dāng)年英國大師們反對(duì)KJ 公式和Prandtl 實(shí)驗(yàn)的理由,就都不成立了.

應(yīng)當(dāng)說明: 升力來自邊界層里的渦量這個(gè)論斷,本來是邊界層理論不言自明的結(jié)果,但卻已經(jīng)超出 Prandtl 時(shí)代正統(tǒng)解釋的范圍.從 1984 年的一篇科普文章起 (吳介之 1984),本文第一作者曾在不同場合和著作中闡述過這個(gè)論斷,但十幾年前,當(dāng)他和日本一位著名流體力學(xué)家討論環(huán)量的物理載體問題時(shí),那位教授很熟悉 Prandtl 的實(shí)驗(yàn)解釋,但覺得升力來自邊界層的解釋很新鮮,這反使筆者驚訝了.不過,現(xiàn)在這個(gè)論斷的確正在被越來越廣泛地接受了.到2015 年,英國空氣動(dòng)力學(xué)史家 Ackroyd 寫出了幾乎和 Wu 等 (2006) 相同的論斷: “Thus it is that the streamlined airfoil,through its enforcement of separation solely at the trailing edge,through viscous action creates a fixed and steady amount of fluid vorticity in its boundary layers,which in turn generates the overall circulation and hence lift.We fly,therefore,courtesy of the air’s very small viscosity,a fact which seems near-miraculous when we consider that even the smaller modern airliners possess weights equivalent to a dozen or more double-decker buses.”

4.4 升力與環(huán)量產(chǎn)生的因果鏈

為把黏性有旋流的環(huán)量解釋貫徹到底,還需要回答一個(gè)關(guān)鍵問題: 機(jī)翼上的渦量和環(huán)量是如何產(chǎn)生的? 產(chǎn)生過程的物理因果性如何? 換言之,機(jī)翼上渦量的源是什么?

能夠影響渦量場演化的物理機(jī)制不止一種,源是最強(qiáng)的一種,無中生有謂之源,即在本來渦量為零的環(huán)境里產(chǎn)生渦量.源及其生成物之間的關(guān)系是動(dòng)力學(xué)的因果關(guān)系,可以追溯到局部過程,有時(shí)間順序可以辨認(rèn).運(yùn)動(dòng)學(xué)的共存關(guān)系如速度 – 渦量關(guān)系或動(dòng)力學(xué)的作用 – 反作用關(guān)系 (如升力– 下洗關(guān)系),都不屬于因果關(guān)系.順便提一下,升力– 下洗關(guān)系也是升力非正統(tǒng)解釋的論點(diǎn)之一,對(duì)其評(píng)論見Wu 等(2015,pp.294-295).眾所周知,在流場內(nèi)部,非保守體力?×f和流動(dòng)的斜壓性如?T ×?s都是渦量源,其中f是單位質(zhì)量的體積力,T和s是渦量和熵.一旦把它們加到式(35) 的右邊,方程就是非齊次的,Lagrange-Cauchy 勢流定理的條件就不成立了.對(duì)黏性流體,此式還有擴(kuò)散項(xiàng)ν?2ω,但它不是源.

現(xiàn)在,回到上面討論的無外部體力的不可壓黏性有旋流,其方程沒有源項(xiàng).表面上看,Lagrange-Cauchy 勢流定理仍然成立,但在實(shí)際流動(dòng)中渦量確實(shí)在不同場合會(huì)無中生有地出現(xiàn).即使在Helmholtz (1858) 的時(shí)代也知道,能夠在一個(gè)管道的一端通過壓力脈沖而在另一端噴出一個(gè)圓渦環(huán)來,成為他建立渦環(huán)理論的依據(jù).可以把這個(gè)理論與實(shí)際的矛盾稱為 Lagrange 佯謬.如果說,D’Alembert 佯謬追問的是阻力的物理載體,Prandtl 對(duì)它的回答是邊界層里的渦量,但他并沒有指出其生成的因果關(guān)系; 那么Lagrange 佯謬追問的就是該載體的源—— 它既導(dǎo)致阻力,也導(dǎo)致升力,后者是更深層次的佯謬.

Lagrange 佯謬對(duì)歷代頂級(jí)學(xué)者的困擾比 D’Alembert 佯謬更久.邊界層理論問世后半個(gè)世紀(jì),Truesdell (1954) 在其專著中介紹了圍繞這個(gè)佯謬的歷史爭論(在那里稱之為渦量場的非解析性),并感嘆道: “更驚人的是,教科書、專著和最近的論文都在重復(fù)早先作者們的錯(cuò)誤,這顯然表明: 渦量在黏性流體中的產(chǎn)生尚未得到完全的理解.” 事實(shí)上,到那時(shí)只缺臨門一腳了.

