立足模型分析，自如解決問題

莫淑玲

數(shù)學(xué)模型是使數(shù)學(xué)知識在學(xué)生頭腦中從模糊走向清晰的橋梁，能夠通過表象直面本質(zhì)。教師要使數(shù)學(xué)建模思想、方法在教學(xué)中合理滲透，讓學(xué)生習(xí)慣利用數(shù)學(xué)模型來解決問題，幫助學(xué)生快速找到解決數(shù)學(xué)問題的途徑，提高解決問題的基本技能，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、合理建模，聚焦數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)學(xué)及其它數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應(yīng)用，因此工具愈簡單愈有價值。

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里闡述：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。利用數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行教學(xué)，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中比比皆是。尤其是在解決問題教學(xué)中應(yīng)用得尤其多。

二、畫圖助思，培養(yǎng)空間觀念

任教五年級的數(shù)學(xué)老師應(yīng)該有共同的集體印象：在教學(xué)義務(wù)教育教科書五年級下冊的“長方體和正方體”單元時，是較為棘手的，花了九牛二虎之力，教學(xué)效果卻不理想，只見工夫不現(xiàn)效果。不理想主要是如下幾個方面：空間想象能力差;應(yīng)用各種計算公式時混淆不清;解決問題時弄不請問題到底求什么。

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》里關(guān)于知識技能方面，第4-6學(xué)段要求之一：通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識：在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動、確定物體位置等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念;經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。

在教學(xué)“長方體和正方體”單元中求長方體和正方體表面積時，會發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，如果題目中配上圖，學(xué)生的錯誤率會比較低，同樣類型的題目，如果題目中沒有配上圖，學(xué)生解題出錯率會比配上圖時多得多。在這個現(xiàn)象下面，反映出學(xué)生的空間想象能力比較差：盡管他們把長方體的表面積公式背的比較熟練，但是分不清楚，在求前后面的面積時，該長×寬、長×高、或是寬×高。在求左右面的面積：該多少乘多少，求上下面面積時又該多少乘多少。在我教會學(xué)生在解決此類問題時畫出圖來幫助思考，并把題目中的長、寬、高的數(shù)據(jù)標(biāo)在圖中時，學(xué)生有了圖形的直觀支撐，問題迎刃而解。如，做一個長12分米，寬8分米。高10分米的長方體的玻璃缸（無蓋）至少需要玻璃多少？（圖1）

顯而易見，學(xué)生看著圖，就能知道要求前后面面積該用：10×12，求左右面面積該用：10×8，求上下面面積時該用：12×8。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，圖的啟示作用不可小看，尤其在學(xué)習(xí)幾何圖形的知識時，對于空間觀念并不是很強(qiáng)的小學(xué)生來說，更是舉足輕重。

在教學(xué)義務(wù)教育教科書五年級下冊的“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”單元時用上模型“畫圖”就能引導(dǎo)學(xué)生對比分析，快速找對解決方法。植樹問題包括三種情況：兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽。如何弄清這三種情況呢？畫上圖后，三者的聯(lián)系與區(qū)別立刻清晰呈現(xiàn)（如下圖）。

三、數(shù)形結(jié)合，理清數(shù)量關(guān)系

人教版義務(wù)教育教科書選擇在五年級第一學(xué)期開始學(xué)習(xí)簡易方程解決問題。在教學(xué)這個內(nèi)容的過程中，學(xué)生會遇到多種的困惑，列不出正確的方程等式是學(xué)生遇到的最常見的一種困難。如：在用方程解決“獵豹是世界上跑得最快的動物，速度能達(dá)到每小時110千米，比大象的2倍還多30千米，大象最快能達(dá)到每小時多少千米？”時，有的學(xué)生會列出這樣的錯誤等式：110×2+30=X。學(xué)生沒有從根本上把列方程解決問題與列算術(shù)解決問題區(qū)分開來，深刻分析下來，應(yīng)該是跟學(xué)生對于題目中的數(shù)量關(guān)系不清晰，思維模糊，又受到以前用算術(shù)解決問題的思維定勢的影響，才會列出以上的“兩不像”的錯誤等式。

學(xué)生低年級長期習(xí)慣于算術(shù)方法解決實(shí)際問題，受算術(shù)思維定勢的影響，很長一段時間不適應(yīng)代數(shù)的思維方式，因此需要加強(qiáng)代數(shù)思維方式方法的訓(xùn)練，來加強(qiáng)方程的教學(xué)。學(xué)生能自如地應(yīng)用列方程來解決問題，學(xué)會的根本——是源于對具體的某道問題中的數(shù)量關(guān)系的深刻分析，懂得各個數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)而并明白這些數(shù)量關(guān)系該用怎樣的含有未知數(shù)的等式來表示出來。

