多場(chǎng)環(huán)境下等截面結(jié)構(gòu)性能分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)

柯慶鏑，謝 敏+，李乾坤，田亞明

(1.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009;2.長(zhǎng)虹美菱股份有限公司，安徽合肥，230601)

0 引言

為了滿足當(dāng)前社會(huì)不斷迅速產(chǎn)生的多樣化客戶需求，在機(jī)械產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，其制造柔性化、高效率及低成本的要求愈來(lái)愈被重視，需要進(jìn)一步針對(duì)機(jī)械產(chǎn)品中的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其制造工藝進(jìn)行優(yōu)化和升級(jí)替代。而等截面結(jié)構(gòu)(例如型材、板材等)一般僅需要擠壓、冷/熱軋等成形工藝，具備模塊化程度高、加工效率高、制備工藝成本低等特點(diǎn)，與傳統(tǒng)鑄造結(jié)構(gòu)件相比，其制造周期與工藝成本均有一定程度的降低，因此，等截面結(jié)構(gòu)件在現(xiàn)有機(jī)械裝備中得到了大量應(yīng)用。但對(duì)比傳統(tǒng)鑄造結(jié)構(gòu)特性(如良好吸振性等)，等截面結(jié)構(gòu)零件往往需要進(jìn)一步優(yōu)化結(jié)構(gòu)，同時(shí)伴隨著輕量化和綠色化的需求，其自身的結(jié)構(gòu)存在截面拓?fù)湫螒B(tài)與其強(qiáng)度、質(zhì)量等基本特性之間的沖突。針對(duì)結(jié)構(gòu)截面的優(yōu)化問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究:吳鳳和等[1]針對(duì)復(fù)雜載荷工況下橫梁等大型三維結(jié)構(gòu)件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可讀性差、無(wú)法對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供有效指導(dǎo)的問(wèn)題，提出基于功能截面分解的拓?fù)鋬?yōu)化方法。宋凱等[2]為了在概念設(shè)計(jì)階段快速有效地實(shí)現(xiàn)車身梁截面的優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出一種基于P1N1(P1N-formed protein 1)植物生長(zhǎng)算法的截面快速優(yōu)化方法，通過(guò)提取出截面數(shù)據(jù)庫(kù)中的截面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以及截面性能參數(shù)，將數(shù)據(jù)庫(kù)中梁截面的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為設(shè)計(jì)變量，導(dǎo)入PIN1植物生長(zhǎng)優(yōu)化算法中進(jìn)行優(yōu)化，從而控制梁截面的形狀。周奇才等[3]為克服傳統(tǒng)基結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法對(duì)最優(yōu)解的束縛，實(shí)現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳季旨俺叽鐑?yōu)化，提出了將連續(xù)體與離散桿系相結(jié)合的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。馬洪剛[4]在序列體各向同性材料懲罰模型

(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)插值方法基礎(chǔ)上，提出一種從多材料拓?fù)鋬?yōu)化到截面尺寸優(yōu)化的兩步客車骨架優(yōu)化方法。Moucun等[5]針對(duì)太陽(yáng)能集中器的設(shè)計(jì)介紹了一種變截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，這種設(shè)計(jì)主要的改進(jìn)是在兩端(扭矩箱結(jié)構(gòu)處)保持梁的剛性和強(qiáng)度，同時(shí)允許結(jié)構(gòu)中間相對(duì)較弱。Nguyen等[6]針對(duì)梁的長(zhǎng)度方向上的離散化使用有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)對(duì)梁橫截面進(jìn)行屈曲拓?fù)鋬?yōu)化，會(huì)增加較高的數(shù)值成本，而采用有限棱鏡法(Finite Prism Method，F(xiàn)PM)作為線性屈曲分析的工具，借助于長(zhǎng)度方向的諧波基函數(shù)，將FEM 的三維節(jié)點(diǎn)的自由度降低到二維節(jié)點(diǎn)的自由度。針對(duì)不同的梁長(zhǎng)，解決了從矩形、L形和一般形狀的設(shè)計(jì)域中尋找截面布局的優(yōu)化問(wèn)題。Grekavicius等[7]針對(duì)鋁型材材料彈性模量低等固有缺陷，采用先進(jìn)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，通過(guò)二維和三維相結(jié)合的方法，以后處理和可制造性為重點(diǎn)，提出了10種獨(dú)特的截面輪廓。Kabanda等[8]針對(duì)加拿大目前使用的一種多邊形空心結(jié)構(gòu)鋼截面進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化。SUI等[9]為了提高框架結(jié)構(gòu)的性能，對(duì)框架結(jié)構(gòu)的截面形狀進(jìn)行了優(yōu)化，使用分解技術(shù)分離兩個(gè)變量，建立了框架結(jié)構(gòu)截面和形狀的兩級(jí)優(yōu)化方法。Li等[10]提出一種考慮制造約束的三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化水平集方法。Liu等[11]研究了基于長(zhǎng)度控制和幾何特征的面向加工的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，提出了面向注塑/鑄造拓?fù)鋬?yōu)化的零件頂出和肋厚度控制，指出了面向增材制造的拓?fù)鋬?yōu)化方向。

