美國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展動向
——基于“問題解決”標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)涵發(fā)展*

何 睦 (江蘇省梁豐高級中學(xué) 215600)

在不同的年代，美國數(shù)學(xué)教育界都會提出一些響亮的主題，并頒布一些具有國際影響力的課程標(biāo)準(zhǔn)，因此，美國數(shù)學(xué)教育改革一直是世界數(shù)學(xué)教育關(guān)注的熱點(diǎn)．從20世紀(jì)60年代的新數(shù)運(yùn)動，70年代的回到基礎(chǔ)，80年代的問題解決到90年代的大眾數(shù)學(xué)；從1989年的課程標(biāo)準(zhǔn)，2000年的課程標(biāo)準(zhǔn)，2006年K-8年級數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)到2010年的州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，這些都成為世界數(shù)學(xué)教育改革的“風(fēng)向標(biāo)”，引領(lǐng)了全球數(shù)學(xué)教育的發(fā)展．

20世紀(jì)80年代，美國數(shù)學(xué)教育界開始把問題解決引入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，并指出“數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問題解決來組織”以及“在問題解決方面的成績?nèi)绾?，將是衡量?shù)學(xué)教育成敗的有效標(biāo)準(zhǔn)”．從20世紀(jì)80年代開始，美國經(jīng)歷了多次課程標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動，問題解決標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)涵也在不斷地豐富和發(fā)展.時至今日，問題解決雖然不再是數(shù)學(xué)教育的唯一中心，但其在美國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中一直占據(jù)著重要地位．

2001年我國頒布《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》，拉開了新一輪數(shù)學(xué)課程改革的序幕.這是國內(nèi)首次研制課程標(biāo)準(zhǔn)，此版課程標(biāo)準(zhǔn)從名稱、體系、理念、核心概念等方面，很大程度上借鑒了美國等西方國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)．因此，考察美國數(shù)學(xué)教育“問題解決”標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)涵發(fā)展，可以了解美國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展動態(tài)，同時考察美國的目的也是為了更好地審視自己，對我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中“問題解決”的現(xiàn)狀進(jìn)行反思，明確我們的優(yōu)點(diǎn)，認(rèn)識我們的不足，以期對我國數(shù)學(xué)教育“問題解決”的發(fā)展及其實(shí)踐起到積極的借鑒作用，這正是促成本文寫作的重要原因．

1 美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“問題解決”內(nèi)涵的繼承與發(fā)展

全美數(shù)學(xué)教師理事會(National Council of Teachers of Mathematics，以下簡稱NCTM)早在1980年頒布的《關(guān)于行動的議程》中就明確指出“問題解決必須成為學(xué)校數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)”“學(xué)生必須成為數(shù)學(xué)問題的解決者”，在此基礎(chǔ)上NCTM于1989年頒布了《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》，并把問題解決標(biāo)準(zhǔn)作為各學(xué)段最重要的過程標(biāo)準(zhǔn).雖然標(biāo)準(zhǔn)對于K-4,5-8,9-12三個學(xué)段的學(xué)生提出了不同的問題解決的要求，但各學(xué)段都重點(diǎn)突出了“使學(xué)生能夠通過解決問題掌握新的數(shù)學(xué)知識；解決在數(shù)學(xué)及其他情境中出現(xiàn)的問題；采用各種恰當(dāng)?shù)牟呗越鉀Q問題；在有意義地運(yùn)用數(shù)學(xué)的過程中獲得自信，并帶著不斷增加的自信繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”等各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)．[1]

2010年NCTM頒布了《美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱PSSM標(biāo)準(zhǔn)).學(xué)生的“問題解決”能力仍然是最主要的數(shù)學(xué)能力，而標(biāo)準(zhǔn)中提到的其他能力，都只是問題解決能力的部分內(nèi)涵，而不是全部．[2]PSSM標(biāo)準(zhǔn)和1989年標(biāo)準(zhǔn)都強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生“通過解決問題掌握新的數(shù)學(xué)知識；解決在數(shù)學(xué)及其他情境中出現(xiàn)的問題；采用各種恰當(dāng)?shù)牟呗越鉀Q問題”，在堅(jiān)持上述基本觀點(diǎn)的同時，PSSM標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確“要通過解決問題幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”“問題解決不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個目標(biāo)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種主要方式”，增加了問題解決過程的調(diào)控內(nèi)容——檢驗(yàn)和反思數(shù)學(xué)問題解決的過程，因?yàn)椤坝行У膯栴}解決者經(jīng)常不斷地監(jiān)控和調(diào)整他們的解題思路，好的問題解決者遇到和解決問題時，知道他們在做什么并不斷地檢驗(yàn)、自我評估他們的進(jìn)展情況和調(diào)整他們的解題策略”[3]．

