基于核心素養(yǎng)背景下探究基本不等式的應用的有效教學

【摘要】新課改下，高中數(shù)學基本不等式在教材結構上做了適當?shù)恼{(diào)整，基本不等式作為一種重要的解題工具，從而引發(fā)從教者的思考。本文通過闡述基本不等式的概念和意義，分析在教學中注重基本不等式的應用和解題技巧，啟發(fā)學生多維關聯(lián)思維，使其體會基本不等式的重要作用，增加學習數(shù)學的樂趣，因而有效提升高中學生的數(shù)學水平。

【關鍵詞】核心素養(yǎng)? 高中數(shù)學? 基本不等式? 有效教學

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）18-0124-03

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學育人價值的集中體現(xiàn)。數(shù)學學科是基礎教育階段最為重要的學科之一，高中階段的數(shù)學教育培養(yǎng)出來的人是什么樣的。無論接受教育的人將來從事的工作是否與數(shù)學有關，終極培養(yǎng)目標都可以描述為：會用數(shù)學眼光觀察世界;會用數(shù)學思維思考世界;會用數(shù)學語言表達世界，即新課標界定的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。

數(shù)學核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，而“四基”是學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體。基于核心素養(yǎng)的教學中，強調(diào)“四基”就要把握數(shù)學知識的本質(zhì)，讓學生在掌握知識與技能的同時理解知識的本質(zhì)，感悟知識所蘊含的數(shù)學基本思想，積累數(shù)學思維和實踐的基本活動經(jīng)驗，從而促進學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。由于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導下，學生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習慣和思想方法。因此，在教學活動中，把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、精心設計合適的教學方案非常重要，所以，基于核心素養(yǎng)的教學，要特別重視情境的創(chuàng)設和問題的提出。

一、基本不等式的概念和意義

?ɑ，b∈R，有ɑ2+b2≥2ɑb，當且僅當ɑ=b時，等號成立。特別地，如果ɑ>0，b>0，我們用，分別代替上式中的ɑ，b，可得≤（*），當且僅當ɑ=b時，等號成立。通常稱不等式（*）為基本不等式。其中，叫作正數(shù)ɑ，b的算術平均數(shù)，叫作正數(shù)ɑ，b的幾何平均數(shù)?；静坏仁奖砻鳎簝蓚€正數(shù)的幾何平均數(shù)小于等于它們的算術平均數(shù)。

基本不等式是一種重要且基本的不等式類型，在中學數(shù)學知識體系中也是一個非常重要的、基礎的內(nèi)容，也是高考的熱點，在求解最值、證明不等式、求參數(shù)范圍等問題中有著廣泛的應用。新教材人教A版將其安排在必修第一冊第二章的“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”與“二次函數(shù)、一元二次方程和不等式”中間，主要是學生已經(jīng)借助生活實例對于不等式有了一定的理解，在學習等式性質(zhì)的基礎上，通過類比，研究了不等式的性質(zhì)，積累了一定的活動經(jīng)驗， 為后續(xù)學習做了一定的準備。

基本不等式的代數(shù)結構也是數(shù)學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值。同時，在理解和應用基本不等式的過程中涉及變與不變、變量與常量，以及數(shù)形結合、數(shù)學模型等思想方法。因此，基本不等式內(nèi)容可以培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng)。

二、探究基本不等式的應用的教學

（一）生活情境融入數(shù)學問題

例1：一家商店使用一架兩臂不等長的天平秤黃金。一位顧客到店購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的砝碼放在天平的右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次秤得的黃金交給顧客。你認為顧客購得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？

分析：學生讀完題目第一想法就是物理學科中的杠桿平衡原理（動力×動力臂=阻力×阻力臂），能想到這里，問題就不難解決了。于是我們可以設天平的左臂長為ɑcm，右臂長為bcm，不妨設ɑ>b，放在左盤中的黃金為xg，放在右盤中的黃金為yg。則由天平的平衡條件可得bx=5ɑ，yɑ=5b，即x=，y=。所以x+y≥2=10（由基本不等式知：當且僅當x=y時，等號成立，但這里x≠y，所以x+y>10）因此，顧客購得的黃金大于10g。

反思：本題看似一道生活物理題，實則用數(shù)學中的基本不等式解決，通俗易懂?？梢妼W科知識都是相通的，沒有哪門學科是獨立存在的。要培養(yǎng)學生學會從文字中提取信息轉化為數(shù)學問題的能力，即通過數(shù)學模型刻畫研究對象的性質(zhì)、關系和規(guī)律，這是一個基本的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。同時本案例也向學生灌輸了誠信做人誠信做事的思想，體現(xiàn)了時代的育人導向，響應了立德樹人的要求。

（二）基本不等式的誤解問題

例2：已知A（3，0），B（0，4），直線AB上一動點P（x，y），求xy的最大值。

誤解：根據(jù)條件可寫出直線AB的截距式方程為：+=1.

由1=+≥2=2，得xy≤3，即xy的最大值是3。

正解：根據(jù)條件可寫出直線AB的截距式方程為：+=1，則y=4-x.