這臨門一腳是Lighthill (1963) 踢出的.考慮不可壓NS 方程(36) 在(x,z) 平面上的分量形式,將其用到靜止平板表面.流體速度的黏附性意味著加速度也有黏附性,所以只剩下法向力和切向力的平衡

第一式表明切向壓力梯度導(dǎo)致渦量的法向擴(kuò)散率.平板下方?jīng)]有渦量,若有渦量進(jìn)入流場必是在物面上新產(chǎn)生的,此式右邊代表渦量的產(chǎn)生率.Lighthill (1979) 用圖7 簡明地闡明了這個(gè)機(jī)制,關(guān)鍵是黏性使得小球不能滑動(dòng)而只能滾動(dòng).這是一個(gè)局部的無中生有的因果過程,壓力梯度是因,渦量產(chǎn)生是果,因?yàn)閴毫κ瞧胶鈶B(tài)熱力學(xué)量,黏性擴(kuò)散則反映從一個(gè)局部平衡態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)局部平衡態(tài)的過程,其建立比壓力晚幾個(gè)分子碰撞的時(shí)間.由于?xp=O(1),ν?zω必是同量級(jí),黏性越小,渦量梯度就越大.

圖7

這個(gè)圖景表示,渦量和壓力在邊界上的耦合使得渦量的演化不滿足齊次方程的規(guī)律,Lagrange-Cauchy 勢流定理無效,渦量可以無中生有地由壓力梯度產(chǎn)生.整個(gè)邊界層里的渦量都是這樣來的(無壓力梯度的Blasius 邊界層中的渦量來自前緣).式(41) 已被人們擴(kuò)展到三維可壓縮流體經(jīng)過任意運(yùn)動(dòng)固體表面的情形,構(gòu)成了完整的邊界渦量動(dòng)力學(xué)(參見Wu 等(2018) 的述評(píng)).

值得注意的是,Lighthill 關(guān)系(41)并不出現(xiàn)在流場內(nèi)部的渦量方程中,所以在此前180 年關(guān)于渦量“非解析性” 的爭論中被忽略掉了; 而通常的速度– 壓力表述只需要速度黏附性的邊界條件,人們雖然知道式(41),卻僅把它列為“相容性條件” 之一(Schlichting & Gersten 2000) 而未予重視.“上窮碧落下黃泉,兩處茫茫皆不見”.僅當(dāng)需要考慮速度– 渦量表述時(shí),因?yàn)闇u量方程比動(dòng)量方程高了一階,需要補(bǔ)充附加邊界條件以消除升階可能帶來的偽解,式(41)才進(jìn)入人們的視野.這很可能是為什么Lagrange 佯謬的解決經(jīng)歷的時(shí)間跨度比D’Alembert 佯謬還要長的一個(gè)理論原因.而且,Lighthill 關(guān)系迄今也只在少數(shù)教材和專著中得到反映(最早的教科書又是Panton 1984).可是Lighthill 本人很看重式(41).他為國際物理學(xué)界回顧20 世紀(jì)物理學(xué)成就的多卷本文集中寫了《流體力學(xué)》一章,在述評(píng)20 世紀(jì)流體力學(xué)進(jìn)展時(shí)再次引用圖7 (Lighthill 1995),就是明證.

還應(yīng)指出,由于關(guān)注的一直是定常流,而不可壓定常流是流動(dòng)業(yè)已達(dá)到平衡態(tài)時(shí)的形態(tài),其主控方程是橢圓型的,不能據(jù)以清晰地分析過程的因果順序.結(jié)果,在研究機(jī)翼環(huán)量來源的因果鏈中,Lighthill 關(guān)系(41) 是唯一能辨識(shí)的一環(huán),而且是靠分子運(yùn)動(dòng)論辨識(shí)的.如果要考查整個(gè)因果鏈,就必須轉(zhuǎn)向非定常流.典型的例子是一個(gè)加速啟動(dòng)翼型流動(dòng)中壓力梯度的出現(xiàn),邊界層的建立及其分離,分離泡的形成、移動(dòng)與消失,Kutta 條件(在黏流中表現(xiàn)為特定物理事件)的建立和機(jī)翼環(huán)量與啟動(dòng)渦形成等等過程,是個(gè)很復(fù)雜的非定常分離流問題.這個(gè)問題已由Zhu 等(2015) 做了深入研究,這里只對(duì)決定定常流環(huán)量大小的Kutta 條件做個(gè)簡要說明.

因?yàn)闊o黏勢流理論不僅允許間斷,也允許速度場有奇異性,Kutta 條件最初是人為引進(jìn)的關(guān)鍵假設(shè).但在黏性有旋流中,它應(yīng)從外加的假設(shè)轉(zhuǎn)變成某個(gè)自然的動(dòng)力學(xué)事件.對(duì)此,人們曾提出多種物理事件做為表述Kutta 條件的選項(xiàng).Zhu 等(2015) 列舉了5 種(前面提到的Taylor 判據(jù)是其一),并在翼型啟動(dòng)的非定常過程中逐一辨認(rèn)出這些不同事件發(fā)生的時(shí)間.他們的研究表明,只有von K′arm′an 和Burgers (1935) 提出的表述是個(gè)在特定瞬間發(fā)生的事件: 上翼面附著分離泡在那一瞬間消失,流動(dòng)完全附著,后駐點(diǎn)與翼型后緣重合(參考圖8).它是翼型啟動(dòng)后下表面流動(dòng)經(jīng)后緣經(jīng)分離泡向上游折轉(zhuǎn)到改為順流而下的分界,精確地標(biāo)志著后緣開始甩出啟動(dòng)渦,翼型開始獲得環(huán)量.Kutta 條件的這個(gè)表述得到了 Batchelor (1967) 的認(rèn)同.不過 K′arm′an 和 Burgers 的表述中的一個(gè)狀語“在最終的定常態(tài)下”可刪,因?yàn)槭录l(fā)生時(shí)流動(dòng)仍然高度非定常.其他表述對(duì)應(yīng)的事件發(fā)生時(shí)間都比K′arm′an-Burgers 事件晚,而且無法做準(zhǔn)確的時(shí)間認(rèn)定.

