抓住三角函數(shù)的“五性”速解題

江蘇省金湖中學(xué) (211600) 張?zhí)?/p>

在許多與三角函數(shù)相關(guān)的問題中，如果我們能夠挖掘三角函數(shù)中蘊藏的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性和有界性并有效使用，從而就抓住問題實質(zhì)、使問題的快速解決，起到事半功倍的作用.下面通過幾個典型題例，展示這些性質(zhì)的精妙運用給解題帶來的效果，供讀者朋友參考.

一、周期性

若對函數(shù)y=f(x)，存在實數(shù)T≠0，使等式f(x)=f(x+T)對任意x都成立，則稱此函數(shù)為周期函數(shù)，T為一個周期.

例1 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一個周期內(nèi)圖像的最高點是(2,2)，與它相鄰的最低點的橫坐標是6，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=.

評注：求一些函數(shù)式若干項的和的問題，找出其式子規(guī)律性(如周期性)是非常重要的思維趨向.

評注：抓住所給周期的范圍就是抓住了問題的關(guān)鍵點，為后面快速解題鋪平了道路.

二、奇偶性

若函數(shù)y=f(x)，若對定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若對定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

評注：對于一般的三角函數(shù)式，若需判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性或求函數(shù)的最大值和最小值等問題時，首要任務(wù)是將其轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，然后再根據(jù)條件求解.

評注：此題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，體現(xiàn)了高考題的考查目標與方向，抓住三角函數(shù)為奇函數(shù)的特點解決參數(shù)求值問題是破題的關(guān)鍵.

三、對稱性

對于函數(shù)y=f(x)，若在定義域內(nèi)任意x，都有f(a-x)=f(a+x)成立，則稱此函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱；若都有f(a-x)=-f(a+x)成立，則稱此函數(shù)關(guān)于點(a,0)對稱，其中偶函數(shù)與奇函數(shù)是這兩種情況下在a=0時的特例.

評注：由于三角函數(shù)y=sinx的對稱軸是比較熟悉的，所以這里判斷出所給函數(shù)是軸對稱問題就是解題的重要環(huán)節(jié).

評注：將中心對稱的條件轉(zhuǎn)化為一個等式，再分析化簡這個等式，求出待求參數(shù)的值是解決此類題最基本的思路.

四、單調(diào)性

評注：已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求其它問題，就是將已給的區(qū)間看成是整個函數(shù)區(qū)間的子集，然后建立等式或不等式解決問題.

五、有界性

如果函數(shù)y=f(x)對給出的區(qū)間上任意x都滿足f(x)≤M，則稱M是此函數(shù)的上確界，滿足f(x)≥N，則稱N是此函數(shù)的下確界.