探究解析幾何求解離心率的問題
——以2020年全國卷Ⅰ理科第15題為例

廣東 古君文

2020年高考已落下帷幕,從對2020年高考解析幾何的考查內(nèi)容來看,此類題型相對穩(wěn)定,分布合理,其中有一道題要求較高、難度較大、綜合性強(qiáng),考查考生的綜合能力.縱觀歷年高考,求解離心率的題目出現(xiàn)頻率較高,是考查熱點(diǎn)和難點(diǎn);如2019年全國卷Ⅰ理科第16題,作為壓軸題進(jìn)行考查;2020年全國卷Ⅰ理科第15題,作為中高檔題進(jìn)行考查.因此,求解離心率的問題值得深入探討和思考.

離心率是平面解析幾何的一個(gè)重要性質(zhì),它刻畫幾何圖形的形狀規(guī)律,針對求離心率的題型,通常采用代數(shù)法或幾何法.根據(jù)離心率的定義,需借助圖形利用數(shù)形結(jié)合,挖掘已知條件,先求出a,c,再代入公式求出e,此類題屬較簡單的題型;但大部分題目因所給的條件限制,a,b,c是未知的,或不易求出a,c的值.因此,需把條件轉(zhuǎn)換成相應(yīng)數(shù)學(xué)關(guān)系,巧妙地利用平面幾何內(nèi)容、向量內(nèi)容、三角形的邊角關(guān)系等,列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解,這就是解題的突破口.

這類題型是經(jīng)?？嫉?解題要遵循三個(gè)規(guī)律.一個(gè)關(guān)系:找尋a,b,c的關(guān)系;兩手抓:“數(shù)”與“形”都得抓;三個(gè)素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)字抽象、數(shù)學(xué)建模.下面通過對2020年全國卷Ⅰ理科第15題進(jìn)行分析、探討、變式、方法總結(jié)，獲得教學(xué)思考,并延展解決近幾年此類高考題.

1.試題呈現(xiàn)

本題是求雙曲線的離心率,且不能直接求出a,c,因此挖掘題目條件,通過數(shù)形結(jié)合,我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)題目條件“AB的斜率為3”是解題的關(guān)鍵,也是找尋等量關(guān)系的突破口.結(jié)合相關(guān)知識,完善所需條件,從而列出等量關(guān)系,剩下的就是運(yùn)算問題了.因此,找到解題突破口后,就可以大展拳腳.

2.解法探究

3.探究變式

3.1利用已知條件,構(gòu)建a,b,c的關(guān)系式

3.2利用數(shù)列性質(zhì),構(gòu)建a,b,c的關(guān)系式

分析:本變式題刪去斜率的條件,改為與數(shù)列結(jié)合,題型較綜合,根據(jù)上述高考題的方法探究,只要找出a,b,c的關(guān)系,就可以解答此題.本題可以通過數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)列出a,b,c的關(guān)系式,由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)可列出2a+2c=4b,消去b易得雙曲線C的離心率.

3.3利用平面解析幾何性質(zhì),構(gòu)建a,b,c的關(guān)系式

3.4通過三角形性質(zhì)結(jié)論找尋三角關(guān)系,構(gòu)建a,b,c的關(guān)系式

分析：本變式通過適當(dāng)改變條件,考查更深入、更綜合,但萬變不離其宗,本題中點(diǎn)B位置發(fā)生變化,BF2不垂直于x軸,點(diǎn)B滿足OB=OF2,可知△BF1F2為直角三角形,因此只是把點(diǎn)A位置變?yōu)锽F1與雙曲線C的交點(diǎn),且∠F1AF2=150°,根據(jù)所給已知條件,由雙曲線定義把BF1,BF2,AF1,AF2,AB各邊用a,b,c表示,利用Rt△BF1F2三角形的邊角關(guān)系,通過解三角形,列出方程求出離心率.因此,對此類題型只要找尋a,b,c的等量關(guān)系,列出方程,問題就迎刃而解了.

4.考題重現(xiàn)

有關(guān)離心率問題一直以來都是高考的熱點(diǎn),如何熟練掌握求離心率問題的解題思路和方法是至關(guān)重要的.解析幾何重點(diǎn)考查邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算求解等綜合能力.部分考生對此類問題有一種懼怕感,無從下手.求解此類題型只要掌握分析方法、運(yùn)算技能和解題技巧,求解就有法可循,就能做到得心應(yīng)手.下面再通過近幾年的高考題進(jìn)一步對求此類問題的解法進(jìn)行探究.

( )