細說四類上拋運動

楊天才

(重慶市第三十七中學校 400084)

豎直上拋運動，指將物體以一定的初速度豎直向上拋出，只在重力作用下的運動.這種運動可分為減速上升和加速下降兩個運動過程，且具有嚴格的對稱性，即同一位置的速度大小相等、方向相反，物體速度的變化有“v-0-v”的特點.其實，還有以下四類運動可看成類上拋運動模型：①沿光滑斜面上滑的小球，到最高點后以原加速度勻加速下滑的運動，物塊經水平或傾斜傳送帶減速到零、再反向以原加速度加速運動(v傳≥v0)等；②阻力恒定的豎直上拋運動(或沿粗糙斜面上滑的小球，到最高點后以較小加速度勻加速下滑的運動)；③阻力與速度成正比的豎直上拋運動(或光滑傾斜軌道內閉合電路的一部分導體以一定的初速度切割磁感線運動)；④物塊經水平或傾斜傳送帶減速到零、后以原加速度反向加速、再勻速運動(v傳

運動規(guī)律結論v-t圖像豎直上拋運動vt=v0-gth=v0t-12gt2v2t-v20=-2gh上升的最大高度:H=v20/2g,上升的時間:t上=v0/g,回到拋出點所用的時間:t下=v0/g,總時間t總=2v0/g,回到拋出點時的速度v=-v0.(嚴格的對稱性)圖1類上拋一:光滑斜面往返、水平傳送帶上往返(v傳≥v0)vt=v0-atx=v0t-12at2v2t-v20=-2ax離出發(fā)點的正向最大距離:x=v20/2a,剛要返回時的運動時間:t=v0/a,回到出發(fā)點時的速度v=-v0.(嚴格的對稱性)同圖1類上拋二:阻力恒定的上拋運動、粗糙斜面往返運動、傾斜傳送帶上往返x=v12t1=v22t2=12a1t21=12a2t22=v212a1=v222a2離出發(fā)點的正向最大距離:x=v20/2a1,剛要返回時的運動時間:t=v1/a1, v2v1=a2a1=t1t2.(除往復距離相等外,不具備對稱性)圖2類上拋三:阻力與速度成正比的豎直上拋運動、光滑軌道內閉合電路的一部分導體以一定的初速度切割磁感線運動(傾斜同理)mgt+kx=mv0-mv(f=kv)、mgt+B2L2xR總=mv0-mv(F安=B2L2R總v=kv)上升的最大高度H=m(v0-gt)/k、H=m(v0-gt)R總/B2L2,拋出點加速度最大am=g+kv0m、am=g+B2L2v0mR總,最高點a=g,落回點加速度最小amin=g-kvm、amin=g-B2L2vmR總.(除往復距離相等外,不具備對稱性,高度足夠高,物體向下可能以收尾速度做勻速運動)圖3類上拋四:物塊經傳送帶減速到零、后反向加速、再勻速運動(v傳

部分模型舉例如下：

圖5

例1如圖5所示，水平方向的傳送帶，順時針轉動，傳送帶速度大小v=6 m/s不變，兩端A、B間距離為3 m.一物塊從B端以初速度v0=4 m/s 滑上傳送帶，物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.4，g=10 m/s2.物塊從滑上傳送帶至離開傳送帶的過程中，圖6中速度隨時間變化的關系正確的是( ).

圖6

點評因為傳送帶的速度大于物體的初速度，物體返回時不可能與傳送帶共速，顯然B錯誤，如果我們把眼睛對著B端向左看，看到的就是簡單的類上坡運動類型一，當然還要判斷傳送帶是否足夠長，物體會不會向左運動時沖出去，此題物塊的速度變化為典型的“v-0-v”.

例2(2015年全國Ⅰ卷)如圖7甲所示，一物塊在t=0時刻滑上一固定斜面，其運動的v-t圖線如圖7乙所示.若重力加速度及圖中的v0、v1、t1均為已知量，則可求出( ).

