直觀視角下“三角函數(shù)”專(zhuān)題的二輪復(fù)習(xí)

安徽 鄭福梅 祝 峰

高考中三角函數(shù)試題，多為基礎(chǔ)題和中檔題，是學(xué)生得分的重要知識(shí)版塊.主要知識(shí)點(diǎn)包括三角函數(shù)圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理、解三角形和三角函數(shù)的應(yīng)用.在扎實(shí)基礎(chǔ)、注重技能的一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上，二輪復(fù)習(xí)應(yīng)在學(xué)科素養(yǎng)要求下，系統(tǒng)知識(shí)、凝練思想、發(fā)展素養(yǎng)，才能與“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的高考命題理念高度契合.選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科素養(yǎng)視角，科學(xué)地分析、梳理和總結(jié)典型高考試題，從中獲取有用信息，將其整合應(yīng)用于二輪高考復(fù)習(xí)，使二輪復(fù)習(xí)與“試”俱進(jìn)，是二輪突破的有效之舉.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形分析、描述數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.本文擬在直觀視角下，分析“直角三角形中的勾股數(shù)”“知圖求式”“知式探圖”“圖象變換”“知式尋圖”“用圖探路”六類(lèi)三角函數(shù)試題對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力、思想方法，特別是直觀想象素養(yǎng)的考查要求，旨在為“三角函數(shù)”二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)提供鮮活的教學(xué)素材.

1.直角三角形中的勾股數(shù)

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式源于三角函數(shù)的概念，為解決“已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值”問(wèn)題而產(chǎn)生.高考中以化簡(jiǎn)、求值的形式考查，但這類(lèi)問(wèn)題不一定要全部利用關(guān)系式求解.借助直角三角形中的勾股數(shù)結(jié)合三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)，能夠直觀、準(zhǔn)確、快速解答這類(lèi)問(wèn)題.

【例1】(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·9)已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，則sinα=

( )

( )

評(píng)析：已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，在直角三角形中構(gòu)建恰當(dāng)?shù)墓垂蓴?shù)，結(jié)合角所在象限，能夠從圖形中直觀地看出該角的其他三角函數(shù)值.值得說(shuō)明的是，數(shù)學(xué)思維不是僅僅在抽象層面展開(kāi)，很多場(chǎng)合中是借助直觀手段展開(kāi)的.

2.知圖求式

識(shí)圖能力是直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成要件，是考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平的一項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo).表現(xiàn)為能夠讀懂圖形所表述的問(wèn)題內(nèi)涵，敏銳地捕捉并正確提取出問(wèn)題解決的必要信息，建立圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，探索解決問(wèn)題的途徑.

由三角函數(shù)圖象求其解析式，是高考中三角函數(shù)內(nèi)容的常見(jiàn)題型.試題一般設(shè)置成給出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分圖象，由圖象所提供的諸如對(duì)稱性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)等信息，確定函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù).求解過(guò)程中，學(xué)生需具備較強(qiáng)的讀圖、識(shí)圖、用圖能力.

( )

評(píng)析：構(gòu)建幾何直觀、利用幾何直觀，是學(xué)生具備直觀想象素養(yǎng)順次遞進(jìn)的兩個(gè)環(huán)節(jié)，這類(lèi)問(wèn)題不需要學(xué)生由抽象問(wèn)題構(gòu)建幾何直觀，而是直接給出直觀，要求學(xué)生能夠利用圖象直接求解數(shù)學(xué)問(wèn)題.由圖象讀得零點(diǎn)，求出ω，進(jìn)而由ω求出周期.

【例4】(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷(供山東省使用)·10)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=

( )

綜上選擇B，C.

3.知式探圖

“以數(shù)思形”是這類(lèi)問(wèn)題對(duì)直觀想象素養(yǎng)考查的核心，要求學(xué)生能夠通過(guò)“數(shù)”的運(yùn)算和推理，通過(guò)想象嚴(yán)密的邏輯推理與幾何直觀之間的關(guān)聯(lián)，對(duì)已知函數(shù)圖象的特征予以判斷.

其中所有真命題的序號(hào)是________.

4.圖象變換

高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生對(duì)圖象變換理論的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)是借助三角函數(shù)完成的.包括平移、伸縮、對(duì)稱三類(lèi)基本變換，三角函數(shù)圖象變換問(wèn)題能夠準(zhǔn)確考查學(xué)生數(shù)與形結(jié)合的能力，要求學(xué)生能夠結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的實(shí)際意義；借助圖象理解參數(shù)A，ω，φ，B的意義，理解參數(shù)變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

( )

A.① B.①③

C.②③ D.①②③

評(píng)析：考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯分析能力.

評(píng)析：要求學(xué)生能夠由圖象的變換推理出函數(shù)解析式，并研究所獲得新函數(shù)圖象的特征，即求其一條特殊的對(duì)稱軸.

5.知式尋圖

在四個(gè)選項(xiàng)中遴選出已知函數(shù)圖象的問(wèn)題，也是高考試題中考查三角函數(shù)圖象特點(diǎn)的一類(lèi)常見(jiàn)題型.此類(lèi)問(wèn)題以直觀想象素養(yǎng)立意，涉及正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力.

【例8】(2020·浙江卷·4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖象可能是

( )

( )

A

B

C

D

評(píng)析：兩道試題均考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.“知式尋圖”與“知圖求式”是一對(duì)相逆問(wèn)題，形象的體現(xiàn)了幾何直觀與數(shù)量運(yùn)算和邏輯推理相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維方式.

6.用圖探路

函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、零點(diǎn)等性質(zhì)在其圖象上均有直觀體現(xiàn).三角函數(shù)問(wèn)題的求解過(guò)程中，在正余弦曲線、正切曲線的基礎(chǔ)上，如果能夠借助圖象變換知識(shí)，作出所研究函數(shù)的圖象，則可以利用圖象探尋問(wèn)題的求解思路，或者直接得到問(wèn)題的結(jié)論.

【例10】(2019·全國(guó)卷Ⅰ理·11)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

( )

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

解析：因?yàn)閒(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確.

評(píng)析：函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|的相關(guān)性質(zhì)，可以通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理獲得，比如命題①函數(shù)的奇偶性性質(zhì)；也可正確作出函數(shù)圖象，借助圖象直觀地發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

( )

A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|

解析：圖1，2，3，4分別是A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，可直觀地看到，符合條件的函數(shù)為f(x)=|cos2x|.

圖1

評(píng)析：在函數(shù)cos2x，sin2x，cosx，sinx圖象的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)稱變換，分別作出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象，借助圖象即可對(duì)所述問(wèn)題直觀判斷.