在深度學(xué)習(xí)中逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)

王靜?唐斌

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，能夠有效地避免知識(shí)淺層化、表面化，促使學(xué)生真正理解知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵。教師必須精心設(shè)計(jì)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，才能引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)、形成基本技能的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)有“根”的數(shù)學(xué)。這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能不斷向縱深發(fā)展，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能獲得提升。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)本質(zhì) 模型思想

數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，是指運(yùn)用分析與綜合、抽象與概括等方法，深度參與課堂，深刻經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，深層理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的學(xué)習(xí)行為。數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)不僅關(guān)注顯性數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更注重隱性數(shù)學(xué)思想的滲透。

本文以北師大版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)“分一

分（一）”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、深度解讀教材，規(guī)劃深度學(xué)習(xí)的路徑

本課是小學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的第一階段，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題的基礎(chǔ)。教材結(jié)合具體的問題情境——“分蘋果”“分圖形”等喚醒學(xué)生蘊(yùn)含分?jǐn)?shù)知識(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)，并充分利用實(shí)物操作、合作探究等手段，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義、建立初步的分?jǐn)?shù)概念。

分?jǐn)?shù)和整數(shù)有很大區(qū)別，它不僅能夠表示“量”，更能夠反映整體與部分之間的包含關(guān)系。北師大版的教材過于強(qiáng)調(diào)“平均分”，忽視了“包含除”，即整體與部分的包含關(guān)系。想要學(xué)生真正建立“分?jǐn)?shù)”的概念，教師在教學(xué)“一個(gè)物體的幾分之一”時(shí)，必須從“幾分之一個(gè)”抽象到“它的幾分之一”，幫助學(xué)生淡化“物體個(gè)數(shù)”這一非本質(zhì)屬性，強(qiáng)化“幾份中的一份”這一本質(zhì)屬性。

本課的核心任務(wù)是讓學(xué)生經(jīng)歷由分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的建構(gòu)過程，通過多層次的數(shù)學(xué)化建構(gòu)過程，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵、分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)有充分的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)過程中，教師可以讓學(xué)生經(jīng)歷多次不同的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，主動(dòng)歸納、提升，在“做數(shù)學(xué)”中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)，從而建構(gòu)出分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)模型。

在設(shè)計(jì)本課時(shí)，筆者摒棄了傳統(tǒng)對(duì)“分?jǐn)?shù)”的定義：把一個(gè)整體平均分成若干份，其中的1份或幾份就是這個(gè)整體的幾分之幾，而是采用這樣的語句來描述分?jǐn)?shù)：如1/2，表示把一個(gè)整體平均分成2份，2份中的1份就是這個(gè)整體的1/2。力求讓學(xué)生深刻體會(huì)分?jǐn)?shù)表示“包含”關(guān)系的內(nèi)涵。筆者圍繞“分?jǐn)?shù)”概念的形成，致力于分?jǐn)?shù)模型的建立，規(guī)劃學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑如下（見圖1）。

二、創(chuàng)設(shè)有趣的問題情境，激發(fā)學(xué)生深度參與的興趣

分物活動(dòng)在日常生活中很常見，因此教學(xué)設(shè)計(jì)可首先以“分蘋果”的情境導(dǎo)入，拉近數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生實(shí)際生活的聯(lián)系。為進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，筆者設(shè)計(jì)了用擊掌游戲表示分得的結(jié)果。

師：把4個(gè)蘋果平均分給2人，每人得幾個(gè)？

生：擊掌2下。

師：把2個(gè)蘋果平均分給2人，每人得幾個(gè)？

生：擊掌1下。

師：把1個(gè)蘋果平均分給2人，每人得幾個(gè)？

（生一片嘩然，不知如何擊掌）

師：半個(gè)蘋果怎么表示呢？

小學(xué)生的思維正處于從形象思維向抽象思維的過渡階段。抽象思維的發(fā)展，很大程度上借助于生動(dòng)形象的事例。生活中生動(dòng)豐富的教學(xué)資源，是課程與教學(xué)內(nèi)容的重要補(bǔ)充。教師可以將一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)與現(xiàn)實(shí)生活密切相連的、生動(dòng)活潑的事例。本課引入環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了真實(shí)、有趣的問題情境，有效地激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究欲望，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)習(xí)內(nèi)容由易到難，由淺入深，最后的問題“半個(gè)蘋果怎么表示呢”，成為教學(xué)新知的出發(fā)點(diǎn)和認(rèn)知沖突的生長點(diǎn)，有利于吸引學(xué)生深度參與。

