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      一道數(shù)學競賽試題的解法探究與背景溯源

      2021-04-13 09:09:32甘肅省蘭州市第七十一中學730000尚世亮龐耀輝
      中學數(shù)學研究(江西) 2021年4期
      關鍵詞:競賽題真題雙曲線

      甘肅省蘭州市第七十一中學 (730000) 尚世亮 龐耀輝

      一、真題再現(xiàn)

      本題考查了雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關系以及定點、定直線問題,意在考查學生的數(shù)學運算能力與轉化、化歸問題的能力.考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算.試題解法多樣,內(nèi)涵豐富,精彩紛呈,是一道具有研究性學習價值的好題.

      二、解法探究

      圖1

      下面的解法同解法1.

      點評:方法1和方法2雖然在運算上有些繁,但在思維與化簡能力上的要求并不高.究其原因,是因為直線AD(或直線BE)與雙曲線的兩個交點,都有一個點A(或B)的坐標是已知的,如果需要求另一個交點D(或E)的坐標,即轉化為解方程問題.接下來,解題線索會很快理清,只需尋找k1和k2的關系(C、D、E三點共線),然后將其代入點P的坐標,問題迎刃而解.

      當直線DE的斜率為0時,不合題意.

      點評:方法3是將直線DE的位置特殊化(比如垂直于x軸),猜出結論,再進行證明.

      三、試題推廣

      通過不同角度、不同層次的探索、聯(lián)想、類比發(fā)現(xiàn)新問題,充分挖掘解析幾何試題,才能揭示數(shù)學本質(zhì),進一步培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng),提升解析幾何的魅力.

      結論1,2證明可仿照該題的證法證明,結論4的證明可仿照結論3的證法證明,此處不贅述.

      四、背景溯源

      1.鏈接高考

      (Ⅰ)求E的方程;

      (Ⅱ)證明:直線CD過定點.

      圖2

      (Ⅰ)求橢圓C的方程;

      (Ⅱ)設橢圓C的左右頂點分別為A、B,點M是橢圓C上異于點A、B的任意點,直線MF交橢圓C于另一點N,直線MB交直線x=4于點Q,求證:A,N,Q三點共線.

      數(shù)學競賽題、高考真題、高考模擬題是復習備考的重要素材,每年的高考試題都能看到以往高考題、競賽題的背影.因此,在高三的復習教學中,要充分挖掘真題的價值.

      2.背景鏈接

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