兩有趣數(shù)學(xué)問題的優(yōu)解探析

江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) (337000) 賀 江

有這樣兩個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：

問題1一個(gè)合唱團(tuán)共有15人，暑假期間有一個(gè)緊急演出，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員.如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案.

方案一：逐一通知，需要15分鐘才能通知到每一個(gè)隊(duì)員.

方案二：把學(xué)生分成兩組，一組8人，一組7人，兩分鐘后組長通知組員，最快8分鐘才能通知到每一名隊(duì)員.

方案三：把學(xué)生分成三組，一組6人，二組5人，三組4人，最快7分鐘才能通知到每一名隊(duì)員.

方案四：把學(xué)生分成四組，一組4人，二組4人，三組4人，四組3人，最快5分鐘才能通知到每一名隊(duì)員.

思考：是不是組分得越多，用的時(shí)間越少？(因?yàn)槊拷M的組長也需要通知)怎么分組才能使得所需時(shí)間最少呢？

分析:在上面的方法中，存在老師或者學(xué)生在有空檔的時(shí)間里面沒有打電話給別人.最優(yōu)方案是：所有得到通知的師生，在下一分鐘都通知給另外的不知情的學(xué)生，才能使總時(shí)間最短.此時(shí)，每一分鐘后知情的人數(shù)(包括老師)會增加一倍.

解析：老師第一分鐘打給任意一個(gè)學(xué)生，第二分鐘老師和學(xué)生打給另外的學(xué)生，此時(shí)有4人(包括老師)知道通知了，第三分鐘4人均打給不知情的4人，共有8人(含老師)得到通知了，第四分鐘8人均打電話給剩下不知情的8人，到4分鐘后15人全部通知到位.

老師把合唱團(tuán)15名同學(xué)編號，第一分鐘老師通知1號；第二分鐘老師通知3號，1號通知2號；第三分鐘，老師通知7號，1號通知5號，2呈通知4號，3號通知6號；第4分鐘，4號通知8號，2號通知9號，5號通知10號，1號通知11號，6號通知12號，3號通知13號，7號通知14號，老師通知15號，全部通知完畢.

推廣1一個(gè)合唱團(tuán)共有m人，暑假期間有一個(gè)緊急演出，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員，如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，n分鐘至多可以通知2n-1個(gè)人.如下表：

需要通知的人數(shù)至少需要打電話的次數(shù)112～324～738～15416～315…………2n-1～2n-1n

變式1一個(gè)合唱團(tuán)是50人，如果按問題1的通知方式，最少花多長時(shí)間就能通知到每個(gè)人？

解析：因25=32,26-1=63,32<50<63，所以最少花6分鐘就可以通知到每個(gè)人.

問題2.1有3瓶鈣片，其中1瓶少了粒，你能用天平把它找出來嗎？

分析:記3瓶鈣片為1，2，3，先選1，2稱，如果平衡，3是次品；如果不平衡，1，2中輕的是次品，所以3瓶鈣片只需一次就能把次品找出來.

問題2.28個(gè)零件里有1個(gè)是次品(次品重一些)，假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？

解析:用1，2，3，4，5，6，7，8表示零件.如果分成兩組，每組4個(gè)，一次后就能知道次品在哪4個(gè)零件里面，4個(gè)零件里面找次品，不管怎么稱，至少需要兩次，才能確保找到次品，即需要三次才能找出；如果分成三組，4，2，2，也需要3次才能找出 ；如果分成三組，分為(3，3，2)，則至少需要2次才能找出.所以本問題中我們發(fā)現(xiàn)如果3件產(chǎn)品(含1件次品)至少需要1次測出次品；9件產(chǎn)品(含一件次品)則分組成3組，記為(3，3，3)，只需2次可以找出次品；27件產(chǎn)品(含一件次品)，只需分組成(9，9，9)，只需3次可以找出次品……

推廣2有m件產(chǎn)品，里面有1件次品，用天平找次品，n次檢測，至多可以找出3n件產(chǎn)品中的次品，即3n-1+1≤m≤3n時(shí)，把m件產(chǎn)品分成3組(每組不超過3n-1件)，其中至少有兩組的產(chǎn)品數(shù)目一樣多，就可以至少需要n次找出次品.如下表：

要辨別的物品數(shù)目保證能找出次品至少需要的次數(shù)2～314～9210～27328～81482～2435…………3n-1+1～3nn

變式2有70個(gè)零件，其中有1個(gè)次品(質(zhì)量輕一些)，則用天平進(jìn)行稱量，至少稱多少次才能保證找出這個(gè)次品？

解析：因?yàn)?3+1=28,34=81,28<70<81，所以至少稱4次就可以保證找出這個(gè)次品.

變式3把上述問題中70改成23，則至少需要n次才能保證找出這個(gè)次品，怎么分組？

解析：因?yàn)?2+1=10,33+1=28,10<23<28，所以至少稱3次就可以保證找出這個(gè)次品.并且可用分組法分成(9，9，5)，(8，8，7)，(7，7，9)等方案.

推廣3有m個(gè)零件，其中有1個(gè)次品，若3n-1+1≤m≤3n，則至少需n次才能保證找出這個(gè)次品，且每一次分組應(yīng)該保證：①分成三組，每組的數(shù)字不大于3n-1；②至少有兩組是相同的；③分組方法可能不唯一.