通過(guò)以上研究，可以看到目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究主要是結(jié)合有限元分析方法，基于結(jié)構(gòu)特性開(kāi)展相應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且需要相應(yīng)的算法支撐，并且主要集中于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度優(yōu)化，但結(jié)合其他類型需求(如輕量化、保溫、降噪等)的綜合考慮不足，缺乏面向多物理場(chǎng)服役的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。而在大部分產(chǎn)品中，針對(duì)等截面為主的支撐結(jié)構(gòu)，因結(jié)構(gòu)工藝性限定，其設(shè)計(jì)范圍主要是截面優(yōu)化，需要一種高效且簡(jiǎn)單的優(yōu)化設(shè)計(jì)判定方法，同時(shí)該結(jié)構(gòu)均受到多物理場(chǎng)(溫度、振動(dòng)等)作用，需要滿足多物理場(chǎng)內(nèi)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計(jì)需求。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文通過(guò)分析機(jī)械零件截面性能特性，提出基于慣性矩模型的機(jī)械零件結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化方法:基于多場(chǎng)服役環(huán)境下性能需求，分析了零件等截面拓?fù)渥兓c其性能變化之間的映射關(guān)系，尤其針對(duì)其強(qiáng)度需求，建立了其截面結(jié)構(gòu)慣性矩演化過(guò)程模型，提出了多場(chǎng)服役性能需求下零件等截面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。結(jié)合某型號(hào)制冷產(chǎn)品門體結(jié)構(gòu)零件的優(yōu)化過(guò)程，驗(yàn)證了所提方法的有效性和適用性。

1 機(jī)械結(jié)構(gòu)截面

等截面結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用廣泛，最常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)形式是機(jī)械裝備中的支撐結(jié)構(gòu)件，在航空航天、運(yùn)載機(jī)械、工程機(jī)械等領(lǐng)域，很多結(jié)構(gòu)件都可以簡(jiǎn)化為不同類型的等截面結(jié)構(gòu)。這些機(jī)械零件是其機(jī)械產(chǎn)品的重要結(jié)構(gòu)組成零件，用于連接與支撐其余重要零部件，如控制、執(zhí)行、動(dòng)力等，承受著機(jī)械產(chǎn)品使用中的絕大部分載荷及沖擊，其自身結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不僅需要考慮產(chǎn)品空間尺寸需求，更需要分析其結(jié)構(gòu)在產(chǎn)品運(yùn)行載荷譜及沖擊下的強(qiáng)度問(wèn)題。并且，再進(jìn)一步結(jié)合產(chǎn)品服役環(huán)境，也需要分析輕量化下結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束，以及運(yùn)行過(guò)程中的結(jié)構(gòu)振動(dòng)、熱傳導(dǎo)等性能，這些因素均會(huì)限制乃至損壞產(chǎn)品結(jié)構(gòu)安全性和相關(guān)零部件功能有效性，也使得整個(gè)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)更為復(fù)雜。因此，在機(jī)械零件等截面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，需要詳細(xì)分析其截面拓?fù)渌w現(xiàn)的不同性能(包括強(qiáng)度、質(zhì)量、熱導(dǎo)性等)，以滿足產(chǎn)品各類工作載荷及性能需求。

1.1 零件結(jié)構(gòu)截面建模

由于機(jī)械零件中等截面結(jié)構(gòu)的基本尺寸源自于產(chǎn)品框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需求，其產(chǎn)品功能參數(shù)一定的情況下，其基本框架結(jié)構(gòu)尺寸一定。大多數(shù)情況下，等截面零部件的支撐結(jié)構(gòu)在其截面縱向上的尺寸受產(chǎn)品功能參數(shù)限制，優(yōu)化范圍較小。因此，結(jié)合等截面設(shè)計(jì)特性，將等截面結(jié)構(gòu)零件中截面特征提取出來(lái)(如圖1)，構(gòu)建其二維截面量化描述:

