核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維訓(xùn)練

北京 王志偉

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.課堂教學(xué)中要落實(shí)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，通過(guò)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程，形成理性思維和科學(xué)精神.

一、創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣，培養(yǎng)思維的積極性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在教學(xué)實(shí)施建議部分指出“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流”.可以說(shuō)興趣是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的非智力因素中的核心因素，因此在教學(xué)中要以學(xué)生為本，通過(guò)挖掘教材中的興趣因素，并在情境中提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

例如：在開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)列一章時(shí)，可以先向?qū)W生講述一個(gè)故事.古印度有一個(gè)國(guó)王酷愛(ài)象棋，一天他把象棋大師叫到跟前，贊揚(yáng)一番后要重賞他，“你想要什么，我就給你什么”.象棋大師說(shuō)：“金銀財(cái)寶我不要，只想要一些麥子回家充饑”.國(guó)王說(shuō)：“你要多少？”大師說(shuō)：“不多，在棋盤(pán)的第一個(gè)格里放1粒，第二個(gè)格里放2粒，第三個(gè)格里放4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，按規(guī)律把棋盤(pán)放滿(mǎn)就行啦.”國(guó)王一聽(tīng)這還不容易，招呼糧食大臣盡快給他麥子.大臣回去一算嚇了一跳，全國(guó)的糧食都給他，也不夠他要的.大臣報(bào)告國(guó)王，國(guó)王也大吃一驚.同學(xué)們，小小的棋盤(pán)為什么會(huì)裝下那么多麥子呢？要想知道原因請(qǐng)學(xué)好數(shù)列一章.

經(jīng)過(guò)這樣引導(dǎo)，同學(xué)們情緒高漲，課堂氣氛活躍.以學(xué)生感興趣，又有一定的趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題入手，可以迅速集中學(xué)生的注意力，并且顯得十分生動(dòng)、有魅力，學(xué)生的興趣異常濃厚，有利于啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們思維的積極性.

二、巧用解題后的反思，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.”課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一些具有針對(duì)性的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這就要求教師在教學(xué)中，要逐步培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中不斷對(duì)數(shù)學(xué)具體知識(shí)、內(nèi)容、包含的思想、觀念、解題思路、解題策略等進(jìn)行回顧、思考、總結(jié)評(píng)價(jià)和調(diào)節(jié)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考、做出判斷.

方法一：巧用錯(cuò)誤解法，請(qǐng)學(xué)生比較.對(duì)于作業(yè)、練習(xí)中存在的普遍問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行甄別，讓學(xué)生用自己的理解發(fā)現(xiàn)并反駁錯(cuò)誤，加深對(duì)問(wèn)題的理解，避免錯(cuò)誤再次發(fā)生.

例如：人教A版新教材必修2第73頁(yè)習(xí)題7.1中復(fù)習(xí)鞏固第2題：當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)(m2-5m+6)+(m2-3m)i是下列數(shù)？(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

這個(gè)題目很簡(jiǎn)單，但由于學(xué)生剛剛接觸復(fù)數(shù)的概念，有可能考慮的不周全，比如對(duì)于第(3)問(wèn)，有些同學(xué)就是直接令實(shí)部等于0然后求得m的值，結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的，這個(gè)題目就應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)行仔細(xì)甄別，加深理解，一開(kāi)始就留下深刻印象，純虛數(shù)不僅實(shí)部等于0，同時(shí)虛部不等于0，所以一定要去掉使虛部也為0的m的值，這是學(xué)生很容易犯的錯(cuò)誤.

方法二：列舉相似問(wèn)題進(jìn)行比較，舉一反三.在教學(xué)中，可以把相似類(lèi)型的題目編成一組，讓有過(guò)實(shí)踐的學(xué)生進(jìn)行積極思考，拓展性的思維也就從這里培養(yǎng)起來(lái)了.數(shù)學(xué)知識(shí)本身具有系統(tǒng)性和層次性.在單元復(fù)習(xí)課或總復(fù)習(xí)課中，精心設(shè)計(jì)一些習(xí)題題組，把相關(guān)的內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，保持知識(shí)的連貫性，并且使知識(shí)的應(yīng)用隨著題目的聯(lián)系而逐步展開(kāi).

