2020年高考數(shù)學(xué)試題亮點(diǎn)掃描

倉萬林 李 紅 (江蘇省江陰市要塞中學(xué) 214432)

錢 鵬 (江蘇省南通市天星湖中學(xué) 226010)

2020年高考數(shù)學(xué)試題是教學(xué)改革的風(fēng)向標(biāo)．《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出了核心素養(yǎng)的總體框架和基本內(nèi)涵，高考評(píng)價(jià)體系確立了高考中學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo)，這標(biāo)志著中國高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變．[1]

縱觀2020年的8份高考數(shù)學(xué)試題(全國卷3份，自主命題和新高考(山東卷)5份)，許多試題給人感覺耳目一新，試題設(shè)計(jì)重視學(xué)科本質(zhì)，突出了數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究的引領(lǐng)作用，加強(qiáng)了對(duì)核心素養(yǎng)的考查，有轉(zhuǎn)型期高考試題風(fēng)向標(biāo)的價(jià)值，必將對(duì)今后的教學(xué)行為產(chǎn)生潛移默化的影響．

1 彰顯數(shù)學(xué)文化

經(jīng)過多年的嘗試，數(shù)學(xué)文化進(jìn)入高考試題已經(jīng)成為一種新常態(tài)．尤其是湖北卷從2008年到2015年八年一貫的對(duì)數(shù)學(xué)文化試題的探索，如2015年高考中的“鱉臑”問題，引起了社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)文化的廣泛關(guān)注，推動(dòng)了數(shù)學(xué)文化的大眾傳播，成為一種社會(huì)文化現(xiàn)象．據(jù)筆者不完全統(tǒng)計(jì)，2020年高考中的數(shù)學(xué)文化試題概況如表1．

表1

例1(2020年北京)2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日(π Day)．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是( )．

圖1

點(diǎn)評(píng)本題以圓的幾何性質(zhì)為載體考查數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程中開闊視野，感悟數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

試題背景賞析圓周率π就是一個(gè)傳奇．

這些數(shù)學(xué)家建議“τ宣言”，還在6月28日慶祝“真正的”圓周率日(圖2)．

圖2

如果在今后的高考試題中遇到這樣的問題，你還會(huì)奇怪嗎？

以數(shù)學(xué)文化為載體的高考試題，成為新課程背景下高考改革的一道靚麗風(fēng)景，試題講究素材背景的文化性和數(shù)學(xué)美的呈現(xiàn)，使考生在豐富多彩的試題背景中實(shí)現(xiàn)知識(shí)和信息的遷移，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美和數(shù)學(xué)文化．?dāng)?shù)學(xué)的文化性、應(yīng)用性與理論性有機(jī)結(jié)合，相互滲透，真正考查考生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．試題促使數(shù)學(xué)文化進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，引領(lǐng)教師去挖掘和探究課程中的數(shù)學(xué)文化元素，把數(shù)學(xué)文化教育潛移默化地滲透到課堂教學(xué)，達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)科立德樹人的目的．

2 注重開放性題型

2020年高考數(shù)學(xué)試題在題型上進(jìn)行了大膽改革和創(chuàng)新，開放性題型逐漸進(jìn)入到我們的視野，成為一大亮點(diǎn)．

開放性命題顛覆了我們對(duì)于傳統(tǒng)考查方式的認(rèn)知，給學(xué)生提供了更多的自行搜索解答路徑、檢索知識(shí)儲(chǔ)備、思維發(fā)散、綜合解答問題和探究創(chuàng)新的可能，能夠賦予學(xué)生更多自由發(fā)揮的空間．問題沒有固定的模式，推動(dòng)學(xué)生必須經(jīng)過主動(dòng)思考，綜合運(yùn)用觀察、分析、歸納、推理等方法，在多角度、多方位思考問題的過程中發(fā)展其創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．同時(shí)，問題的思維性和開放性使得開放命題符合了發(fā)展核心素養(yǎng)的要求．[2]

和以往的謹(jǐn)慎嘗試相比，2017—2020年的北京卷，均在開放性命題方面作出了可貴的探索．

題1(2017年北京文/理)能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù)，若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為．