A．斜面的傾角

B．物塊的質量

C．物塊與斜面間的動摩擦因數

D．物塊沿斜面向上滑行的最大高度

圖7

點評本題物塊速度變化滿足“v-0-v”，雖不要求求解具體值，只要求判斷能求哪些量，簡化了運算過程.但受力分析時注意摩擦力的方向在往返運動過程中是不同的，從而加速度的大小和方向跟隨改變；另用控制變量法可以判斷，質量不在方程式中，自然不能求解質量.

圖8

例3 (2020年全國卷Ⅱ)如圖8所示，一豎直圓管質量為M，下端距水平地面的高度為H，頂端塞有一質量為m的小球.圓管由靜止自由下落，與地面發(fā)生多次彈性碰撞，且每次碰撞時間均極短；在運動過程中，管始終保持豎直.已知M=4m，球和管之間的滑動摩擦力大小為4mg，g為重力加速度的大小，不計空氣阻力.

(1)求管第一次與地面碰撞后的瞬間，管和球各自的加速度大??；

(2)管第一次落地彈起后，在上升過程中球沒有從管中滑出，求管上升的最大高度；

(3)管第二次落地彈起的上升過程中，球仍沒有從管中滑出，求圓管長度應滿足的條件.

解析(1)管第一次落地彈起的瞬間，小球仍然向下運動.設此時管的加速度大小為a1，方向向下；球的加速度大小為a2，方向向上；球與管之間的摩擦力大小為f，由牛頓運動定律有

Mg+f=Ma1,f-mg=ma2.

解得：a1=2g，a2=3g.

圖9

例4(2014年重慶卷)以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時，一個物體所受空氣阻力可忽略，另一個物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比.下列圖10用虛線和實線描述兩物體運動的v-t圖象可能正確的是( ).

圖10

點評本題物體的速度變化為“v-0-v”，雖還是類上拋運動，但解題時要注意阻力與速度成正比，相比例2和例3，物體做的不再是勻變速運動，上升過程做的是加速度減小的減速運動，下落過程做的是加速度減小的加速運動，如果高度足夠大，最后可能做勻速直線運動.

圖11

(1)導體棒從開始運動到返回底端的過程中，回路中產生的電能；

(2)導體棒在底端開始運動時的加速度大小；

(3)導體棒上升的最大高度.

解析(1)據能量守恒，得

(2)在底端，設棒上電流為I，加速度為a，由牛頓第二定律得：

mgsinθ+BIL=ma1

由法拉第電磁感應定律得E=BLv

由上述三式，得：

∵棒到達底端前已經做勻速運動，

代入數據得：a1=5gsinθ

(3)選沿斜面向上為正方向，上升到最高點的路程為x，在上升的全過程中，由動量定理得：

點評本題與例4很相似，只是由安培力充當阻力，阻力仍是與速度成正比.

例6如圖12甲所示的水平傳送帶AB逆時針勻速轉動，一物塊沿曲面從一定高度處由靜止開始下滑，以某一初速度從傳送帶左端滑上，在傳送帶上由速度傳感器記錄下物塊速度隨時間的變化關系如圖12乙所示(圖中取向左為正方向，以物塊剛滑上傳送帶時為計時起點).已知傳送帶的速度保持不變，重力加速度g取10 m/s2.關于物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ及物塊在傳送帶上運動第一次回到傳送帶左端的時間t，下列計算結果正確的是( ).

A．μ=0.4 B．μ=0.2 C．t=4.5 s D．t=3 s

圖12

點評本題中關鍵點在于傳送帶的速度小于物塊的初速度，當物塊返回過程中與傳送帶共速時，達到物塊不再做加速運動，而是和傳送帶一起勻速運動，除了加速度不變，其他的量不再對稱，這是類上拋運動模型中要注意的.

豎直上拋運動及其拓展模型是高考命題的?？?，結合v-t圖像，綜合考查學生對圖像的點、線、面積、斜率、截距的含義，并要求學生能清楚地分析類上拋運動在相對運動過程中的受力分析和運動分析，有時還要結合動量觀點和能量觀點處理.同時要學會從不同的視角(從右往左看、從上往下看、從斜面底端往上看等)去把問題轉換成類上拋運動，這樣很多問題就能引刃而解了.當然空氣阻力大小對運動的影響雖在平時練習中比較常見，但也要重視.