2010年6月，美國發(fā)布了《The Common Core State Standards for Mathematics》(美國州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，以下簡稱CCSSM)[4].由于美國教育行政是地方分權(quán)制，各州各自為政，此次CCSSM旨在統(tǒng)一美國K-12年級數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，而且是美國歷史上第一次近乎所有州都實(shí)施的標(biāo)準(zhǔn)[5]．需要說明的是，CCSSM體系主要包括兩大標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)(Standards for Mathematical Content)和數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)(Standards for Mathematical Practice)，其中數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)闡述K-12年級學(xué)生在不同數(shù)學(xué)主題上需要達(dá)到的基本標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)說明各年級學(xué)生都需要發(fā)展的各種數(shù)學(xué)專業(yè)知識與實(shí)踐能力．CCSSM的實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)來源于PSSM的過程標(biāo)準(zhǔn)，共有8條指標(biāo)，是K-12年級學(xué)生應(yīng)當(dāng)共同遵守并貫穿教學(xué)始終的實(shí)踐指標(biāo)，其中“理解問題，并堅(jiān)持不懈地解決問題(Make Sense of Problems and Persevere in Solving Them)”被列為8項(xiàng)指標(biāo)的第一項(xiàng)．指標(biāo)的內(nèi)容為：熟練掌握數(shù)學(xué)的學(xué)生，先從闡明問題的涵義入手，尋找解題的切入點(diǎn)；然后分析已知條件、限制條件、相互關(guān)系和問題目標(biāo)；猜想解的形式與意義，不盲目簡單嘗試而是擬定求解路徑；考慮類似問題，將問題特殊化、簡單化以尋求解題契機(jī)，對解題過程進(jìn)行必要的監(jiān)控和評估；高年級學(xué)生能根據(jù)問題情境，通過變換代數(shù)式或者借助于圖形計(jì)算器，改變對問題的觀察視角而獲取所需要的信息；精通數(shù)學(xué)的學(xué)生能夠解釋方程之間、言語描述之間、圖表之間的對應(yīng)關(guān)系，或根據(jù)一些重要特征、關(guān)系和圖形數(shù)據(jù)繪出圖表并尋找規(guī)律或趨勢；低年級學(xué)生能依賴于具體事物或圖片形成概念和解決問題；精通數(shù)學(xué)的學(xué)生能用不同方法檢查他們的解法，會堅(jiān)持不懈地自問：“這樣的解有意義嗎？”理解別人解決復(fù)雜問題的方法，鑒別各種不同方法的一致性．[6]

2 審視與反思：我國數(shù)學(xué)教育“問題解決”的思考

我國的課程標(biāo)準(zhǔn)也一直強(qiáng)調(diào)問題解決對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性．以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為例，考察我國課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于“問題解決”的內(nèi)涵界定，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的用詞為“解決問題”，其內(nèi)涵為：初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運(yùn)用所學(xué)的知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識；形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神；學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果；初步形成評價與反思的意識．[7]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將用詞調(diào)整為“問題解決”，其內(nèi)涵為：初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；學(xué)會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識．[8]由此可見，無論是用詞還是內(nèi)涵，2001年標(biāo)準(zhǔn)和2011年標(biāo)準(zhǔn)在問題解決上都有了實(shí)質(zhì)性的發(fā)展．

美國“問題解決”標(biāo)準(zhǔn)雖然經(jīng)歷了多次的變化與發(fā)展，但它仍然是最主要的實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)，其他的實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)都只是問題解決標(biāo)準(zhǔn)的部分內(nèi)涵，而不是全部．任何改革都是基于本國國情的改革，顯然中國與美國有不同的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀，因此審視美國標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)涵發(fā)展不是簡單地采取拿來主義，而應(yīng)立足本土，美國“問題解決”標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)涵的發(fā)展給了我們很多新的思考和方向．

2.1 拓寬問題解決的視角，加深對問題解決內(nèi)涵的認(rèn)識

但凡提及問題解決，總是會將問題解決與解決問題劃等號．實(shí)際上，解決問題只是問題解決的一部分．關(guān)于問題解決的內(nèi)涵，美國數(shù)學(xué)教育界在20世紀(jì)80年代已有不少論述，比較具有代表性的是Stanic和Kilpatrick的概括和討論．第一種是將問題解決視為實(shí)現(xiàn)其他目標(biāo)的手段，第二種是認(rèn)為問題解決本身是一種重要的值得教授的技能，第三種則是覺得問題解決帶有某種特殊技能的意味．[3]

哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟．”縱觀整個數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)的發(fā)展過程可以看成以下模式：問題的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決→……可見問題的提出與解決對于數(shù)學(xué)研究至關(guān)重要．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)是關(guān)于數(shù)學(xué)的教學(xué)，因此數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程也就是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程．由此看來，解決問題仍是問題解決的重要內(nèi)涵之一．在高中學(xué)段，許多課程內(nèi)容都能通過數(shù)學(xué)問題來引入．教師在選擇好的、有價值的數(shù)學(xué)問題上，起著至關(guān)重要的作用．好的問題能讓學(xué)生有機(jī)會鞏固和加深他們所學(xué)的知識，如果問題選擇得當(dāng)，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．與此同時，教師還應(yīng)拓寬問題解決的視角，加深對問題解決內(nèi)涵的認(rèn)識．問題解決還能夠而且應(yīng)該用來幫助學(xué)生掌握一些特殊的技能，在問題解決過程中，將問題解決的一般模式(如函數(shù)研究的一般方法)、常用數(shù)學(xué)思想方法(如歸納類比、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等)教授給學(xué)生；應(yīng)將問題解決當(dāng)作是學(xué)生學(xué)習(xí)的一種方式與手段，即通過問題解決來引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，獲得基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2.2 要將問題解決的方法上升到“課”的高度加以實(shí)施

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在課程實(shí)施建議中明確提出：“學(xué)校應(yīng)依據(jù)自身的情況，推動國家課程的全面落實(shí)，建設(shè)有特色的校本課程，適應(yīng)學(xué)生多樣化發(fā)展的需求，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展．”[9]為了更好地發(fā)揮問題解決的功能和在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式上的作用，使問題解決的價值得到最大程度的彰顯，還可考慮將問題解決的方法上升到課的高度加以實(shí)施．課程是一種有計(jì)劃的活動，因此需要對將要實(shí)施的課程進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，需要研究、分析課程教學(xué)中所涉及的各方面因素，如課程目標(biāo)、課程內(nèi)容(含課時安排)、課程實(shí)施方式、學(xué)生評價方式等情況．課程可從數(shù)學(xué)問題解決的本質(zhì)出發(fā)，論述數(shù)學(xué)問題解決的一般性規(guī)律、原理和方法．課程既要有理論原理，也要有大量典型的問題解決的案例，以“理論框架、案例研討”作為課程的重要實(shí)施方式，通過案例的分析，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題解決的一般方法，并能將一般方法遷移至其他問題情境之中，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的．課程在實(shí)施過程中，要不斷改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，要使問題解決成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式之一．

2.3 關(guān)注問題解決過程中學(xué)生意志品質(zhì)的發(fā)展

CCSSM的實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)指出，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生堅(jiān)持不懈地嘗試一些富有挑戰(zhàn)性的問題．在教師創(chuàng)造的課堂環(huán)境下，學(xué)生能夠發(fā)展自己對于探索問題能力的自信，樂意去探索、解決問題，他們更有可能提出問題，并堅(jiān)持不懈地去探索數(shù)學(xué)問題，教師應(yīng)能幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的情感．[3]CCSSM的實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注學(xué)生在問題解決過程中的情感意志品質(zhì)等非智力因素(從狹義上說，非智力因素由情感、意志、性格、動機(jī)、興趣等五種心理因素構(gòu)成[10])．學(xué)生問題解決時的失敗通常并不是因?yàn)槿鄙贁?shù)學(xué)知識，而是因?yàn)樗麄兾茨苄纬闪己玫膯栴}解決的意志品質(zhì)．一位好的問題解決者在遇到和解決問題時，除了擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識外，還應(yīng)具有良好的問題解決的意志品質(zhì)，即實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)中所說的“堅(jiān)持不懈地解決問題”．在問題解決的過程中，學(xué)生應(yīng)能知道自己在干什么，在遇到挫折和困難時，要善于反思問題解決過程中的各種要素，及時調(diào)整問題解決的方法和思維路徑，直至成功解決為止．教師在學(xué)生意志品質(zhì)發(fā)展過程中應(yīng)起到引導(dǎo)的作用，將自己的精力穩(wěn)穩(wěn)地放在鼓勵學(xué)生思考探索、合作交流上，要讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程并鼓勵學(xué)生及時反思、調(diào)整問題解決的方向和方法，有效地塑造學(xué)生的意志品質(zhì)，積極地發(fā)展學(xué)生的非智力因素，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)情感．

放眼世界的重要目的在于促進(jìn)本國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展，以問題解決的內(nèi)涵發(fā)展為例探討美國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展動向，對我國的課程改革具有重要的啟發(fā)意義．