例如：在復(fù)習(xí)圓錐曲線(xiàn)中橢圓這一部分內(nèi)容時(shí)，考試說(shuō)明要求為：掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，會(huì)根據(jù)所給條件畫(huà)橢圓，了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用.我們?cè)O(shè)計(jì)題組目標(biāo)為：熟練掌握橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，熟悉并會(huì)求幾何性質(zhì)中的有關(guān)量，能根據(jù)所給條件運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)應(yīng)用橢圓定義解決有關(guān)問(wèn)題.可設(shè)置如下題組：第一組復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.

③若△ABC兩頂點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為(-3,0),(3,0)，而周長(zhǎng)為20，則點(diǎn)C的軌跡是________；

讓學(xué)生獨(dú)立完成后，對(duì)其進(jìn)行重點(diǎn)評(píng)講，指出所應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)、基本方法和基本數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題進(jìn)行評(píng)析，最后與學(xué)生一起歸納總結(jié).然后再布置第二套題組，鞏固消化前面內(nèi)容同時(shí)加進(jìn)適當(dāng)?shù)木C合題，進(jìn)一步提高能力.如：

③P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩焦點(diǎn)，求|PF1|·|PF2|的最大值；

因此，利用題組把復(fù)習(xí)中講—練—講變?yōu)榫殹v—練，使學(xué)生在主動(dòng)探索中鞏固消化了所學(xué)知識(shí)，更進(jìn)一步達(dá)到了應(yīng)有的教學(xué)目標(biāo).

三、通過(guò)一題多解，訓(xùn)練思維的發(fā)散性

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是“增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神”，這要求大力發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有信息，從不同角度、不同方面思維，從多方面尋求多樣性答案.為了發(fā)展學(xué)生發(fā)散性思維，教師在教學(xué)中，可以有意的設(shè)計(jì)一些一題多解的教學(xué)環(huán)節(jié).通過(guò)對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，采用不同方法求解，拓寬學(xué)生思路，起到加大思維空間的效果，這是訓(xùn)練思維發(fā)散能力的常用手段.

例如：(2015·北京卷文·20)已知橢圓C:x2+3y2=3.過(guò)點(diǎn)D(1,0)且不過(guò)點(diǎn)E(2,1)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AE與直線(xiàn)x=3交于點(diǎn)M.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)若AB垂直于x軸，求直線(xiàn)BM的斜率；

(Ⅲ)試判斷直線(xiàn)BM與直線(xiàn)DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

此題前兩問(wèn)屬于中低檔題，第三問(wèn)屬于難題，對(duì)于第三問(wèn)有幾種不同解法.解法1：直接證明直線(xiàn)BM的斜率等于1，恒等變形技巧性極強(qiáng)，考生難以駕馭.解法2：轉(zhuǎn)化成kBM-1=0，則大大降低了計(jì)算難度，雖然只是一小步變化但思維的轉(zhuǎn)換并不容易.解法3：做一步圖形轉(zhuǎn)化，略解如下：

欲證BM∥DE,由平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例定理，只需證AD∶DB=AE∶EM

所以BM∥DM.

這樣，弄通、弄懂一道題，就會(huì)解出一類(lèi)題，避免了題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的過(guò)程中，享受數(shù)學(xué)的相似美，提高學(xué)生歸納、概括的能力.

四、注重概念教學(xué)，訓(xùn)練思維的深刻性

課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)教學(xué)就是要“引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”，這就要求學(xué)生數(shù)學(xué)思維的抽象程度、邏輯水平及思維活動(dòng)達(dá)到一定的深度，能夠?qū)κ挛镞M(jìn)行深刻理解并善于抓住事物的本質(zhì)規(guī)律，在思維活動(dòng)中，能深入細(xì)致地考慮問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的途徑.

