小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理能力培養(yǎng)的實(shí)踐與思考

趙小進(jìn) 蔡霞

【摘要】小學(xué)生的思維發(fā)展實(shí)際與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力水平?jīng)Q定了知識(shí)的習(xí)得應(yīng)以合情推理為主。培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，必須從合情推理本身的演進(jìn)過程出發(fā)。即要求在教學(xué)中積極創(chuàng)設(shè)情境，給予學(xué)生思考交流時(shí)空，親歷歸納、類比，進(jìn)行大膽猜想，經(jīng)歷歸納、驗(yàn)證的過程。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，要將合情推理的思想方法有意識(shí)地滲透在每一個(gè)細(xì)小的教學(xué)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)整個(gè)合情推理的過程，提升合情推理的能力。

【關(guān)鍵詞】猜想? 類比? 歸納? 合情推理

【中圖分類號(hào)】G623.5 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）24-0132-03

合情推理能力不是與生俱來的，更多地依靠直觀形象與感性經(jīng)驗(yàn)。所以，合情推理必須從小開始培養(yǎng)。在實(shí)踐性的課堂教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，必須從合情推理本身的演進(jìn)過程出發(fā)。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要能夠挖掘整合教材中合適的素材，以知識(shí)的習(xí)得為明線，將合情推理的過程作為一條暗線，雙線并進(jìn)，串聯(lián)起整個(gè)課堂。

下面就以《3的倍數(shù)的特征》為例，談?wù)劷虒W(xué)中如何雙線并舉，培養(yǎng)孩子的合情推理能力。

一、制造沖突，營造合情推理的情境

波利亞指出，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明;但是這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。在教學(xué)中，我們要能巧妙地利用、整合教材所提供的認(rèn)知素材，沿著學(xué)生的認(rèn)知邏輯，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽的猜想。

教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，先復(fù)習(xí)2、5的倍數(shù)特征，并引領(lǐng)學(xué)生小結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否是2、5的倍數(shù)，只要看個(gè)位。而這一特征顯然是不符合2、5的倍數(shù)的特征的，但慣性思維會(huì)引領(lǐng)學(xué)生不自覺地進(jìn)入“陷阱”，老師在此節(jié)點(diǎn)處，設(shè)計(jì)了順勢讓學(xué)生猜想3的倍數(shù)的特征的過程。

教學(xué)片段（一）：

師：猜想一下3的倍數(shù)可能有什么特征呢？

生：3的倍數(shù)的個(gè)位為3、6、9。

師：老師把你的猜想先記錄下來。你覺得呢？

生：3的倍數(shù)的個(gè)位還有可能是2、5、8;比如12、15、18

生：不對(duì)，21是3的倍數(shù)，2它的個(gè)位是1。

生：13的個(gè)位是3，但它不是3的倍數(shù)。

生：3的倍數(shù)的個(gè)位從0～9都有，但是這樣看的話，看不出一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)的。

[設(shè)計(jì)意圖]

目前，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一部分合情推理水平是不高的，在較多的課堂中，表現(xiàn)出非邏輯的思維特點(diǎn)，表現(xiàn)出“想當(dāng)然”。此時(shí)，老師的評(píng)價(jià)引領(lǐng)將顯得特別重要。我們同時(shí)應(yīng)認(rèn)識(shí)到“負(fù)遷移”會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生自然障礙，而障礙的產(chǎn)生往往是新學(xué)習(xí)的開始。2、5的倍數(shù)的特征的復(fù)習(xí)是“挖了一個(gè)坑”，使學(xué)生的猜想“掉進(jìn)了坑”“碰了壁”。

二、扶放有度，激發(fā)合情推理的生長

如何處理教與學(xué)的關(guān)系，一直是課堂教學(xué)活動(dòng)中討論的熱點(diǎn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于小學(xué)生年齡特征和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的限制，學(xué)生獨(dú)立展開合情推理的能力是有限的，簡單的放手是不會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來更加科學(xué)的幫助，不能有效地促進(jìn)“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)、用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根。教師應(yīng)遵循教學(xué)規(guī)律，由“扶”到“放”、“扶放有度”地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理活動(dòng)。

