新舊交融時(shí) “或”明則“不惑”

楊原明 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021)

1 問(wèn)題提出

當(dāng)前某些省份的部分年級(jí)正處于新課標(biāo)與舊教材共存狀態(tài)，難免遇到解決某些問(wèn)題的固有經(jīng)驗(yàn)方法無(wú)法再使用的情況．怎么辦？數(shù)學(xué)的教學(xué)不只是經(jīng)驗(yàn)傳授，更是思考和創(chuàng)造．本文從高一教學(xué)中一個(gè)問(wèn)題說(shuō)起，提出筆者的一些思考，與讀者共勉．

新人教A版習(xí)題中出現(xiàn)了一個(gè)題：“x或y為有理數(shù)是xy為有理數(shù)的既不充分也不必要條件”，問(wèn)是真命題還是假命題？(習(xí)題1.4第3題(4))學(xué)生完成起來(lái)普遍感覺(jué)困難，其難點(diǎn)在于無(wú)法準(zhǔn)確理解“x或y為有理數(shù)”．考察教材和《教師教學(xué)用書》，本題承接的是例1(6)“x,y為無(wú)理數(shù)不是xy為無(wú)理數(shù)的充分條件”、例2(6)“x,y為無(wú)理數(shù)不是xy為無(wú)理數(shù)的必要條件”，合起來(lái)就是：x,y為無(wú)理數(shù)是xy為無(wú)理數(shù)的既不充分也不必要條件．學(xué)生很容易理解例題里的“且”，也很容易舉出反例，可就是無(wú)法理解“或”．

如果是上一個(gè)版本的教材，這就是一個(gè)非常自然的“逆否命題與原命題互為等價(jià)命題”的應(yīng)用．利用這個(gè)結(jié)論，將原命題轉(zhuǎn)化為“xy為無(wú)理數(shù)是x,y為無(wú)理數(shù)的既不充分也不必要條件”，根據(jù)例1(6)和例2(6)，顯然該命題為真命題．但高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)面世后，“四種命題”“簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞”從高中教學(xué)內(nèi)容中消失，這道習(xí)題的命運(yùn)將如何呢？或者，這一類問(wèn)題將去向何方？隨著四種命題一起消失？

2 問(wèn)題分析

本題并不只有這一種解法．追本溯源，此題本質(zhì)上考查的是集合關(guān)系與運(yùn)算．這個(gè)問(wèn)題完全可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為：已知集合A={(x,y)|x或y為有理數(shù)}，集合B={(x,y)|xy為有理數(shù)}，則(x,y)∈A是(x,y)∈B的什么條件？

根據(jù)并集的定義，A={(x,y)|x或y為有理數(shù)}={(x,y)|x為有理數(shù)}∪{(x,y)|y為有理數(shù)}，所以本題的難點(diǎn)在于如何準(zhǔn)確理解二維狀態(tài)下的集合運(yùn)算.若這個(gè)問(wèn)題得不到解決，影響的將不只是本題這一類判斷充要條件的問(wèn)題．事實(shí)上，在將來(lái)獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)部分的學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生可能會(huì)誤認(rèn)為相互獨(dú)立的兩個(gè)事件A,B有且僅有一個(gè)發(fā)生的概率是P(A)+P(B)，其根本原因就在于沒(méi)有真正理解集合的并運(yùn)算．

3 問(wèn)題解決

從教材來(lái)看，對(duì)高一學(xué)生而言，有限數(shù)集和可以用區(qū)間表示的數(shù)集的運(yùn)算掌握起來(lái)是比較自然的，也能幫助學(xué)生熟悉集合的符號(hào)語(yǔ)言，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)．但教授交集概念之后，對(duì)教材給出的例3，完全可以在求完交集之后分析一下并集，讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)集合運(yùn)算的理解，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

3.1 并集的構(gòu)成

立徳中學(xué)開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A={x|x是立徳中學(xué)高一年級(jí)參加百米賽跑的同學(xué)}，集合B={x|x是立徳中學(xué)高一年級(jí)參加跳高比賽的同學(xué)}，求A∩B；變式：求A∪B．