式中:PDES表示等截面結(jié)構(gòu)零件的設(shè)計(jì)方案;Y表示等截面結(jié)構(gòu)零件在截面垂直方向上的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)需求;dx表示截面在x方向的微分量;dz表示截面在z方向的微分量，OES表示截面微分單元在平面上的位置集合。

基于式(1)，可將等截面零部件的結(jié)構(gòu)從傳統(tǒng)三維模型簡(jiǎn)化為二維截面，同時(shí)結(jié)合微分分析方法，構(gòu)建截面微分單元的不同性能特征(如強(qiáng)度、質(zhì)量、模態(tài)等)，并結(jié)合截面設(shè)計(jì)方案，獲得該等截面零部件的基本性能。例如，等截面零部件的質(zhì)量可表達(dá)為:

式中:MDES表示等截面結(jié)構(gòu)零件的整體質(zhì)量;ρ(x，z)表示隨截面位置(x，z)變化的截面密度函數(shù)。

通過(guò)構(gòu)建截面的不同性能函數(shù)，獲得等截面零部件的各類性能描述。同時(shí)在分析零部件各類性能需求的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步開(kāi)展相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1.2 結(jié)構(gòu)性能分析

如前文所述，在等截面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，需要綜合考慮并滿足其各類性能需求及約束。這樣一來(lái)，就需要結(jié)合等截面結(jié)構(gòu)模型，分析并構(gòu)建其結(jié)構(gòu)性能表達(dá)函數(shù)。具體如下:

(1)強(qiáng)度性能

在工程實(shí)際應(yīng)用中，基于零部件的不同功能，其等截面結(jié)構(gòu)所受外載荷類型也有所不同，可能單純受集中力、均布載荷、不均布載荷或力矩作用，也可能受上述載荷的綜合作用，且各類載荷的作用時(shí)間段也會(huì)有區(qū)別。在外載荷的作用下，零部件結(jié)構(gòu)內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力，進(jìn)而發(fā)生彈性變形，直至其屈服乃至斷裂。因此，外載荷作用下內(nèi)力分布場(chǎng)是分析等截面結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的基礎(chǔ)，在應(yīng)力場(chǎng)下各個(gè)截面微分單元所產(chǎn)生的應(yīng)變，構(gòu)成了等截面結(jié)構(gòu)整體變形分布(如圖1)，可表示為:

式中:SA(y)ES表示等截面結(jié)構(gòu)零件的在長(zhǎng)度y處的變形;S(x，z，y)表示在長(zhǎng)度y處，隨截面位置(x，z)變化的應(yīng)力函數(shù);E(x，z)表示隨截面位置(x，z)變化的剛度函數(shù)。

圖2a表示結(jié)構(gòu)受力示意圖，圖2b表示結(jié)構(gòu)任一截面微分單元受力示意圖，圖2c表示截面任一微分單元模型受力情況，圖2d表示結(jié)構(gòu)任一截面受力示意圖。

(2)熱傳導(dǎo)性能

機(jī)械產(chǎn)品在某些溫度場(chǎng)工作環(huán)境中，需要保障其內(nèi)部零部件的有效性能和可靠性，則對(duì)起框架支撐作用的等截面結(jié)構(gòu)類零件，要求其具備一定保溫或散熱性能，這樣就需要分析零部件結(jié)構(gòu)的傳導(dǎo)性能，可以表達(dá)為:

式中:TC(y)ES表示等截面結(jié)構(gòu)零件在y方向的微分單元傳熱量分布;Qc(x，z)表示隨截面位置(x，z)變化的結(jié)構(gòu)傳熱量函數(shù)。

基于式(4)，通過(guò)分析結(jié)構(gòu)零部件所服役的溫度場(chǎng)環(huán)境，可以獲取其熱分布狀態(tài)，進(jìn)而對(duì)照設(shè)計(jì)需求不斷優(yōu)化結(jié)構(gòu)的熱傳導(dǎo)性能(如圖3)。

圖3a表示結(jié)構(gòu)所處環(huán)境溫差示意圖，其中Tα≠Tβ;圖3b表示結(jié)構(gòu)任一截面微分單元示意圖，其中Q表示結(jié)構(gòu)傳熱量;圖3c表示任一截面的某微分單元模型的熱傳導(dǎo)分析。

(3)其他性能需求

在產(chǎn)品中占主要體積構(gòu)成的結(jié)構(gòu)零件，其材料占比高、制造成本高，隨著目前產(chǎn)品輕量化、低成本的需求不斷加強(qiáng)，此類結(jié)構(gòu)類零件是主要的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化對(duì)象?；谒鶚?gòu)建結(jié)構(gòu)截面模型，可以得到其質(zhì)量分布:

式中:MD(y)ES表示等截面結(jié)構(gòu)零件在長(zhǎng)度y處的質(zhì)量分布。

同時(shí)，在獲得材料分布的基礎(chǔ)上，該零部件的制造成本分布如下:

式中:MM(y)ES表示等截面結(jié)構(gòu)零件在長(zhǎng)度y處的制造成本分布;eM表示面積單元的材料成本;eρ(x，z)表示隨截面位置(x，z)變化的結(jié)構(gòu)工藝成本函數(shù)。

1.3 截面強(qiáng)度與慣性矩

如前文所述，強(qiáng)度性能是等截面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中考慮的首要因素，而基于上述分析，結(jié)構(gòu)截面剛度分布是其關(guān)鍵參數(shù)，大多數(shù)研究均從這一點(diǎn)入手，但截面剛度及其變形的計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，且隨著截面幾何形狀變化，會(huì)產(chǎn)生較大的差異性，導(dǎo)致整個(gè)分析優(yōu)化過(guò)程復(fù)雜。一般來(lái)說(shuō)，需要在分析截面結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上計(jì)算截面結(jié)構(gòu)剛度[12]，具體如下:

式中:[σ]表示截面材料屈服應(yīng)力;M表示結(jié)構(gòu)截面上彎矩載荷;EW表示截面抗彎剛度;ymax表示截面離中心軸最大變形，IZ表示截面的慣性矩。

由式7可知，在一定的工作負(fù)載(M)下，結(jié)構(gòu)截面剛度需求受其零件材料特性(屈服強(qiáng)度[σ])的影響。同時(shí)，截面剛度(EW)與其慣性矩(IZ)成正比，與截面結(jié)構(gòu)變形(ymax)成反比。因此，慣性矩可被視為結(jié)構(gòu)剛度分析環(huán)節(jié)中關(guān)鍵物理量，可以直接反映出該截面剛度的大小，其計(jì)算[10]過(guò)程如下:先確定該截面的中性軸(或形心軸)位置(如圖4)，后基于所得到中性軸計(jì)算慣性矩(如式(8)～式(10))。

式中:Zc表示中性軸位置;yi表示微分塊到坐標(biāo)軸距離;Ai表示微分塊面積;IZ表示截面的慣性矩;yi'表示微分塊到中性軸的距離;Izi表示微分塊相對(duì)于自身慣性矩。

從式(7)～式(10)可以看出，在結(jié)構(gòu)截面拓?fù)湫螤钜欢ǖ那疤嵯?，能夠進(jìn)一步確定其慣性矩及結(jié)構(gòu)剛度，且其計(jì)算過(guò)程較為簡(jiǎn)便。因此，在優(yōu)化零部件結(jié)構(gòu)剛度時(shí)，可以將截面慣性矩視為其直接優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)而間接提升整體結(jié)構(gòu)截面剛度。同時(shí)，針對(duì)不同方向的剛度需求(如軸向、切向等)，結(jié)合前文構(gòu)建的結(jié)構(gòu)截面模型，可以得到其中性軸和慣性矩表達(dá)如下:

上式是在非直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式，角度為θ;i、j分別為微分單元所在行、列;dx、dz分別為微分塊的在x、z方向的長(zhǎng)度。

基于式(11)～式(14)，通過(guò)分析比較在整個(gè)優(yōu)化過(guò)程中的各類截面幾何形狀下慣性矩大小，選擇具有較大慣性矩的截面拓?fù)湫螤钭鳛榻孛鎯?yōu)化的參考集合，進(jìn)而可以得到具有良好截面剛度的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

2 等截面結(jié)構(gòu)性能分析及優(yōu)化方法

基于前文的結(jié)構(gòu)截面模型及性能需求分析，可以進(jìn)一步研究等截面結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題。首先應(yīng)對(duì)不同結(jié)構(gòu)的截面拓?fù)涓淖冞^(guò)程進(jìn)行量化描述，同時(shí)分析在該截面拓?fù)溲莼^(guò)程中結(jié)構(gòu)性能的變化規(guī)律，構(gòu)建其相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)。在其各類性能設(shè)計(jì)要求基礎(chǔ)上，構(gòu)建其量化性能約束表達(dá)，并提出其相應(yīng)的結(jié)構(gòu)截面優(yōu)化方法。