所以，筆者在“微專題研究”的實(shí)踐中進(jìn)行一兩個(gè)層次的設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)研究專題：為什么聽到珠子個(gè)數(shù)就能知道是不是3的倍數(shù)？第一層次：學(xué)生撥出任意個(gè)數(shù)的珠子老師聽;老師猜結(jié)果;學(xué)生驗(yàn)證是不是3的倍數(shù);學(xué)生猜想老師猜對(duì)的原因是什么？第二層次：老師撥珠學(xué)生聽;猜想可能撥出什么數(shù)？

教學(xué)片段（二）：

撥珠聽數(shù)。

（1）（在計(jì)數(shù)器上撥一個(gè)數(shù)，撥珠的時(shí)候要一個(gè)一個(gè)地?fù)埽?/p>

師：你得讓其他同學(xué)看清楚，我不看，只聽。

（學(xué)生撥珠）

師：我猜這個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)。對(duì)嗎？

（學(xué)生表示驚訝）

師：要不要再來一次。

（結(jié)果讓學(xué)生驚訝之余產(chǎn)生探求原因的欲望）

師：老師能聽出什么呢？

生：撥出珠子個(gè)數(shù)的和。

師：老師根據(jù)珠子個(gè)數(shù)的和，能判斷出這個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，說明什么？

（2）師撥珠，生聽數(shù)

師：大家想不想先試試聽數(shù)的感覺？

師：（師用3個(gè)珠子撥出1101）猜猜看老師撥的哪個(gè)數(shù)？

生1：3

師：有可能嗎？

生2：30，12，12……

師：仔細(xì)看看這些數(shù)（指著3，30，12，21），有3的倍數(shù)嗎？

師：看看老師撥的哪個(gè)數(shù)（出示計(jì)數(shù)器）

1101是不是3的倍數(shù)呢？（用計(jì)算器算一算，作出判斷。）

用3個(gè)珠子還能撥出其它數(shù)嗎？

它們是不是3的倍數(shù)呢？拿出計(jì)算器算算看。

師：是??！用3個(gè)珠子撥出的數(shù)都是3的倍數(shù)。

（3）分組探究

師：你想讓老師用幾個(gè)珠子來撥數(shù)？你呢？（學(xué)生列舉，教師記錄）

師：那這樣吧，咱們?nèi)鄟矸纸M研究。

每個(gè)小組由組長確定一下你們小組用幾個(gè)珠子去撥數(shù)。

（如果出現(xiàn)大數(shù)據(jù)，不合理的數(shù)據(jù)，教師引導(dǎo)：知道選擇較小的數(shù)去研究會(huì)更方便，是否考慮調(diào)整一下。）

（課件出示活動(dòng)要求）

活動(dòng)要求：

（1）各小組成員根據(jù)珠子的個(gè)數(shù)輪流撥數(shù)，其他成員確認(rèn)他所用珠子的個(gè)數(shù)和，組長負(fù)責(zé)記錄。

（2）組內(nèi)成員共同判斷各數(shù)是否是3的倍數(shù)。（可以用計(jì)算器驗(yàn)算）

（3）最后，組長將你們研究的數(shù)像老師這樣整理在黑板貼上。

師：咱們要比比哪一小組能又好又快地完成。

匯報(bào)交流：各小組依次呈現(xiàn)。

師：為了保證我們研究的準(zhǔn)確性，先來檢查一下各小組撥出的數(shù)是否符合條件。

領(lǐng)著孩子看一組（如9個(gè)珠子的一行）。

提問：（指其中的一個(gè)數(shù)）它需要用幾個(gè)珠子？你是怎樣判斷的？

生：1+2+6=9，（師：你可以舉例說說）

師：你用算的方法來檢查的，這個(gè)算式什么意思？

揭示：珠子的個(gè)數(shù)和就是各位上數(shù)的和。（板書）

（分配任務(wù)：每一列的同學(xué)檢查一行。）

師：檢查好了嗎？那我們繼續(xù)。

師：為了方便觀察，老師想將它們的位置作個(gè)調(diào)整。

你覺得可以怎樣調(diào)整？

師：這里都是3的倍數(shù)，這里都不是3的倍數(shù)。

仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)，把你的發(fā)現(xiàn)先在小組里互相說一說。

[設(shè)計(jì)意圖]

學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生“碰了壁”中常見的，正如一位教學(xué)名家所說，孩子的學(xué)習(xí)就是“錯(cuò)著錯(cuò)著就對(duì)了，說著說著就會(huì)了”。學(xué)生在“壁”面前，會(huì)覺得有時(shí)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可能是不可靠的，一下子迷失了方向，這也思維將會(huì)產(chǎn)生跳躍的前期征兆。此時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究方法進(jìn)行冷靜的回顧，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試換個(gè)角度研究問題。