在小學(xué)階段中用方程解決問題，無論是多么復(fù)雜的問題，分析出來，跑不出最初學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的最簡單，最基本的數(shù)量關(guān)系，如：部分量+部分量=總數(shù);大量-小量=相差數(shù);每份量×份數(shù)=總數(shù);等等。因此，要在教學(xué)中重視這些基礎(chǔ)數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練，經(jīng)常滲透。我在教學(xué)方程內(nèi)容時，時常會設(shè)計如下的題目讓學(xué)生訓(xùn)練，使到他們熟練。

1.電視機(jī)廠計劃生產(chǎn)5000臺的電視機(jī)，要5天完成。平均每天生產(chǎn)多少臺？等量關(guān)系式：（）×天數(shù)=計劃生產(chǎn)的總臺數(shù)

2.公園里有月季花250盆，比菊花多170盆。菊花有多少盆？

等量關(guān)系式：（）-（）=月季花比菊花多的盆數(shù)

所以學(xué)生能用方程輕松自如地解決問題，關(guān)鍵的是引導(dǎo)學(xué)生深度分析題目中的數(shù)量關(guān)系，將一個問題的解決拓展為一類問題的解決，將原型結(jié)構(gòu)上升為教學(xué)結(jié)構(gòu)，并弄明白。

在學(xué)習(xí)用簡易方程解決問題的教學(xué)過程中，要逐漸把解方程常用的原型結(jié)構(gòu)——基本的數(shù)學(xué)代數(shù)等式適時教給學(xué)生。用簡易方程解決問題基本數(shù)學(xué)代數(shù)等式一般有以下幾種（圖2）：

如：小林騎自行車，每分鐘騎250米，小云騎自行車每分鐘騎200米，小林家和小云家相距4.5千米，周日早上9：00倆人分別從家騎自行車相向而行，兩人何時相遇？學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系的分析，要用“小林騎的路程+小云騎的路程=總路程”來找到等量關(guān)系，而“小林騎的路程”與“小云騎的路程”都分別要用“速度乘時間”來表示。一路抽絲剝繭，學(xué)生自然會找到“ax+bx=c”這個模型來列出方程了。

四、深入本質(zhì)，多種方式呈現(xiàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的有四種基本運(yùn)算意義：用加法解決，用減法決，用乘法解決，用除法解決。如果想學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時能準(zhǔn)確把握，在這四種運(yùn)算方法最初引入時，老師要給予足夠的重視。遇到有些沒有學(xué)好這四種基本運(yùn)算意義的學(xué)困生，他們對于解決高年級的數(shù)學(xué)問題時，簡直無從入手。解決問題的方法錯誤得千奇百怪，而且離譜。尋根溯源，這些病因許多時是因為最初學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)方法解決問題時，對于四種基本運(yùn)算的意義理解不清，掌握不好引起的。尤其在五年級上冊“用方程解決問題”時，遇到同一道題目，可以有多種等量關(guān)系來指導(dǎo)時，由于四種基本運(yùn)算意義最初學(xué)習(xí)時，理解得比較模糊，所以他們有心無力，列不出正確的方程式來解決問題。學(xué)習(xí)列方程、解方程可以體會蘊(yùn)含其中的建摸思想、化歸思想，作為后面學(xué)習(xí)解決問題的數(shù)學(xué)工具。從算式發(fā)展到方程，這又是數(shù)學(xué)思想方法上的一次飛躍。它使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及思維的靈活性提高到一個新的水平。

如：在教學(xué)人教版義務(wù)教育教科書選擇在五年級上冊第74頁例2（圖3：足球上黑色的外皮都是五邊形的，白色的外皮都是六邊形的。白色皮共有20塊，比黑色皮的塊數(shù)的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？）時，我會把多種的列法都引導(dǎo)學(xué)生思考、弄懂。

雖然學(xué)生從分析題目的字面上來看，從“白色皮共有20塊，比黑色皮塊數(shù)的2倍少4塊。”來分析，學(xué)生比較容易列出“2x-4=20”，但是為了學(xué)生思維的發(fā)展，提高他們解決問題的能力，我們應(yīng)該幫助學(xué)生理解清楚“白色皮的塊數(shù)”是小量，“黑色皮塊數(shù)的2倍”是大量，它們之間相差“4塊”，學(xué)生的思考從模糊走向清晰，自然就會列出另外兩道方程等式了（②2x=20+4③2x-4=20）。

總而然之，數(shù)學(xué)模型的建立是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的內(nèi)在規(guī)律，同時也是由學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)所決定的。在具體的教學(xué)中，我們要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，不斷增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生親身參與到概念與定理的形成過程中，提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，激活學(xué)生的思維，激勵學(xué)生創(chuàng)新，從而讓學(xué)生在主動思考與探究中掌握建模這一重要數(shù)學(xué)思想與方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識、素養(yǎng)與綜合能力的整體提高。