發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，把握概念性教學(xué)

伍贈元

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的思維至關(guān)重要，尤其在概念性教學(xué)上。本文根據(jù)維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”思想，闡述學(xué)生在概念性教學(xué)上如何發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)：從如何讓學(xué)生準確理解概念的角度出發(fā)，介紹了概念性教學(xué)存在的問題，分析了教師在概念性教學(xué)中如何利用“最近發(fā)展區(qū)”思想，讓學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。最后，結(jié)合“最近發(fā)展區(qū)”思想對概念性教學(xué)提出一些建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象? 概念性教學(xué)? 最近發(fā)展區(qū)? 建議

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）12-0029-03

一、概念性教學(xué)概述

在日常的教學(xué)中，概念性教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型之一?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱《課標》）在課程目標上強調(diào)：在學(xué)習數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在學(xué)科核心素養(yǎng)上強調(diào)，數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系。

在概念性教學(xué)上，教師如何引導(dǎo)學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，準確理解概念，是否經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象活動，對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，學(xué)習數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)的思維方式和語言具有不可或缺的意義。據(jù)此，本文基于維果茨基提出的“最近發(fā)展區(qū)”思想，闡述了學(xué)生在概念性教學(xué)上如何發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的思維，對教師把握概念性教學(xué)有著一定的指導(dǎo)意義和實踐價值。

二、概念性教學(xué)存在的問題

在日常的概念性教學(xué)中，學(xué)生往往對基本概念記憶不清晰，易混淆相似概念，導(dǎo)致在概念的應(yīng)用上失分嚴重;教師面對抽象的概念有時也感到“只可意會不可言傳”，尤其對概念的外延和內(nèi)涵沒講透徹。概念性教學(xué)存在的問題主要表現(xiàn)在以下幾點：

1.在概念形成前，忽略了概念產(chǎn)生的背景。

我們在參與聽課的活動中，看到有些老師開門見山拋出概念，然后花大量時間引導(dǎo)學(xué)生進行概念的應(yīng)用。也有些教師認為學(xué)生只要記住了數(shù)學(xué)對象的定義，會做題目就行，把數(shù)學(xué)概念知識的學(xué)習簡單地理解為知識的傳遞，忽略了概念產(chǎn)生的背景。比如在“對數(shù)”概念的教學(xué)中，如果不引導(dǎo)學(xué)生在情境中經(jīng)歷“對數(shù)”概念形成的抽象活動，直接拋出對數(shù)的概念，一大批學(xué)生會感到很抽象，特別是對對數(shù)的符號感到陌生，導(dǎo)致學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習中（比如在對數(shù)運算性質(zhì)的理解與應(yīng)用方面）造成障礙。

《課標》指出，學(xué)生能夠在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系。數(shù)學(xué)抽象不是簡單地對數(shù)學(xué)對象文字上的一種“理解”，它應(yīng)該需要經(jīng)歷一定的活動過程，展開一定的數(shù)學(xué)思維才能逐步達到一定的抽象高度。所以，教材里面的章頭圖、閱讀與思考、數(shù)學(xué)史等知識對概念產(chǎn)生的背景介紹很有意義。

2.忽略了概念形成的過程以及概念之間的聯(lián)系。

從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，很多數(shù)學(xué)概念都是跟生活實際密切相關(guān)，從生活問題情景中通過理想化的形式抽象出來，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“尋找實際意義”的互逆過程對學(xué)好這類概念起到促進的作用。在實際教學(xué)中，教師往往在引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法方面做得不夠深入，特別是對概念的形成過程沒有剖析到位，也忽略概念之間的聯(lián)系。比如，教師直接讓學(xué)生強記對數(shù)的概念，然后給出一個例子（由于2=1.11x，所以x就是以1.11為底2的對數(shù)，記作x=log1.112）就認為學(xué)生已經(jīng)理解了對數(shù)的概念。此時，學(xué)生難免對x=log1.112感到抽象。如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合指數(shù)函數(shù)y=1.11x的圖像，當函數(shù)值為2時，對應(yīng)自變量x的值，就是x=log1.112，再進一步結(jié)合指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系αx=N（α>0且α≠1）和x=logαN，學(xué)生就能夠比較直觀感知x=log1.112的含義與大小。

