解析幾何中的數(shù)學思想

甘肅 彭長軍

一、函數(shù)思想

解析幾何中有不少問題，其中的某些點、線處在運動變化之中，這就引出了一些相互制約的量，它們之間可能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，此時用函數(shù)的思想和方法去處理非常有效.

例1.已知拋物線y2=2x，設A(a，0)(a>0)，P是拋物線上的一點，且|PA|=d,試求d的最小值.

∴d=|PA|

二、方程思想

解決直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，最常用的方法是將直線方程與二次曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，變?yōu)殛P(guān)于x(或y)的一元二次方程，然后設直線與二次曲線的交點坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，再由韋達定理，得x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2).此法最大的特點就是利用韋達定理，避免了求交點坐標，它對解決與“距離”或“中點”有關(guān)的問題特別有效.

(1)求雙曲線C的方程；

將①②代入，得k2=4，k=±2,∴所求Q點的坐標為(±2，0).

三、分類討論思想

分類討論思想是中學數(shù)學解題的重要思想，圓錐曲線中的許多問題都涉及分類討論.分類問題的解題步驟一般為：①確定分類的對象和標準；②進行合理的分類;③逐類逐級討論；④歸納各類結(jié)果.

例3.已知x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈[0,2π),就θ的取值討論方程是何種曲線及曲線的位置特征.

解：(1)當θ=0時，方程變?yōu)閤2=1，即x=±1,此時方程的曲線是平行于y軸且距y軸為1的兩條平行直線；

(7)當θ=π時，方程變?yōu)閤2=-1，無實數(shù)解，此時方程的曲線不存在；

四、等價轉(zhuǎn)化思想

1.對于直線與二次曲線的位置關(guān)系問題，可轉(zhuǎn)化為直線方程與曲線方程的公共解的個數(shù)問題，于是可利用一元二次方程在給定區(qū)間上有無實數(shù)解的充要條件求解.

例4.已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4，在下列各種情況下求實數(shù)k的取值范圍.

(1)直線l與雙曲線C沒有公共點；

(2)直線l與雙曲線C有兩個公共點;

(3)直線l與雙曲線C只有一個公共點;

(4)直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點；

(5)直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點；

(6)直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點.

解：將y=kx-1代入雙曲線x2-y2=4，得(1-k2)x2+2kx-5=0,

(3)直線l與雙曲線C只有一個公共點?方程(1-k2)x2+2kx-5=0只有一個實數(shù)根,

2.對于與圓錐曲線的焦半徑有關(guān)的一類最值問題，可通過圓錐曲線的定義將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而利用平幾知識使問題得到快速解決.

( )

3.對于“圓錐曲線上的點到與其相離的直線的距離的最大值或最小值問題”，可通過將直線平移使其與圓錐曲線相切，從而將最大(小)值轉(zhuǎn)化為(切)點到已知直線的距離或平移前后兩直線間的距離.

解：設與直線x+2y+18=0平行的直線l的方程為x+2y+m=0,即x=-(2y+m)，將其代入橢圓方程，得25y2+16my+4m2-36=0.當直線l與橢圓相切時，有Δ=0，即m=±5.

4.對于“在直線上求一點使其到直線外兩定點距離之和最小(兩定點在直線同一側(cè))或距離之差最大(兩定點在直線兩側(cè))”的一類問題，可通過對稱性將其轉(zhuǎn)化為三點共線問題，從而快速求解.

例7.求滿足下列條件的點及最大值、最小值：

(1)已知點A(-3,5),B(2，15)，試在直線l:3x-4y+4=0上找一點P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值;

(2)已知點A(-3,5),B(0,4)，試在直線l:3x-y-1=0上找一點Q，使||QA|-|QB||最大，并求出最大值.

解：(1)由[3×(-3)-4×5+4]×(3×2-4×15+4)>0知A，B兩點在直線l的同側(cè).

(2)易知A,B兩點在直線l的兩側(cè)，點B(0,4)關(guān)于l的對稱點為B′(3，3)，∴直線AB′的方程為2x+y-9=0.

五、數(shù)形結(jié)合思想

例8.已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4，在下列各種情況下求實數(shù)k的取值范圍.

(1)直線l與雙曲線C沒有公共點；

(2)直線l與雙曲線C只有一個公共點;

(3)直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點；

(4)直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點；

(5)直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點;

(6)直線l與雙曲線C有兩個公共點.

圖1

圖2

圖3

圖4

(5)如圖4，當直線l從l1繞點P(0,-1)順時針旋轉(zhuǎn)到l2時，直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點，∴-1

以上就是解析幾何中的五種常見的數(shù)學思想，若能靈活運用，則會大大提高學習效率！

1.對于能建立函數(shù)關(guān)系的問題，首先考慮函數(shù)思想，若不能求解，則轉(zhuǎn)換思路，另辟蹊徑.

2.對于涉及直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的求中點弦所在直線的方程或弦的中點的軌跡方程的問題時，常常采用“點差法”求解，此時只需設出交點的坐標而無需求出，就可巧妙地表達出直線的斜率，通過將直線的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，這樣既減少了運算量又能快速解決問題.

3.對于某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標、用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點的同名坐標為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長度間的關(guān)系.后者往往計算量小，解題過程簡潔.

4.對于等價轉(zhuǎn)化，要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果.否則(非等價轉(zhuǎn)化)，就要對結(jié)論進行必要的修正.