三、組織生動(dòng)的實(shí)踐活動(dòng)，助推學(xué)生深度探究

1.認(rèn)識(shí)“1/2”

一個(gè)蘋果平均分給2人，每人得到半個(gè)，這是學(xué)生具備的生活經(jīng)驗(yàn)。但是這“半個(gè)”用以前學(xué)過的整數(shù)已經(jīng)無法表示了，該怎么辦呢？由此引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，推動(dòng)學(xué)生思考：怎樣表示？如果這時(shí)教師直接告知“半個(gè)可以用分?jǐn)?shù)1/2表示”，學(xué)生則只能知其然，卻不知其所以然，有悖于深度學(xué)習(xí)的初衷?；谶@種考慮，筆者設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)。

師：原來的蘋果是1個(gè)，這里的半個(gè)蘋果可以稱為1塊（見圖2），“1個(gè)”和“1塊”都有1，這2個(gè)“1”表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。

師：那這2個(gè)“1”有什么聯(lián)系嗎？

生：“1個(gè)”里面有2個(gè)“1塊”。

師：哦……原來可以把這1個(gè)蘋果看成2個(gè)一塊，半個(gè)蘋果就是2塊中的1塊了。

師：2塊中的1塊可以說是2份中的1份，2份中的1份用分?jǐn)?shù)1/2表示。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，筆者沒有直接告訴學(xué)生一半可以用1/2表示，而是以2個(gè)“1”的問題建立一半與1/2之間的聯(lián)系，讓學(xué)生追溯到1/2的產(chǎn)生，初步意識(shí)到1/2中“2”和“1”的由來，為接下來深入研究1/2做了有效的鋪墊。

對(duì)蘋果的1/2有了初步感知后，筆者馬上出示非平均分的情況（見圖3）。

師：淘氣用深色部分表示的是這個(gè)蘋果的1/2嗎？

生（很快回答）：淘氣畫的不是蘋果的1/2，因?yàn)樗麤]有把蘋果平均分成2份。

學(xué)生初步意識(shí)到，1/2中的2份必須是平均分成的2份。

認(rèn)識(shí)了蘋果的1/2后，筆者放手讓學(xué)生自主探究，分別涂出正方形、房子和花瓶三種圖形的1/2（見圖4、圖5、圖6）。

在學(xué)生匯報(bào)的過程中，筆者引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)：同樣的正方形，不同的涂法，可以出現(xiàn)不同的圖形;不同的圖形，不同的涂法，但是只要涂出2等份中的1份，就可以用分?jǐn)?shù)1/2表示。直逼“分?jǐn)?shù)”概念的本質(zhì)——整體與部分的關(guān)系。筆者這樣逐步引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中找到共性，在操作中感受1/2，體會(huì)分?jǐn)?shù)的意義。

2.認(rèn)識(shí)“幾分之一”

知識(shí)進(jìn)入個(gè)體內(nèi)心世界，主要靠體驗(yàn)與反思。在接下來的練習(xí)中，筆者呈現(xiàn)了下面4個(gè)圖形。

師：深色部分都是圖形的1/2嗎？為什么？

這里學(xué)生在肯定圖7和圖9時(shí)，不僅鞏固了對(duì)1/2的理解，更重要的是把抽象的“數(shù)”與具體的“形”之間建立起一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，感受到“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想;在否定圖8和圖10的同時(shí)，又再一次反思了1/2這個(gè)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。學(xué)生體會(huì)到表示1/2的方法多種多樣，但是最關(guān)鍵、最核心的是二等分，1/2可以理解為“二分之一”，它能夠表示整體與部分的包含關(guān)系。此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生能夠從不同的角度認(rèn)識(shí)1/2，在頭腦中豐富1/2的表象，從而建構(gòu)1/2的意義，再次為認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)奠定基礎(chǔ)。

1/2的認(rèn)識(shí)是理解其他分?jǐn)?shù)的一個(gè)基礎(chǔ)，1/2這個(gè)突破口打開后，筆者呈現(xiàn)了下面兩個(gè)圖形。

師：你能用分?jǐn)?shù)表示上面兩幅圖的深色部分嗎？

在學(xué)生匯報(bào)時(shí)，筆者反復(fù)強(qiáng)調(diào)“幾份中的一份”：1/4是把正方形平均分成4份后，4份中的1份;1/8是把正方形平均分成8份后，8份中的1份。學(xué)生體會(huì)到“幾份”是整體，“一份”是部分，這些分?jǐn)?shù)表示的是整體與部分之間的一種包含關(guān)系。