2.1 等截面結(jié)構(gòu)拓?fù)溲葑冞^(guò)程

一般來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)截面演化可被視為其截面在二維平面中幾何形狀及輪廓的變化，結(jié)合所構(gòu)建的結(jié)構(gòu)截面模型，結(jié)構(gòu)截面可被定義為在二維平面中有限數(shù)量的微分單元的集合，即平面中不同區(qū)域的微分單元構(gòu)成了結(jié)構(gòu)截面整體。基于式(15)，得到不同結(jié)構(gòu)的截面拓?fù)湫螤羁杀徊煌恢玫奈⒎謫卧媳磉_(dá)，即

可以得到，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)截面可以被視為在原始結(jié)構(gòu)截面基礎(chǔ)上的微分單元集合修正，即通過(guò)對(duì)不同區(qū)域微分單元的添加或刪減，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)截面上各類性能的優(yōu)化。為便于過(guò)程描述及操作，可以設(shè)定截面拓?fù)渥兓床竭M(jìn)方式進(jìn)行，即每次均減少或增加一個(gè)微分單元，以便分析微分單元變化所帶來(lái)的等截面結(jié)構(gòu)性能影響。

2.2 等截面結(jié)構(gòu)性能演化函數(shù)

為了分析在結(jié)構(gòu)截面拓?fù)溲莼^(guò)程中各類結(jié)構(gòu)性能的變化規(guī)律，需要設(shè)定截面拓?fù)涞淖兓^(guò)程。為便于計(jì)算，可以假定原始截面形狀為最大量值的微分單元集合，即截面形狀為最大設(shè)計(jì)范圍，在后續(xù)拓?fù)渥兓行枰粩嗟貏h減在不同位置處的微分單元，而在這一去除微分單元過(guò)程中，分析其結(jié)構(gòu)性能變化規(guī)律，可表示為:

式中:P'ES、PES分別為優(yōu)化后及原始截面拓?fù)湫螤钕碌慕Y(jié)構(gòu)性能;ΔPi為第i次去除位于(x，z)位置處的微分單元時(shí)結(jié)構(gòu)性能變化。

這樣一來(lái)，可以通過(guò)分析結(jié)構(gòu)性能的變化量，在考慮設(shè)計(jì)需求的前提下，尋找在性能變化量極限值下的微分單元?jiǎng)h除位置，而后依據(jù)刪除位置標(biāo)記，得到其相應(yīng)結(jié)構(gòu)截面拓?fù)涿枋?，進(jìn)而獲得滿足設(shè)計(jì)要求的最佳結(jié)構(gòu)截面。

(1)強(qiáng)度性能

基于所構(gòu)建的慣性矩模型式(11)～式(14)，可以計(jì)算得到結(jié)構(gòu)截面，在去除(i1，j1)處微分單元之后的中性軸位置和截面慣性矩表達(dá)式(17)和式(18):

在去除(i2，j2)處微分單元之后的中性軸位置和截面慣性矩表達(dá)式為

由上面規(guī)律可得去除(ik，jk)處微分單元之后的中性軸位置和截面慣性矩表達(dá)式(21)和式(22):

式(21)為坐標(biāo)系在θ角度下，結(jié)構(gòu)截面在刪減(ik，jk)處微分單元之后結(jié)構(gòu)截面中性軸位置表達(dá)式;式(22)為結(jié)構(gòu)截面在刪減(i，j)處微分單元之后結(jié)構(gòu)截面的慣性矩表達(dá)式，當(dāng)θ=0，即直角坐標(biāo)系下，Ak=(XZ-k)，是定值，在非直角坐標(biāo)系下，Ak是與θ、k相關(guān)的表達(dá)式，在優(yōu)化過(guò)程中，每步的θ、k是常值，所以在非直角坐標(biāo)系下Ak為定值。

其中:

式中:X表示結(jié)構(gòu)截面在x方向上微分單元的總行數(shù);Z表示結(jié)構(gòu)截面在z方向上微分單元的總行數(shù);i表示某微分單元位置在x方向上第i行;j表示某微分單元位置在z方向上的第j行;f(jk)為j的迭代表達(dá)式，g(ik)為i的迭代表達(dá)式;h(ik，jk)表示i、j的迭代表達(dá)式。

基于以上公式，可以得到微分單元的量值與其結(jié)構(gòu)截面慣性矩成正比關(guān)系，在不斷刪減微分單元的時(shí)候，為了降低其對(duì)截面慣性矩的影響，需要選取在慣性矩最小減少量處(k)的微分單元位置，以期獲得相同條件下最好的結(jié)構(gòu)截面剛度性能。刪減的微分單元在下一次優(yōu)化中不被恢復(fù)。

(2)熱傳導(dǎo)性能

結(jié)合所提出的熱傳導(dǎo)性能表達(dá)式(如式(23))，可以得到去除(x，z)處微分單元的結(jié)構(gòu)截面?zhèn)鳠崽匦宰兓?