教學(xué)中，此處的變式不要局限于A∪B= {x|x是立徳中學(xué)高一年級(jí)參加百米賽跑或參加跳高比賽的同學(xué)}，而應(yīng)該借助Venn圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合A∪B是三個(gè)兩兩之間交集為空集的集合的并集：A∪B={x|x是立徳中學(xué)高一年級(jí)參加百米賽跑且未參加跳高比賽的同學(xué)}∪{x|x是立徳中學(xué)高一年級(jí)參加跳高比賽且未參加百米賽跑的同學(xué)}∪{x|x是立徳中學(xué)高一年級(jí)既參加跳高比賽又參加百米賽跑的同學(xué)}．

3.2 并事件的概率

此處還可以結(jié)合教材閱讀材料，分析集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)．教學(xué)中一般會(huì)用“card(A∩B)被加了兩次”來(lái)說(shuō)明最后為什么要減去card(A∩B)，但結(jié)合Venn圖，完全可以不引入差集概念，將集合A-B,B-A分別記作C,D，其中card(C)=card(A)-card(A∩B)，card(D)=card(B)-card(A∩B)，并且card(A∪B)=card(C)+card(D)+card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)．這樣的過(guò)程更接近剛上高中的高一學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，也更方便學(xué)生理解容斥原理．

由此，很自然地，在概率部分的學(xué)習(xí)中，并事件A∪B包含三個(gè)兩兩之間互斥的事件：A發(fā)生且B發(fā)生、A發(fā)生且B不發(fā)生、A不發(fā)生且B發(fā)生，故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)．而兩個(gè)事件A,B有且僅有一個(gè)發(fā)生包含的是后兩種情況．如果事件A,B互斥，則A與B不可能同時(shí)發(fā)生，則A∪B僅包含：A發(fā)生且B不發(fā)生、A不發(fā)生且B發(fā)生，即A發(fā)生、B發(fā)生，故事件A,B互斥時(shí)，P(A∪B)=P(A)+P(B)．

3.3 充要條件的判斷

回到最初的問(wèn)題，A={(x,y)|x或y為有理數(shù)}={(x,y)|x為有理數(shù)}∪{(x,y)|y為有理數(shù)}={(x,y)|x為有理數(shù)且y為有理數(shù)}∪{(x,y)|x為有理數(shù)且y為無(wú)理數(shù)}∪{(x,y)|x為無(wú)理數(shù)且y為有理數(shù)}．至此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的含有“且”字的交集狀態(tài)．對(duì)B={(x,y)|xy為有理數(shù)}，先考察充分性，當(dāng)(x,y)∈{(x,y)|x為有理數(shù)且y為無(wú)理數(shù)}時(shí)，(x,y)?B，即充分性不成立；再看必要性，用反例說(shuō)明，(x,y)∈{(x,y)|xy為有理數(shù)}時(shí)，可能x為無(wú)理數(shù)且y為無(wú)理數(shù)，此時(shí)(x,y)?A，即必要性也不成立．故(x,y)∈A是(x,y)∈B的既不充分也不必要條件，習(xí)題中1.4第3題(4)中的命題是真命題．

3.4 觸類旁通

教學(xué)中可以適當(dāng)提供練習(xí)讓學(xué)生自己分析．事實(shí)上，有兩個(gè)例子值得我們高度關(guān)注．

(1)x=0或y=0是xy=0的什么條件？將x=0或y=0劃分為：x=0且y=0；x=0且y≠0；x≠0且y=0.很容易判斷出x=0或y=0是xy=0的充要條件，也能幫助學(xué)生更好地理解“x,y中至少有一個(gè)為0”的符號(hào)化表示“xy=0”．

(2)x≠0或y≠0是x2+y2≠0的什么條件？與前面的例子同理，將x≠0或y≠0劃分為：x≠0且y≠0；x=0且y≠0；x≠0且y=0.三種情況都會(huì)有x2+y2≠0，所以答案是充要條件．同樣，這也是一個(gè)幫助學(xué)生正確理解“不同時(shí)為零”并學(xué)會(huì)符號(hào)化表達(dá)的好機(jī)會(huì)——“不都是”作為公認(rèn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，最后的一擊即中必須是來(lái)源于平時(shí)的不斷積累．