題3(2018年北京理)能說明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是．

題4(2019年北京理12/文13)已知l,m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題．

題5(2020年北京14)若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2，則常數(shù)φ的一個(gè)取值為．

結(jié)構(gòu)不良問題是開放性題型的重要形式之一，具有很好的開放性，可能缺少解決問題的必要條件或者某個(gè)條件存在變數(shù)，其結(jié)論也是多樣化的，甚至在某些特定條件下問題是無解的，問題的解決過程更是千差萬別．高考中的結(jié)構(gòu)不良試題，能夠有效地考查學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的能力、分析問題和解決問題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)理解能力、數(shù)學(xué)探究能力的考查是積極和深刻的．

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

點(diǎn)評(píng)問題以解三角形為背景，給定若干條件(在這些條件下并不能確定三角形)，要求學(xué)生在另外給出的幾個(gè)條件中自主選擇，若問題中的三角形存在，求解三角形；若問題中的三角形不存在，說明理由．選擇本身是試題要考查的內(nèi)容之一，不同的選擇可能導(dǎo)致不同的結(jié)論，難度與作答時(shí)間也會(huì)有所區(qū)別．

數(shù)學(xué)開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，是新的教育理念和課程理念的具體體現(xiàn)．高考試題中開放題的出現(xiàn)，有助于引導(dǎo)我們走出課堂教學(xué)中過度訓(xùn)練的傳統(tǒng)誤區(qū)，切實(shí)將教和學(xué)的重心轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)方法和思維訓(xùn)練上．

3 突出數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和考查的重要內(nèi)容之一．自20世紀(jì)80年代第三次數(shù)學(xué)課程改革運(yùn)動(dòng)以來，數(shù)學(xué)應(yīng)用引起世界各國關(guān)注，多個(gè)國家紛紛進(jìn)行數(shù)學(xué)課程改革．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力、建立簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型并利用模型解決實(shí)際問題的能力已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的主要內(nèi)容之一．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等直接和數(shù)學(xué)應(yīng)用問題密切相關(guān)．在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，加強(qiáng)建模能力的培養(yǎng)，“有利于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的習(xí)慣，有利于學(xué)生發(fā)展用數(shù)學(xué)的思維分析實(shí)際問題的能力，有利于學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)實(shí)際問題的能力”[3]．

A．60 B．63 C．66 D．69

點(diǎn)評(píng)問題以新冠肺炎疫情傳播的動(dòng)態(tài)研究為背景，用數(shù)學(xué)模型揭示疫情遏制階段的規(guī)律，選擇適合學(xué)生知識(shí)水平的模型作為試題命制的基礎(chǔ)，考查使用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力．

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．

(3)更合理的抽樣方法是分層抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．

理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，使得各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大.采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．

點(diǎn)評(píng)試題以沙漠治理為背景，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力、數(shù)據(jù)處理的能力以及創(chuàng)新應(yīng)用的能力．問題設(shè)計(jì)體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念，融數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究于其中，在不同版本的教材中，我們都可以發(fā)現(xiàn)問題的原型，源于課本又不拘泥于課本．

可以預(yù)見，應(yīng)用問題的考查在今后會(huì)越來越被重視.該試題的出現(xiàn)也提醒我們一線教師，應(yīng)用問題考查的方式可以多樣化．另外，試題在建立模型之后的方案選擇上，也體現(xiàn)了適當(dāng)?shù)拈_放性．試題也折射出數(shù)學(xué)閱讀和表達(dá)的重要性．閱讀理解是基于思維的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，直接影響著人們發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，它既是獲取知識(shí)的一種能力，也是影響思維和認(rèn)識(shí)的一種重要能力．問題設(shè)計(jì)對(duì)表達(dá)能力有明顯的要求，立足于全面考核學(xué)科素養(yǎng)，而這恰恰是我們?cè)谄匠＝虒W(xué)中所容易忽視的．可以預(yù)見，數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)寫作等隱性課程要素將在今后的課堂教學(xué)實(shí)踐中得到越來越多的體現(xiàn)．

高考是大事，關(guān)注2020年高考題中的亮點(diǎn)和變化，無疑會(huì)給我們的教和學(xué)帶來更多的啟迪．