式中Q0(x，z)為在去除(x，z)處微分單元后該空間的傳熱量函數(shù)。

基于企業(yè)調(diào)研，大多數(shù)情況下將熱傳導(dǎo)性能視作設(shè)計(jì)約束，即設(shè)定熱傳導(dǎo)性能閾值，或者為保障其具備一定的溫度特性，直接設(shè)定微分單元的位置范圍閾值。比如，當(dāng)需要散熱性能時(shí)，可設(shè)定某些傳熱位置處微分單元不可去除，即

式中:(xc，zc)為在保障散熱特性下，用于傳熱的截面微分單元位置集合;DelES為可去除的截面微分單元位置集合。

(3)輕量化性能

伴隨著結(jié)構(gòu)截面上微分單元的去除，其截面質(zhì)量不斷減少，并且每一步去除的減少量是該微分單元質(zhì)量，可表示為

同樣，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，將輕量化性能轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)指標(biāo)約束時(shí)，可表示為

式中ΔMDR為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)制定的輕量化閾值，即最少的質(zhì)量減輕值。

2.3 優(yōu)化模型對(duì)比

基于前期調(diào)研，現(xiàn)有拓?fù)鋽?shù)學(xué)優(yōu)化模型可表達(dá)為[13]:

其中:xn為設(shè)計(jì)變量，n代表設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，F(xiàn)為結(jié)構(gòu)所受的外力向量，U為結(jié)構(gòu)的位移向量，K為總剛度陣。

與本文所提優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的對(duì)比如表1所示。

表1 拓?fù)淠Ｐ秃捅灸Ｐ蛯?duì)比

拓?fù)淠Ｐ鸵晕灰谱钚閮?yōu)化目標(biāo)，本文以結(jié)構(gòu)慣性矩I最大為優(yōu)化目標(biāo)，與位移或結(jié)構(gòu)柔順度最小相比，慣性矩最大是一個(gè)優(yōu)化過(guò)程的中間量，從而可以減小優(yōu)化工作量，同樣能達(dá)到優(yōu)化目的。

其計(jì)算次數(shù)對(duì)比圖如圖5所示。

如圖5所示，現(xiàn)有拓?fù)鋬?yōu)化模型和本文所提出的優(yōu)化模型的判定計(jì)算次數(shù)均隨微分單元數(shù)目(n)增加而上升，對(duì)于現(xiàn)有拓?fù)鋬?yōu)化模型，其判定計(jì)算次數(shù)增長(zhǎng)速率較大，且在微分單元數(shù)n=100左右時(shí)就超過(guò)了1025，即“組合爆炸”，從而需要相應(yīng)的算法優(yōu)化。另一方面，本文所提方法的判定計(jì)算次數(shù)的增長(zhǎng)速率是不斷減小的，且在微分單元數(shù)n＞103以上時(shí)，判定計(jì)算次數(shù)的增長(zhǎng)逐漸平緩。這樣，針對(duì)等截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化，尤其是微分單元數(shù)量較大時(shí)，本文所提方法的判定過(guò)程優(yōu)于傳統(tǒng)的拓?fù)淠Ｐ汀?/p>

2.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

基于上述的結(jié)構(gòu)截面拓?fù)溲莼^(guò)程及其結(jié)構(gòu)性能演化規(guī)律分析，可以結(jié)合慣性矩模型，針對(duì)當(dāng)前的等截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出相應(yīng)優(yōu)化模型與設(shè)計(jì)方法，具體步驟如下:

(1)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

分析等截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的多類性能需求，構(gòu)建各類需求的量化表達(dá)式，將主要設(shè)計(jì)需求(如結(jié)構(gòu)剛度等)設(shè)定為目標(biāo)函數(shù)，如有多個(gè)主要設(shè)計(jì)需求(如結(jié)構(gòu)剛度與保溫性能等)，則需要通過(guò)定制標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)[14-15](如專家法、功效系數(shù)等)將多個(gè)主要設(shè)計(jì)需求標(biāo)準(zhǔn)且統(tǒng)一為單一函數(shù)，設(shè)定其為目標(biāo)函數(shù)。

(2)提出約束函數(shù)

在構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)后，將其余性能設(shè)計(jì)需求(如輕量化需求等)設(shè)定為約束函數(shù)，結(jié)合其設(shè)計(jì)需求極限范圍，設(shè)定相應(yīng)設(shè)計(jì)約束函數(shù)的閾值(如最少質(zhì)量降低值等)，進(jìn)而構(gòu)建完整的設(shè)計(jì)約束函數(shù)表達(dá)。

