從思維生長(zhǎng)角度看屬性下的概念教學(xué)

徐仙

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)的重要性毋庸置疑.屬性下概念教學(xué)的關(guān)鍵是通過(guò)問(wèn)題情境，讓學(xué)生運(yùn)用歸納思維，抽象出概念的數(shù)學(xué)屬性.在這一過(guò)程中，學(xué)生能感受到概念的生長(zhǎng)過(guò)程，感受到建立此概念的必要性和必然性.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);思維生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)概念指運(yùn)用定義的形式揭示數(shù)學(xué)的某一本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.數(shù)學(xué)概念教學(xué)承載著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累、數(shù)學(xué)思想方法的滲透的任務(wù).李邦河院士說(shuō)：“數(shù)學(xué)是玩概念的.”很多學(xué)生在解題過(guò)程中遇到困惑的本質(zhì)原因是對(duì)概念理解不到位.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)十分重要.數(shù)學(xué)概念的種類很多，如何進(jìn)行屬性下的概念教學(xué)呢？筆者以“二次函數(shù)”概念教學(xué)為例，以思維生長(zhǎng)角度為基本思路，進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì).

一、屬性下的概念理解

將同一類對(duì)象的本質(zhì)屬性抽象出來(lái)，就形成了概念.屬性是固有的、不變的、不以人的意志為轉(zhuǎn)移的.研究事物的過(guò)程就是揭示相關(guān)事物屬性的過(guò)程，因此屬性下概念教學(xué)的核心就是通過(guò)問(wèn)題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，思考問(wèn)題，抽象出概念的數(shù)學(xué)屬性.在這一過(guò)程中，學(xué)生感受建立此概念的必要性、必然性.教師通過(guò)這一過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與說(shuō)明

環(huán)節(jié)1：類比歸納 新知初探

師：老師給出以下問(wèn)題，請(qǐng)你用函數(shù)表達(dá)式表示問(wèn)題中兩變量之間的關(guān)系.

①一輛汽車從丹陽(yáng)開往江都，速度是80 km/h，求行駛的路程s（km）與時(shí)間t（h）之間的關(guān)系.

②丹陽(yáng)到江都全程約90 km，求汽車行駛?cè)趟玫臅r(shí)間t（h）與速度v（km/h）之間的關(guān)系.

③長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16 m，長(zhǎng)為 x m，寬為y m，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系.

④一粒石子投入水中，激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，求擴(kuò)大后波紋（圓）的面積s與半徑r之間的關(guān)系.

⑤用總長(zhǎng)為16 m的籬笆圍成長(zhǎng)方形的生物圈，飼養(yǎng)小兔，求生物圈的面積y（m2）與長(zhǎng) x（m）之間的關(guān)系.

⑥計(jì)劃修建一條長(zhǎng)500 km的高速公路，求完成該項(xiàng)目的天數(shù)a （天）與每天完成的量b（km）之間的關(guān)系.

⑦一面長(zhǎng)寬之比為2∶1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價(jià)格是每平方米120元，邊框價(jià)格是每米30元，額外加工費(fèi)是45元，求總費(fèi)用w（元）與鏡面寬x（米）之間的關(guān)系.

（學(xué)生自行解決，教師在黑板上板書答案：

①s=80t ②t=90[]v ③y=8-x ④s=πr2

⑤y=-x2+8x ⑥a=500[]b ⑦w=240x2+180x+45）

問(wèn)題1 你能將上述關(guān)系式分類嗎？說(shuō)一說(shuō)你的分類結(jié)果.

（①③為一次函數(shù);②⑥為反比例函數(shù);④⑤⑦沒(méi)學(xué)過(guò)）

問(wèn)題2 對(duì)于已經(jīng)學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)，你還記得老師是怎樣研究它們的嗎？都研究了哪些方面？（學(xué)生先說(shuō)，教師后呈現(xiàn)下表）

師生共同小結(jié)回顧：我們根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)等號(hào)右邊代數(shù)式的特征，分別得出了它們的定義;通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線畫出了它們的函數(shù)圖像;再通過(guò)研究圖像得出了這兩種函數(shù)的性質(zhì);最后用它們解決實(shí)際生活中的問(wèn)題.

說(shuō)明1：?jiǎn)栴}是一切科學(xué)探究的起點(diǎn)，一個(gè)不會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的人是無(wú)法真正參與探究活動(dòng)的.愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“發(fā)現(xiàn)和提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要.”因此滲透分類思想、將眾多問(wèn)題進(jìn)行分類梳理、梳理舊知、發(fā)現(xiàn)新知的過(guò)程符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，符合學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的生長(zhǎng)規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力與必備品格的過(guò)程.從知識(shí)層面復(fù)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，可以為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

問(wèn)題3 除了我們熟悉的函數(shù)外，剩下的④⑤⑦這些函數(shù)表達(dá)式有什么共同特征呢？它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)表達(dá)式有什么區(qū)別呢？

（學(xué)生觀察，討論，交流：

1.等號(hào)右邊的代數(shù)式都是整式，與反比例函數(shù)不同，與一次函數(shù)相同;

2.等號(hào)右邊的代數(shù)式都含二次項(xiàng)，與一次函數(shù)不同.）

問(wèn)題4 你能再舉出一些這類函數(shù)的例子嗎？

問(wèn)題5 這樣的例子太多了，你能設(shè)計(jì)出一個(gè)一般形式來(lái)表示這類函數(shù)嗎？（學(xué)生嘗試設(shè)計(jì)，交流）

問(wèn)題6 類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義，請(qǐng)你試著給這類函數(shù)下定義.（學(xué)生嘗試，交流）

教師總結(jié)：這樣的函數(shù)，我們稱為“二次函數(shù)”.（板書）一般的，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）

的函數(shù)叫二次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).