在之后的學(xué)習(xí)時(shí)間里，老師提供了“百數(shù)表”。學(xué)生借助“百數(shù)表”，圈出3的倍數(shù)，觀察表中數(shù)據(jù)的特征，從直觀上會(huì)發(fā)現(xiàn)，之前2、5的倍數(shù)在百數(shù)表里是“一列一列”呈現(xiàn)出來的，而3的倍數(shù)在百數(shù)表里都在“斜行”里。

三、啟發(fā)質(zhì)疑，驗(yàn)證合情推理的結(jié)論

教師的追問是要讓學(xué)生明確僅僅憑著百數(shù)表里的3的倍數(shù)的特征就對(duì)所有的3的倍數(shù)的特征下結(jié)論是不科學(xué)，不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。我們還需要進(jìn)行舉例驗(yàn)證?！澳氵€想舉什么樣的例子呢？”教師以問題引領(lǐng)的方式，使孩子對(duì)方法進(jìn)行探討交流并理解反復(fù)考察不同情況和特殊情況的必要性。

教學(xué)片段（三）

師：同學(xué)們通過觀察百數(shù)表里的3的倍數(shù)，歸納出3的倍數(shù)各數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)。是不是就可以給3的倍數(shù)的特征下結(jié)論了呢？

生：不可以。

生：我們要再舉一些例子驗(yàn)證看看。

師：了不起，你有科學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。

師：你想舉什么樣的例子呢？

生：找一些更大的3的倍數(shù)，看看它各數(shù)位上數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。

生：找一些不是3的倍數(shù)的數(shù)，看看它各數(shù)位上數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖]

通過合情推理探索的數(shù)學(xué)結(jié)論具有或然性，小學(xué)階段一般不用演繹推理加以證實(shí)，但是可以借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，利用幾何直觀幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解。使學(xué)生知其然，更知其所以然。

四、引導(dǎo)反思，內(nèi)化合情推理的方法

掌握3的倍數(shù)的特征是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，而經(jīng)歷和體驗(yàn)合情推理的完整過程（提出猜想—推翻猜想—再次猜想—舉例驗(yàn)證—獲得結(jié)論），學(xué)會(huì)合情推理的方法，感悟內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想更為重要。最后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧和反思學(xué)習(xí)過程，梳理推理步驟，將其內(nèi)化為能力，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們研究了3的倍數(shù)的特征。3的倍數(shù)有什么特征？

回顧一下我們的研究過程，咱們先是作了猜想，有的猜想不正確，這時(shí)我們就換了思考角度，從聽數(shù)中找到了思路，順著這個(gè)思路我們進(jìn)行深入研究，通過舉例，觀察，我們發(fā)現(xiàn)并歸納出了3的倍數(shù)的特征，后來我們對(duì)這一特征還進(jìn)行了驗(yàn)證。

師：你知道嗎？

我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)神奇的規(guī)律現(xiàn)象背后是有道理的，想不想知道？

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師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

師：大家的收獲真不少呢！

數(shù)學(xué)上充滿了神奇的規(guī)律，更蘊(yùn)含了豐富的道理！希望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中也能用這樣的研究方法，研究態(tài)度，勤思多問，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)世界中更多的奧秘！

[設(shè)計(jì)意圖]

反思是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)思維能力的重要途徑。在以知識(shí)為載體的課堂學(xué)習(xí)過程中，知識(shí)作為落腳點(diǎn)是顯性的，但學(xué)習(xí)過程形成的情感、態(tài)度、價(jià)值觀是隱性的，數(shù)學(xué)學(xué)科的育人應(yīng)更多地指向于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是獲得數(shù)學(xué)方法與感受數(shù)學(xué)文化。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，從來就不缺少合情推理。教師應(yīng)將合情推理的思想方法滲透在每一個(gè)細(xì)小的教學(xué)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)整個(gè)合情推理的過程，提升合情推理的能力。學(xué)生在親歷合情推理過程的同時(shí)，通過不斷的反思，產(chǎn)生了學(xué)習(xí)需求的自覺意識(shí)。正是這一反思與思辯的過程，為培養(yǎng)合情推理能力提供了可能。

參考文獻(xiàn)：

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[2]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想——數(shù)學(xué)中的歸納和類比[M].北京：科學(xué)出版社，2001.