(3)構(gòu)造優(yōu)化模型

優(yōu)化模型包括優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化約束，構(gòu)建的優(yōu)化模型一般形式如式(27)所示，本文的優(yōu)化模型如式(28)。

式中:xi為優(yōu)化對(duì)象為微分單元(xi)，取值為0(去除)或1(保留);目標(biāo)函數(shù)則為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)慣性矩最大值，即minC(x)=-Ik;約束函數(shù)則設(shè)定為結(jié)構(gòu)優(yōu)化中其余方面設(shè)計(jì)需求，基于前文論述，輕量化需求下約束函數(shù)可用優(yōu)化前后的截面橫截面積之比(A)表示;同時(shí)，結(jié)構(gòu)傳熱需求下約束函數(shù)，可用TC(y)LS≤TC(y)ES表達(dá)。

(4)優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

在獲得結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果后，可結(jié)合結(jié)構(gòu)截面的各類性能函數(shù)，分析其各類性能是否滿足相關(guān)設(shè)計(jì)需求，如滿足，則可設(shè)定其為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，并可借助模擬仿真或?qū)嶒?yàn)開(kāi)展進(jìn)一步分析，以驗(yàn)證其結(jié)構(gòu)優(yōu)化方案的有效性。

3 案例分析及驗(yàn)證

3.1 研究對(duì)象設(shè)定

本文所用案例來(lái)源于某公司的某型號(hào)制冷產(chǎn)品門體飾條。該制冷產(chǎn)品門體結(jié)構(gòu)中，門飾條分布在門體的側(cè)邊，是一個(gè)等截面的支撐結(jié)構(gòu)，也是門體的重要組成部分。該制冷產(chǎn)品門飾條既受溫度場(chǎng)又受力場(chǎng)的作用，在復(fù)合場(chǎng)下門飾條會(huì)產(chǎn)生形變。門飾條的變形過(guò)大會(huì)使門體產(chǎn)生翹曲，使該制冷產(chǎn)品密封性下降，影響其正常使用性能，一些研究均表明門飾條優(yōu)化對(duì)改善門體強(qiáng)度有顯著作用。如圖6所示為某型號(hào)制冷產(chǎn)品門體截面裝配示意圖和爆炸示意圖，如圖7所示為某制冷產(chǎn)品門體飾條所受載荷。可看出其所受應(yīng)力大體分布趨勢(shì)，門飾條中部所受應(yīng)力最大，從中部往兩端逐漸變小，兩端受力最小。如表2所示為門體飾條優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)和環(huán)境參數(shù)

3.2 優(yōu)化分析過(guò)程

通過(guò)前文所述的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，完成對(duì)某型號(hào)制冷產(chǎn)品門飾條的優(yōu)化。

(1)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

本文優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為刪除慣性矩最小的微分單元，使得最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的慣性矩取得最大值。

(2)提出約束函數(shù)

基于輕量化需求，構(gòu)建質(zhì)量約束函數(shù):

式中:A表示優(yōu)化后截面面積與設(shè)計(jì)區(qū)域截面面積之比;A0表示優(yōu)化前截面面積與設(shè)計(jì)區(qū)域截面面積之比;k表示去除的微分單元數(shù)量。

對(duì)門體保溫性能需求，需要構(gòu)建與保溫特性相關(guān)的約束函數(shù)。對(duì)于等截面結(jié)構(gòu)(如圖1)，其y方向的微分單元傳遞的熱量為

式中:tci表示微分單元i傳遞的熱量;ε表示微分單元i部分的熱傳導(dǎo)系數(shù);A表示傳熱面積;ΔT表示溫差;t表示熱傳導(dǎo)時(shí)間;Y表示門飾條長(zhǎng)度。

基于保溫性能需求，且溫差(ΔT)，時(shí)間(t)以及門飾條長(zhǎng)度(Y)在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中為常數(shù)，則構(gòu)建傳熱量約束函數(shù):

式中:TC(y)ES，TC(y)LS表示優(yōu)化前/后結(jié)構(gòu)傳熱量。門飾條結(jié)構(gòu)包含兩部分:鋁合金材料的熱導(dǎo)系數(shù)εl=209 W/(m·k)，空氣的熱導(dǎo)系數(shù)為εk=0.024 W/(m·k)。