符號(hào)化表達(dá)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的必備環(huán)節(jié)，所以說(shuō)這兩個(gè)例子有重要意義．

4 總結(jié)反思

問(wèn)題本身很小，也很容易解決，但仍需要我們從中反思，為以后的教學(xué)提供一點(diǎn)借鑒．

4.1 并集的教學(xué)

并集的教學(xué)不應(yīng)該忽略對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的探究，這也正是集合運(yùn)算區(qū)別于實(shí)數(shù)運(yùn)算的地方．用實(shí)數(shù)運(yùn)算作類比，相似和不同點(diǎn)處都應(yīng)該分析清楚，為高一學(xué)生以后使用類比的方法來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)．應(yīng)該說(shuō)明的是，雖然我們提倡在教學(xué)中對(duì)類似二元變量類型的并集從自然語(yǔ)言表達(dá)、Venn圖等方法進(jìn)行劃分以使學(xué)生更好地理解并集概念，初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的分類討論思想，但并不要求把De Morgan定律作為結(jié)論來(lái)記憶和使用．在新高一的教學(xué)中，教師應(yīng)該謹(jǐn)慎把握符號(hào)化的程度，避免過(guò)度抽象和符號(hào)過(guò)多的表達(dá)，避免加重學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)．

4.2 充要條件的教學(xué)

充要條件的教學(xué)，本身是為了培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．作為邏輯入門課，在教學(xué)中應(yīng)注意由淺入深．對(duì)本文涉及的問(wèn)題，有教師補(bǔ)充了四種命題，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和文獻(xiàn)[2]，這種做法似有不足；有教師利用補(bǔ)集的想法來(lái)講，也是可以的，但是不建議放在高一，而是可以在一輪復(fù)習(xí)時(shí)再自然地引入這個(gè)方法．因?yàn)閺乃季S層次來(lái)講，對(duì)兩個(gè)集合分別求補(bǔ)集、確定補(bǔ)集之間的關(guān)系、根據(jù)補(bǔ)集關(guān)系確定原集合之間的關(guān)系，再將集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)充要條件的判定，在抽離四種命題的前提下，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不是個(gè)容易的思維過(guò)程．故而，在目前的教材體系中，我們“被迫”深入挖掘并理清“或”的含義，從而解決集合、邏輯、概率這一系列問(wèn)題．當(dāng)然，教材修訂的本意未必全是如此，但這一問(wèn)題的出現(xiàn)確實(shí)是我們解決概率學(xué)習(xí)中并事件理解困難的良機(jī)．

4.3 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來(lái)講，正難則反可以，但是擱置問(wèn)題導(dǎo)致其成為痼疾絕不可?。畬で笞顑?yōu)策略無(wú)可厚非，但并不能因此就放棄其他的可能性，尤其是與未來(lái)學(xué)習(xí)有關(guān)的問(wèn)題上．事實(shí)已經(jīng)證明，此處放棄對(duì)并集本質(zhì)的分析，將導(dǎo)致學(xué)生在后續(xù)概率學(xué)習(xí)中出現(xiàn)理解上的偏差，甚至影響其日常生活中對(duì)相關(guān)語(yǔ)句的理解．更何況，每個(gè)學(xué)生都有不同的思維方式，即使在上一版教材的教學(xué)中，也有學(xué)生追問(wèn)：如果不用逆否命題，本題能不能解決？應(yīng)該怎么解決？學(xué)習(xí)指向性教學(xué)和考試指向性教學(xué)最根本的區(qū)別是前者關(guān)注過(guò)程，后者更重視結(jié)果．通過(guò)創(chuàng)造情境，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，遠(yuǎn)比直接將教師的經(jīng)驗(yàn)傳授給學(xué)生，讓學(xué)生死記硬背來(lái)得更自然、更深刻．