3.在概念形成后，忽略了概念的合理應(yīng)用，特別是沒有準確把握數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平，對學(xué)生正確理解概念的評價不足。

《課標》把數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)劃分為三個水平，這三個水平的劃分可以按兩條主要的線索進行：依據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容的縱向發(fā)展、依據(jù)數(shù)學(xué)活動過程的抽象程度和認知水平。對數(shù)學(xué)抽象的水平分析可以通過依據(jù)思維主體與客體之間的關(guān)系、依據(jù)對過程與對象兩重性的反思水平、依據(jù)數(shù)學(xué)抽象的復(fù)雜度這三條途徑。

在實際教學(xué)中，教師忽略概念與學(xué)習者之間的關(guān)系。比如學(xué)完指數(shù)函數(shù)的概念，由于同一概念在不同學(xué)生的眼里的抽象水平是不同的，導(dǎo)致有些學(xué)生無法進一步判斷y=x4，y=-3x，y=2x+2，y=32x是否為指數(shù)函數(shù)？因此，教師除了要加強學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的訓(xùn)練，還應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)抽象學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。教師可以有意識創(chuàng)造一些條件（如變式或綜合性問題）來衡量學(xué)生概念理解的準確程度。

三、“最近發(fā)展區(qū)”思想

在研究學(xué)生認知發(fā)展與教育中，前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基（Lev Vygotsky，1896-1934）創(chuàng)立了“文化—歷史發(fā)展理論”，用以解釋人類心理本質(zhì)上與動物不同的那些高級心理機能，特別強調(diào)活動和社會交往在人的高級心理機能發(fā)展中的突出作用。根據(jù)這一理論，維果茨基在教學(xué)與發(fā)展的關(guān)系上提出了三個重要問題：一個是最近發(fā)展區(qū)的思想;一個是教學(xué)應(yīng)當走在發(fā)展的前面;一個是關(guān)于學(xué)習的最佳期限問題。

那么，什么是最近發(fā)展區(qū)呢？維果茨基認為，至少要確定兩種發(fā)展的水平。第一種水平是現(xiàn)有發(fā)展水平，這是指個體獨立活動所達到的解決問題的水平。第二種是在有指導(dǎo)的情況所達到的解決問題的水平，也是通過教學(xué)所獲得的潛力。這二者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教學(xué)創(chuàng)造著最近發(fā)展區(qū)，因此，第一個發(fā)展水平和第二個發(fā)展水平之間的動力狀態(tài)是由課堂教學(xué)中決定的。

在概念性教學(xué)中，如果教師能夠把握學(xué)生的第一個發(fā)展水平和第二個發(fā)展水平，對學(xué)生準確理解概念，對培養(yǎng)學(xué)生抽象性思考問題的習慣和思維方式可以起到積極的引導(dǎo)意義。

四、在概念性教學(xué)中，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)

根據(jù)上面理論，如何在概念性教學(xué)中把握最近發(fā)展區(qū)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的思維呢？下面我們通過具體的教學(xué)案例（本文以普通高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊第四章第3節(jié)“對數(shù)的概念”為例），來談?wù)劇白罱l(fā)展區(qū)”思想在概念性教學(xué)中的應(yīng)用。

（一）在概念性教學(xué)過程中，確定學(xué)生的兩種發(fā)展水平

1.第一個發(fā)展水平（現(xiàn)有的發(fā)展水平）：學(xué)生已經(jīng)會運用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)去解決有關(guān)指數(shù)式的問題。請看教學(xué)設(shè)計：

師：莊子有言，一尺之棰，日取其半，萬世不竭。如果取4次，還剩下多長？取多少次，還剩下0.125尺？

學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的發(fā)展水平較容易回答上面問題：由

==0.0625可知取4次，還剩下0.0625尺;再假設(shè)取x次，則可列出方程

=0.125，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，容易求出x=3;

至此，學(xué)生求出來的其實就是χ=log0.0125=3。

2.第二種發(fā)展水平（解決問題的水平）：通過設(shè)置情景，讓學(xué)生抽象出對數(shù)的概念，理解對數(shù)的概念、對數(shù)式和指數(shù)式的關(guān)系。