3.認(rèn)識(shí)“幾分之幾”

三年級(jí)的學(xué)生仍然以具體思維為主，教師在教學(xué)中要盡量為學(xué)生提供大量的感性材料，讓學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作活動(dòng)。動(dòng)手實(shí)踐操作能夠幫助學(xué)生形成真實(shí)的、豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)體驗(yàn)。視學(xué)習(xí)為“做”的過程，“經(jīng)歷”的過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，不能僅僅被動(dòng)接受，更要去主動(dòng)建構(gòu)。在這節(jié)課中，動(dòng)手操作對(duì)學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)模型有著非常積極的促進(jìn)作用，它可以直接促使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度探究。

在接下來的環(huán)節(jié)，筆者組織學(xué)生進(jìn)行“折一折，涂一涂”的活動(dòng)，讓他們根據(jù)自己的喜好創(chuàng)造出更多的分?jǐn)?shù)?！鞍颜叫纹骄殖?份，涂色部分有3份，4份中的3份可以用3/4來表示……”學(xué)生在實(shí)踐操作、分析思考、全班交流等一系列活動(dòng)中，體會(huì)到“折”就是把整體平均分，“涂”就是在確定部分有幾份。這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生在玩中學(xué)，在做中學(xué)，在合作交流中學(xué)，親身經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的形成過程，找到分?jǐn)?shù)形成的本源，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行深度探究。

四、揭示內(nèi)在的知識(shí)本質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生深度理解

在學(xué)生知道1/2、1/4、3/4這樣的數(shù)就是分?jǐn)?shù)，已經(jīng)建立了分?jǐn)?shù)的表象，初步理解了分?jǐn)?shù)的意義后，筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生再比較，再思考，再概括。

師：你們能把所有的分?jǐn)?shù)都說完嗎？試一試吧。

生：沒辦法全部說完，分?jǐn)?shù)太多了。

師：分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮無盡的，任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以用這個(gè)模型來表示。其中分?jǐn)?shù)線表示平均分，分母是幾就表示分幾份，分子是幾就表示有這樣的幾份（見圖13）。

這里，筆者使用更抽象和更有普遍意義的“幾分之幾”的模型，通過模型將抽象知識(shí)變?yōu)榱诵蜗蟮臄?shù)學(xué)語言，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的深度理解。

五、設(shè)計(jì)層遞性的實(shí)踐練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生深度運(yùn)用

教學(xué)中要使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些簡單的實(shí)際問題。因此接下來的練習(xí)，筆者選取了學(xué)生常見的生活場景。

（1）把1個(gè)蛋糕平均分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分到這個(gè)蛋糕的幾分之幾？

（2）又來了4個(gè)小朋友，要重新分，每個(gè)小朋友分到這個(gè)蛋糕的幾分之幾？

（3）班上同學(xué)過生日，大家平均分一個(gè)大蛋糕，你吃到這個(gè)蛋糕的幾分之幾？

（4）爸爸買了一個(gè)大西瓜回家，你們?nèi)胰似骄郑愠缘竭@個(gè)西瓜的幾分之幾？

（5）生活中你還在哪里見過分?jǐn)?shù)？能試著說說這個(gè)分?jǐn)?shù)的意思嗎？

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生用建立起來的分?jǐn)?shù)模型再次解決了生活中的問題，體會(huì)到了數(shù)學(xué)模型的實(shí)際價(jià)值，意識(shí)到了所學(xué)知識(shí)的作用，真正做到了學(xué)以致用。

本課把握分?jǐn)?shù)概念的支撐點(diǎn)——平均分，初步建立分?jǐn)?shù)表象;緊扣分?jǐn)?shù)概念的著力點(diǎn)——整體與部分，進(jìn)一步抽象和概括;挖掘分?jǐn)?shù)概念的生長點(diǎn)——平均分的對(duì)象，深入理解分?jǐn)?shù)意義;構(gòu)建出分?jǐn)?shù)模型——直逼分?jǐn)?shù)本質(zhì)。

學(xué)生的深度學(xué)習(xí)源于教師有深度的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。思想決定高度，理念決定深度。教師只有對(duì)課標(biāo)、教材進(jìn)行深入挖掘后，精心設(shè)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，從情境創(chuàng)設(shè)、操作探究、實(shí)踐運(yùn)用等方面為學(xué)生設(shè)計(jì)有深度的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的融入，學(xué)生才能真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：四川省成都市武侯實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯：趙繼瑩

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