說(shuō)明2：類比是由于兩類對(duì)象在某些方面相似，得出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨频慕Y(jié)論.類比是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法.類比在掌握數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、探索解題方法等方面都有著不可忽視作用.類比是學(xué)生正確理解概念的方法之一，通過(guò)類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)，學(xué)生可以用已有的經(jīng)驗(yàn)與方法研究未知問(wèn)題.

環(huán)節(jié)2：全面剖析 深入新知

通過(guò)前面的探索，認(rèn)真分析二次函數(shù)的定義，這一定義告訴了我們哪些本質(zhì)的東西？你是怎樣理解二次函數(shù)概念的？

1.“形如”即用形來(lái)定義函數(shù)的名稱.

2.二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）.

3.a≠0，b、c可以為0，y=ax2+c.

特殊情況：當(dāng)b=0時(shí)（a≠0），y=ax2+bx;

當(dāng)c=0時(shí)，y=ax2（a≠0）;

當(dāng)b=0、c=0時(shí)，（a≠0）.

4.定義有雙重性：

若y是關(guān)于x的二次函數(shù)，則y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）;如果y、x滿足y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0），則y是關(guān)于x的二次函數(shù).

4.對(duì)照一般形式介紹二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng);以黑板上的式子⑦w=240x2+180x+45為例，介紹相關(guān)項(xiàng)與系數(shù).

5.觀察⑦w=240x2+180x+45，思考：

①x取任何值，y是否都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)？

②二次函數(shù)自變量x的取值范圍是什么？（任意實(shí)數(shù)）

③若放在具體的總費(fèi)用w（元）或鏡面寬x（米）等實(shí)際問(wèn)題中，自變量x還能取任意實(shí)數(shù)嗎？（在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值要考慮實(shí)際意義）

說(shuō)明3：對(duì)于屬性下的概念教學(xué)，教師要理清概念的屬性，才能根據(jù)屬性構(gòu)建學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生抽象出概念的屬性.構(gòu)建學(xué)習(xí)活動(dòng)的目的是讓學(xué)生建立概念、理解概念、應(yīng)用概念，經(jīng)歷“給例子—找屬性—舉例子—下定義—再辨析”的過(guò)程.這一過(guò)程體現(xiàn)了建立概念的必要性、必然性，同時(shí)把新概念的本質(zhì)屬性推廣到同類事物，使學(xué)生掌握概念的本質(zhì)，延伸思考，從感性思維層面上升到理性思維層面.

環(huán)節(jié)3.內(nèi)化新知 初步運(yùn)用

判斷下列函數(shù)哪些是關(guān)于x的二次函數(shù)，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

教師總結(jié)關(guān)鍵點(diǎn)：表示函數(shù)的自變量代數(shù)式是二次整式.

說(shuō)明4：辨析概念的關(guān)鍵詞，以正例、反例為載體，用變式促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，不必辨析每個(gè)概念的內(nèi)涵與外延，只有核心概念、可定義的概念需要辨析.通過(guò)辨析，學(xué)生會(huì)掌握判斷二次函數(shù)的方法，進(jìn)一步理解二次函數(shù)的概念.

環(huán)節(jié)4：應(yīng)用新知 提高能力

例1 當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù)y=（k-1）xk2+k+1為關(guān)于x的二次函數(shù)？

例2 如圖1，矩形紙片長(zhǎng)為30 cm，寬為20 cm，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的正方形，請(qǐng)回答：圖1

（1）寫出剩余部分的面積s（cm2）與x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）當(dāng)x=5時(shí)，求s的值;

（3）求自變量x的取值范圍.

說(shuō)明5：通過(guò)上述兩道例題，學(xué)生深入理解了二次函數(shù)的概念，同時(shí)學(xué)習(xí)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.這兩道例題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，但最終服務(wù)于生活.

環(huán)節(jié)5：回顧總結(jié) 鞏固提高

1.我們共同初步學(xué)習(xí)了一種新的函數(shù)模型——二次函數(shù).

2.我們一起類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)，定義了二次函數(shù).

3.經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，學(xué)生加深了對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí).

4.學(xué)生提升了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理性認(rèn)識(shí)，回歸現(xiàn)實(shí)，用二次函數(shù)思想認(rèn)識(shí)生活.

說(shuō)明6：教師的小結(jié)不僅體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)的回歸，還滲透了數(shù)學(xué)思想方法.這是學(xué)習(xí)方法的總結(jié)，是對(duì)學(xué)生思考、推理建模過(guò)程的總結(jié).

三、感悟與反思

概念教學(xué)的關(guān)鍵在于揭示概念形成的必要性、必然性、合理性，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的自然生長(zhǎng)過(guò)程.教師通過(guò)問(wèn)題情境、思路歸納，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的屬性，提煉出本質(zhì)屬性，概括形成概念，并用定義表示.屬性下的概念教學(xué)應(yīng)該與概念形成的方式接近，概念教學(xué)不是“死教”概念，而是讓學(xué)生心里自然“生長(zhǎng)”出概念.

【參考文獻(xiàn)】

[1]卜以樓.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2018.