師：取多少次，還剩下0.00390625尺？

同樣也假設(shè)取x次，則可以列出方程

=0.00390625，這時學(xué)生要想求出上面方程中的x決非易事，從而教師引導(dǎo)學(xué)生帶著這問題去尋找解決該問題的方法。

（二）在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”里，經(jīng)歷對數(shù)概念的抽象過程

師：要求上面方程中的x，我們先回顧什么叫作指數(shù)函數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的概念，檢測學(xué)生是否已經(jīng)具備學(xué)習新的概念前所需掌握的相關(guān)知識，讓學(xué)生達到第一個發(fā)展水平。

師：我們知道，指數(shù)函數(shù)y=αx（0<α<1）在R上單調(diào)遞減。如果令y=N，請問這個方程αx=N中的解x是否唯一？

師：既然x是唯一的，那么x=？用什么符號來表示呢？

由此教師順其自然地引出對數(shù)符號x=logαN，同時進行背景補充：在16、17世紀之交，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對運算體系的多年研究，最終找到了簡化大數(shù)運算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》。但是納皮爾在討論對數(shù)概念時，并不是像我們教材對數(shù)定義所說的，而是借助運動學(xué)，用幾何術(shù)語闡述了對數(shù)方法。直到18世紀，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首先使用y=αx來定義x=logαy。進而引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注教材閱讀與思考——對數(shù)的發(fā)明。

引出對數(shù)的概念后，教師也可以進一步引導(dǎo)學(xué)生進入新的“最近發(fā)展區(qū)”，要求學(xué)生把上面問題中的x寫成x=log0.00390625，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究這個對數(shù)式到底是一個怎樣的數(shù)？

（三）在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”里及時把握對數(shù)式與指數(shù)式之間的聯(lián)系αx=N←→x=logN

讓學(xué)生明白對數(shù)運算本質(zhì)是指數(shù)運算的逆運算，進一步加深概念的理解：對數(shù)logαN是一個實數(shù)，它是唯一的，它的大小可以通過指數(shù)函數(shù)的圖象刻畫出來的。

（四）在概念形成后，根據(jù)學(xué)生的認知水平及其課堂生態(tài)，及時對概念合理應(yīng)用（見例1），以及對學(xué)生是否正確理解概念進行評價（見例2）。

例1. 將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式。

例2. 求下列各式中x的值：

學(xué)生通過在情境中抽象出對數(shù)的概念，在指數(shù)式與對數(shù)式的互化等題型中形成數(shù)學(xué)抽象的思維，并運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題。

（變式）求下面式子的值

通過變式，加深對對數(shù)概念的應(yīng)用，為下一節(jié)對數(shù)的運算作鋪墊。

五、建議

基于“最近發(fā)展區(qū)”思想，在概念性教學(xué)中提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的思維，在實際教學(xué)中有如下建議：

1.在概念的形成過程前，要準確把握學(xué)生的認知規(guī)律

興趣是學(xué)生最好的老師，如何把學(xué)生的思維引進“最近發(fā)展區(qū)”，關(guān)鍵在于教師是否有高超的引導(dǎo)水平，設(shè)置的問題能否讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，使學(xué)生通過教師的引導(dǎo)能夠解決問題，從而獲得心理的滿足。這時，教師就要了解學(xué)生的認知規(guī)律，準確把握學(xué)生的兩個發(fā)展水平，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)，不斷地創(chuàng)設(shè)“最近發(fā)展區(qū)”，從而讓學(xué)生準確理解概念。

2.教師要找準學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”

在概念性教學(xué)過程中，教師要準確把握學(xué)生的兩個發(fā)展水平，考慮學(xué)生是否已經(jīng)具備學(xué)習新的概念前所需掌握的相關(guān)知識，以及對原有知識掌握的程度進行摸底。教師還要了解學(xué)生的認知是有差異性，每一位學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”也是不一樣的。因此，教師備課前要充分了解學(xué)情，才能找準學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生準確把握數(shù)學(xué)概念。

3.在概念性教學(xué)中，雖然準確把握學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”有助于學(xué)生準確理解概念，但是它不是唯一的辦法。因為，并不是每一個概念性教學(xué)都要有“最近發(fā)展區(qū)”。所以，在概念性教學(xué)過程中，沒必要刻意關(guān)注學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，導(dǎo)致課堂時效性不好。

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