處理三角函數(shù)中參數(shù)ω范圍問題的基本意識*

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校 (516600) 劉光明

近年高考題中常出現(xiàn)根據(jù)三角函數(shù)圖象判斷周期范圍或通過周期確定參數(shù)ω的范圍及巧用零點確定ω的取值等問題.本文基于參數(shù)ω的取值范圍試題，從三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、最值、零點、不等式等知識融合角度剖析解決參數(shù)ω取值范圍問題的基本解答思路.通過例題的闡述，反思和提煉出子集意識、數(shù)形結(jié)合意識和整體意識等三種處理此類問題的基本意識.

1 子集意識

三角函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)ω的取值范圍相結(jié)合是一種比較常見的命題方式，在2012年、2016年、2018年和2019年全國卷中都出現(xiàn)過.處理此類問題的一般想法是先根據(jù)題意所已知的函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間A，求出原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間D，根據(jù)A?D得到一個不等式組，通過解不等式組自然得到相應(yīng)的取值范圍，如此處理問題的思維就是子集意識.

例1 (2018年全國卷Ⅱ文10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù)，則a的最大值是( ).

評注：例1也可以充分借用選項中的一些特殊數(shù)值進(jìn)行試探，代值檢驗，僅僅限于選擇題，不是一般做法.根據(jù)所已知的函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間[-a,a]求出原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)減區(qū)間D，根據(jù)[-a,a]?D這個子集關(guān)系得到不等式組，通過解不等式組自然得到相應(yīng)的取值范圍，此法才是處理三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題與參數(shù)范圍的一般方法.

例2 (2015年天津文14)已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=ω對稱，則ω的值為.

評注：例2依然是區(qū)間上的單調(diào)性問題求參數(shù)ω范圍，故應(yīng)用子集意識求解.但也可以根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=ω對稱得到函數(shù)在x=ω處取得最大值進(jìn)行解答.

2 數(shù)形結(jié)合意識

所謂數(shù)形結(jié)合意識，就是根據(jù)所已知的函數(shù)性質(zhì)，大致描繪出函數(shù)圖象，然后從圖象中分析出相關(guān)函數(shù)性質(zhì)，從而得到參數(shù)ω的不等關(guān)系.三角函數(shù)具有無數(shù)條對稱軸和無數(shù)個對稱中心，是一個特殊的周期函數(shù)，因此三角函數(shù)性質(zhì)之間具有一種深藏不露的奇妙關(guān)系，值得挖掘和應(yīng)用.

圖1

評注：此題不避諱常考知識點，稍有創(chuàng)新，巧用圖象呈現(xiàn)出函數(shù)的性質(zhì)，考查讀圖能力，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

圖2

圖3

3 整體意識

整體意識就是將函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看作一個整體，從而將f(x)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)y=Asint，根據(jù)y=Asint的圖象和已知的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析，遵循先定后動原則，借助數(shù)形結(jié)合意識進(jìn)行求解.

圖4

變式1 已知函數(shù)f(x)=2sinωx(cosωx+sinωx)(ω>0)的圖象在區(qū)間[0,1]上恰好有一條對稱軸和一個對稱中心，則參數(shù)ω的取值范圍是.

圖5

A.4 B.5 C.6 D.7

圖6

綜上所述，正整數(shù)ω的最小值為4.

圖7