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    拋物線焦點弦的性質(zhì)結(jié)論歸納與應(yīng)用

    2021-04-08 03:06:58韓義成
    數(shù)理化解題研究 2021年7期
    關(guān)鍵詞:準線通徑垂線

    韓義成

    (甘肅省積石山縣積石中學 731700)

    我們在平時的學習中善于歸納總結(jié)一些數(shù)學的性質(zhì)和結(jié)論,就能提高解題的效率和速度,做到事半功倍的效果.下面是我在教學中歸納總結(jié)的拋物線焦點弦問題的性質(zhì)和結(jié)論,供參考.

    若AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦(過焦點的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2).

    結(jié)論2|AB|=x1+x2+P.

    (2)焦點弦中通徑(過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦)最短.

    易驗證,結(jié)論對斜率不存在時也成立.

    (2)由(1)知,當AB為通徑時,α=90°,sin2α的值最大,|AB|最小.

    例1 已知過拋物線y2=9x的焦點的弦AB長為12,則直線AB傾斜角為____.

    結(jié)論4兩個相切:(1)以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切.

    (2)過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線,以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切.

    已知:AB是拋物線y2=2px(p>0)的過焦點F的弦,求證:(1)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

    (2)分別過點A、B作準線的垂線,垂足為點M、N,求證:以MN為直徑的圓與直線AB相切.

    證明(1)設(shè)AB的中點為Q,過點A、Q、B向準線l作垂線,垂足分別為點M、P、N,連接AP、BP.

    由拋物線定義,知|AM|=|AF|.

    所以以AB為直徑的圓與準線l相切.

    (2)如圖2,取MN中點P,連接PF、MF、NF.

    因為|AM|=|AF|,AM∥OF,

    所以∠AMF=∠AFM,∠AMF=∠MFO.

    所以∠AFM=∠MFO.同理,∠BFN=∠NFO.

    所以∠PFM=∠FMP.

    所以∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°.

    所以FP⊥AB.

    所以以MN為直徑的圓與焦點弦AB相切.

    則y1=p,y2=-p.

    所以y1y2=-p2.

    例2 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點.點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸.證明:直線AC經(jīng)過原點O.

    4a2x2-4akx-1=0.

    解法2特值法.當直線平行于x軸時得出答案.

    解法3利用定比分點坐標公式.

    結(jié)論7過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作一直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,過A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為M.則

    (1)點M在拋物線的準線上;

    (2)FM⊥AB;

    (3)AM⊥BM.

    逆命題過拋物線的準線上一點M作拋物線y2=2px(p>0)的切線,切點分別為A、B,則直線AB過焦點F.

    (2)設(shè)△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達式,并求S的最小值.

    解析(1)由已知條件,得F(0,1),λ>0.

    設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

    y1=λ2y2.

    所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

    解得p=2.

    總之,只要我們在平時的教學中善于歸納、總結(jié)、整理,就會得出一些課本之外的性質(zhì)和結(jié)論,對我們的學習、解題有很大的幫助.

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