(3)優(yōu)化過(guò)程

令dz=0.5 mm、dx=0.5 mm、X=76、Z=7、θ=0.62。將以上參數(shù)代入式(21)和式(22)，按以下流程圖(如圖8)編程計(jì)算出滿足目標(biāo)函數(shù)的微分單元的位置，直至滿足約束函數(shù)。優(yōu)化模型求解是在編程分析軟件VS2008上完成，優(yōu)化模型計(jì)算耗時(shí)根據(jù)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度、微分單元精度、微分單元?jiǎng)澐址椒ǖ纫蛩赜嘘P(guān)，在本文所展示實(shí)例設(shè)定下，該模型計(jì)算373次。

本文將上述制冷產(chǎn)品門體飾條作為優(yōu)化原始模型，進(jìn)行截面建模，淺灰色區(qū)域?yàn)榉窃O(shè)計(jì)區(qū)域，在優(yōu)化過(guò)程中保持其外部幾何形狀不變，中間的黑色微分單元構(gòu)成的區(qū)域?yàn)樵O(shè)計(jì)區(qū)域，也即本文的研究對(duì)象(如圖9)。最終結(jié)果如圖10所示，優(yōu)化過(guò)程如表3所示。

表3 優(yōu)化過(guò)程

續(xù)表

3.3 結(jié)果與驗(yàn)證

優(yōu)化后門飾條截面微分單元分布如圖10所示。將優(yōu)化結(jié)果三維建模如圖11，優(yōu)化前門飾條模型如圖12所示。用優(yōu)化后門飾條模型取代優(yōu)化前門飾條模型新建一門體，將優(yōu)化后門體與優(yōu)化前門體均導(dǎo)入結(jié)構(gòu)分析軟件，模擬其真實(shí)工作情況—在溫度場(chǎng)和力場(chǎng)共同作用下，得到門體整體和門飾條變形情況，如圖13～圖16，以上結(jié)果可總結(jié)如表4所示。

表4 結(jié)果對(duì)比

可以看出，在優(yōu)化后門飾條結(jié)構(gòu)橫截面積比優(yōu)化前門飾條結(jié)構(gòu)橫截面積小0.15 mm2，滿足A≤A0。

對(duì)于保溫性能需求，根據(jù)優(yōu)化過(guò)程第373 步可得:

TC(y)LS373=0.008 31≤TC(y)ES=0.008 37，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的傳熱能力比優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)弱，滿足TC(y)LS≤TC(y)ES。

且門體整體最大變形優(yōu)化后結(jié)構(gòu)比優(yōu)化前結(jié)構(gòu)減少約4.9%，門飾條最大變形優(yōu)化后結(jié)構(gòu)比優(yōu)化前結(jié)構(gòu)減少約5%。

上述結(jié)果表明，本文所用從慣性矩角度出發(fā)解決等截面結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的方法切實(shí)可行，可以合理分布設(shè)計(jì)區(qū)域的微分單元位置、增強(qiáng)設(shè)計(jì)截面剛度、減小形變。從提升產(chǎn)品綠色性角度，每臺(tái)門飾條橫截面積減小0.15 mm2，且該類產(chǎn)品年度零售量約250萬(wàn)臺(tái)，年節(jié)約材料約1.68 t，節(jié)約能耗約7358.4 kW·h。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文面向產(chǎn)品多場(chǎng)服役下性能需求，提出一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法:

(1)針對(duì)產(chǎn)品服役過(guò)程中各類物理場(chǎng)中的性能需求，結(jié)合等截面結(jié)構(gòu)特性及有限元分析方法，構(gòu)建了零件等截面模型及各類性能表達(dá)。

(2)面向不同服役環(huán)境下性能需求，分析了零件等截面拓?fù)渥兓c其性能變化之間的映射關(guān)系，并結(jié)合強(qiáng)度分析建立了截面結(jié)構(gòu)慣性矩演化過(guò)程模型，提出了基于微分單元的零件等截面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

(3)以某制冷類產(chǎn)品的門體飾條零件為分析對(duì)象，分析其服役環(huán)境中的各項(xiàng)性能需求，并優(yōu)化其截面結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明優(yōu)化后截面結(jié)構(gòu)剛度增加，形變減小，驗(yàn)證了本文所提出方法的可行性。

本文所提出基于微分單元的零件等截面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，可應(yīng)用于機(jī)電產(chǎn)品典型零部件中等截面結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，具有一定的普適性，但結(jié)構(gòu)不同性能屬性表達(dá)、多場(chǎng)環(huán)境下零件結(jié)構(gòu)不同性能之間耦合關(guān)系、截面優(yōu)化迭代算法等問(wèn)題有待后續(xù)進(jìn)一步研究。