圖8

4.5 環(huán)量與升力來源的小結(jié)

升阻力來源的正統(tǒng)解釋也有坎坷的歷程.Prandtl 學(xué)派在最初的無黏流框架內(nèi)給出的解釋難以在理論上自圓其說,為各種非正統(tǒng)假說開了方便之門.它們的共同特點(diǎn)就是摒棄環(huán)量,試圖回到速度– 壓力表述,并只用Bernoulli 定理去解釋神秘的升力.但這是不可能成功的.

只有黏性有旋流模型能在保障環(huán)量理論健康發(fā)展的同時(shí)提供它的正確物理解釋,即機(jī)翼的環(huán)量來自其邊界層中的渦量.但是,很多現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)教材過分簡單地照搬Prandtl 學(xué)派的早期著作,把KJ 定理當(dāng)做嚴(yán)格無黏理論來講,對(duì)升力的解釋還停留在不自洽的狀態(tài),那也是不可能說服人的.這不僅是落后于時(shí)代,甚至是落后于Glauert(1926)了.從無黏無旋流到無黏有旋流,再到有黏有旋流,從升力環(huán)量的確認(rèn)到其物質(zhì)載體的確認(rèn),再到其因果來源的確認(rèn),每一步進(jìn)展都來之不易.在正確理論建立之后一個(gè)世紀(jì)的今天,再次呼吁廣大流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)專家和教師,共同為傳播升力來源的科學(xué)理解而繼續(xù)努力.

5 結(jié)論與展望

博文提出的定常升阻力普適理論,標(biāo)志著遠(yuǎn)場理論方法完成了向黏性可壓縮流的發(fā)展.在定常流范疇內(nèi),各種刻畫復(fù)雜流動(dòng)結(jié)構(gòu)與過程對(duì)合力影響的不可壓或可壓縮近場理論,有了一個(gè)用遠(yuǎn)場方法得到的統(tǒng)一、簡潔、精確的對(duì)應(yīng)物,表明升阻力能夠分別僅用勢流環(huán)量和有旋流函數(shù)的多值性或奇異性表示成普適的線性公式.這兩個(gè)不直接可測的運(yùn)動(dòng)學(xué)量和可測的物理環(huán)量–流函數(shù)的差別,是流動(dòng)固有非線性的特殊表現(xiàn).所得公式和不可壓黏流完全相同,說明產(chǎn)生升阻力的物理機(jī)制完全源于不可壓流.可壓縮流中縱場的各種特殊過程和結(jié)構(gòu)對(duì)合力的影響,在線化遠(yuǎn)場都能通過流動(dòng)固有的縱橫耦合機(jī)理轉(zhuǎn)化成僅用橫場即渦量場表示的形式.

近場理論的奠基距今已有百年,到1980 年代出現(xiàn)了很多新的表述,至今也已經(jīng)持續(xù)發(fā)展了三十余年.在低速流動(dòng)中,已經(jīng)形成了部分關(guān)于復(fù)雜流動(dòng)力和力矩的理論公式,并被應(yīng)用到復(fù)雜的工程流動(dòng)中.然而,可用于研究魚游和鳥飛等強(qiáng)非定常流動(dòng)的近場理論還有待進(jìn)一步探索.與低速空氣動(dòng)力學(xué)相反,黏性可壓縮流體的高速空氣動(dòng)力學(xué)理論在很長一段時(shí)間內(nèi)沒有太大的進(jìn)展,相關(guān)的系統(tǒng)理論工作也是最近幾年內(nèi)才開始摸索,目前還亟需廣泛的實(shí)驗(yàn)或數(shù)值驗(yàn)證.此外,遠(yuǎn)場理論和近場理論如何實(shí)現(xiàn)光滑銜接、相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值檢驗(yàn)如何實(shí)施,都需要未來的繼續(xù)努力.

定常升阻力普適公式只能在黏性有旋流動(dòng)中得到,因此對(duì)升力物理來源最簡潔的環(huán)量解釋,也只能在黏性有旋流中獲得自洽的理解,即提供機(jī)翼升力的環(huán)量完全來自機(jī)翼邊界層中的凈渦量.而這些渦量都是切向壓力梯度經(jīng)物面黏附條件搓出來的.任何撇開黏性和有旋流的非正統(tǒng)解釋都不可能成功.向非專業(yè)讀者闡釋升力的這個(gè)物理來源,仍是流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)界不可推辭的重要任務(wù).

致謝國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472016,91752202).