于是xy=x（4-x）=-（x-）2+3≤3，即xy的最大值是3。

反思：兩種解法答案一樣，為什么第一種解法不正確。因為學生沒有真正理解基本不等式的內(nèi)涵，應用基本不等式解決問題的三步驟“一正、二定、三相等”，這里點P（x，y）為直線AB上的動點，無法確定x，y的正負號，所以基本不等式不適用。雖然答案一致，純屬巧合，如將題目條件改為“線段AB上的動點P（x，y）”或“動點P（x，y）在第一象限”，這里的x，y均為正數(shù)，即可用基本不等式，而第二種解法就不需要知道x，y的正負號，直接消元代入轉化為二次函數(shù)求最值。

例3：已知兩個正實數(shù)ɑ，b，滿足ɑ+b=4，求+的最小值。

誤解：由已知得4=ɑ+b≥2， ∴ɑb≤4，又+≥2=≥2，

則+的最小值是2。

正解：+=（ɑ+b）（+）=++≥2=.

故+的最小值是.

反思：使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對存在前提“一正、二定、三相等”的忽視，這三個條件缺一不可。連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致。錯解中使用了兩次基本不等式，其中ɑb≤4等號成立時必須滿足ɑ=b，而+≥2的等號成立時，必須有4ɑ=b，因為都是正數(shù)，所以兩個等號不會同時成立的，故這種解法是錯誤的。學生在利用基本不等式求最值問題時，很容易忽視使用條件，不驗證等號是否成立，甚至出現(xiàn)沒有確認和或積為定值時就求最值問題的現(xiàn)象，這是學生思維不夠嚴謹?shù)谋憩F(xiàn)。

（三）基本不等式的變形問題

例4：已知實數(shù)x，y>0，則求+的最大值。

分析：學生看到題目時不知所措，明明知道要運用基本不等式知識來解決，卻又不知如何下筆。 回想基本不等式的三步驟“一正、二定、三相等”，第一個條件正數(shù)已滿足，第二個條件定形式是關鍵，難就難于定它的結構形式。這里用到換元的思想，

令ɑ=2x+y，b=x+2y（ɑ>0，b>0），則x=，y=.

于是+=+=-（+）≤-2=-=

當且僅當=，即ɑ=b時，等號成立。所以+的最大值是。

反思：通常學生在解答上述不等式案例的過程中存在著一定的難度性，因為這種題型需要學生先處理分式的形式，抓住基本不等式在解決最值問題中對于核心之一“積定和有最小值;和定積有最大值”的理解及構造轉化。因此，學生在解答這個題目的過程中，可通過分析題設中的條件將分母進行整體的換元、拆分，從而構造出積定的形式求出最大值。其中，整體換元是解答這類題型較為常見的方法：首先引導學生思考分式的結構形式該如何改變得到積定的形式，其次基于基本不等式設置目標函數(shù)的最值求解，凸顯習題的針對性和探索性的特點，明確基本不等式在解決最值問題中的基本結構，這樣便能迎刃而解。

本文緊扣基本不等式的概念，分別從正、定、等三個方面逐一探究基本不等式應用的有效教學，使學生從本質(zhì)上真正掌握和理解基本不等式，并學會應用?；静坏仁绞歉咧袛?shù)學難點內(nèi)容之一，尤其對基礎薄弱的學生而言，在學習過程中會覺得吃力乏味。因此，為了改變這種狀況，筆者首先從生活實例引入基本不等式的應用，直奔主題，讓學生切身感受到基本不等式的使用價值，體會到數(shù)學方法解決實際問題的樂趣，激發(fā)學生的求知欲。其次，通過幾個典型的易錯案例，讓學生真正明確基本不等式的使用條件和注意事項，即“一正、二定、三相等”。在這個教學過程中，需要學生先動手計算，觀察他們在解答過程中遇到什么樣的困難或可能犯哪些錯誤，然后分組討論該如何解決。這樣既可以培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，又可以提高學生歸納總結和團結協(xié)作的意識，也使學生真正理解基本不等式的本質(zhì)和內(nèi)核。

三、有效教學的感悟

在高中數(shù)學不等式的教學過程中，我們常會碰到這樣的學生，平時學習很認真，公式也能記得住，考試成績卻不理想。究其原因，還是沒有真正理解知識的本質(zhì)和內(nèi)核，思路受阻打不開，解決問題的方式比較單一。所以教師需要結合教學內(nèi)容選取合理的教學方法和恰當?shù)慕虒W案例來培養(yǎng)學生分析思考問題的的能力，引導學生歸納提升問題的能力，啟發(fā)學生拓展思維問題的能力，充分激發(fā)學生學習不等式內(nèi)容的興趣，打破常規(guī)的教學思想，全面踐行新課程深化改革的要求，落實立德樹人的根本任務，達到強化高中數(shù)學課堂教學實效性的目的。所以，有效的教學過程應當是把握數(shù)學知識本質(zhì)，把握學生認知過程;創(chuàng)設合適教學情境，提出合適數(shù)學問題;啟發(fā)學生獨立思考，鼓勵學生相互交流;掌握知識技能，理解數(shù)學本質(zhì);感悟數(shù)學基本思想，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]史寧中， 王尚志.普通高中數(shù)學課程標準解讀[M].高等教育出版社，2017年版2020年修訂.

[2]李光星.基于高中數(shù)學基本不等式解題技巧分析[J].數(shù)理化解題研究，2021，512（19）.

[3]陳大祥.淺析新課改下高中數(shù)學基本不等式解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2021，505（12）.

[4]華燕萍.五大變形方法搞定基本不等式求最值問題[J].華夏教師，2020（10）.

作者簡介：

余加山（1987年-）男，安徽馬鞍山人，一級教師，碩士，研究方向為從事高中數(shù)學教學研究。