例如：人教A版新教材必修1，2.2基本不等式的教學(xué)，就可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

此案例的問(wèn)題情境貼近生活，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)觀察、聯(lián)想、抽象、概括、數(shù)學(xué)化的過(guò)程，在這樣的實(shí)際問(wèn)題情境下，學(xué)生會(huì)想學(xué)、樂(lè)學(xué)、主動(dòng)學(xué).教學(xué)實(shí)踐證明，問(wèn)題情境教學(xué)是提高課堂質(zhì)量的有效途徑之一.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師靈活處理教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的各種問(wèn)題，精心創(chuàng)設(shè)各種教學(xué)問(wèn)題情境，能夠培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，促使學(xué)生以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)又使課堂教學(xué)豐富多彩，生動(dòng)活潑.這樣，對(duì)概念多提幾個(gè)問(wèn)題，不僅可以幫助學(xué)生全面而準(zhǔn)確地掌握概念，克服思維的表面化，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生善于觀察問(wèn)題，深刻地思考問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)思維的深化.

五、基于變式訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性

課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)教學(xué)就是要促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，創(chuàng)新性思維是指人在探尋事物變化規(guī)律過(guò)程中產(chǎn)生出的新的見(jiàn)解或方法等思維活動(dòng)，是建立在一般性思維的基礎(chǔ)之上的，是長(zhǎng)期開(kāi)放式培養(yǎng)與訓(xùn)練的結(jié)果.這就要求在教學(xué)活動(dòng)中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等多種形式的教學(xué)方式，不斷引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于探究，敢于大膽地發(fā)表新見(jiàn)解.在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)變式教學(xué)情境，靈活運(yùn)用變式教學(xué)是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的重要載體.在教學(xué)過(guò)程中，運(yùn)用變式教學(xué)，可以為學(xué)生提供自由、和諧、互相尊重的學(xué)習(xí)氛圍，有利于促進(jìn)學(xué)生萌發(fā)嘗試新事物的勇氣，并在輕松的心態(tài)下學(xué)會(huì)從失敗中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，為成功奠定良好的基礎(chǔ).

例如原題：求曲線(xiàn)y2=-4-2x上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo).

變式1：在曲線(xiàn)y2=-4-2x上求一點(diǎn)M(x，y)，使它到點(diǎn)A(a,0)的距離最短.

將原式的特殊點(diǎn)(原點(diǎn))改為一般的點(diǎn)A(a,0)，這符合由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生容易接受.

變式2：已知拋物線(xiàn)y2=-4-2x與直線(xiàn)y=kx+3沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

也可進(jìn)一步改為：

變式3：已知拋物線(xiàn)y2=-4-2x與動(dòng)圓(x-a)2+y2=2沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

這樣的變式練習(xí)，學(xué)生可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出，也可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法得出，通過(guò)這樣的練習(xí)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而達(dá)到教學(xué)目的.

將常規(guī)題變?yōu)樘剿黝}，是設(shè)計(jì)變式題的又一途徑.由常規(guī)題演變的探索題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更具創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性.總之，教師在習(xí)題的設(shè)計(jì)過(guò)程中要充分考慮題組的自身特點(diǎn)，從學(xué)生的角度去思考問(wèn)題，習(xí)題設(shè)計(jì)要由淺入深，由易到難，由具體到抽象，由特殊到一般，層層深入，步步啟發(fā)，既要注意題與題之間的連貫性，連接的趣味性，題目的針對(duì)性和開(kāi)放性，同時(shí)要保持知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)性和整體性.不同的題組，有著各自不同的功能，精心設(shè)計(jì)的題組在教學(xué)中發(fā)揮著不可替代的作用，對(duì)于提高教學(xué)效率、培養(yǎng)學(xué)生的能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起著重要作用，也是優(yōu)化課堂教學(xué)的一種途徑.