帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的推證方法

沙萍

【摘要】在帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式教學(xué)中，提出與教材不同的探究問題：是否能拆分函數(shù)的一次近似公式對(duì)應(yīng)的余項(xiàng)，分解出小的余項(xiàng)，得到函數(shù)精度高的近似公式？并以拆分余項(xiàng)作為“切入點(diǎn)”，采用探索式教學(xué)法，得出函數(shù)需要滿足的條件和函數(shù)帶有佩亞諾余項(xiàng)的二階泰勒公式.由此引導(dǎo)學(xué)生猜想并推證出函數(shù)帶有佩亞諾余項(xiàng)的三階泰勒公式.觀察函數(shù)滿足的條件與得到的帶有佩亞諾余項(xiàng)的二階、三階泰勒公式的形式之間的規(guī)律，利用數(shù)學(xué)歸納法，做出假設(shè)，再推證出函數(shù)帶有佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式.

【關(guān)鍵詞】佩亞諾余項(xiàng);泰勒公式;探索式教學(xué)法;拆分余項(xiàng)

一、在泰勒公式推證中應(yīng)用探索式教學(xué)法的意義

高等數(shù)學(xué)是我校在大學(xué)一年級(jí)開設(shè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，其核心是函數(shù)的微積分理論與應(yīng)用，是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課、參加數(shù)學(xué)建模等課題研究活動(dòng)及研究生升學(xué)考試所必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).但是高等數(shù)學(xué)是一門理論性很強(qiáng)的經(jīng)典課程，對(duì)初學(xué)者來說不容易理解和掌握.泰勒公式又是經(jīng)典中的經(jīng)典，被稱為經(jīng)典微分學(xué)的“皇冠”.如果按照教材的方法介紹帶有佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式，學(xué)生對(duì)函數(shù)滿足的條件及證明過程會(huì)感到費(fèi)解.

為了解決上述問題，我在教學(xué)中采用探索式教學(xué)法，先引導(dǎo)學(xué)生回顧原有知識(shí)，從中提出需要探索的問題，培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識(shí)”.再以問題為導(dǎo)向，尋找探索的“切入點(diǎn)”，啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生從簡單到復(fù)雜、由特殊到一般進(jìn)行探索.在探索實(shí)踐中發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和探究問題的好奇心.學(xué)生經(jīng)歷探究推證過程，能夠自然而然地得出結(jié)論，并對(duì)帶有佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式有了透徹理解.

二、帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的推證方法

1.知識(shí)回顧

這表明，將函數(shù)f（x）展成帶有佩亞諾余項(xiàng)Rn（x）=ο（（x-x0）n）的n次多項(xiàng)式，則展開式就是f（x）按（x-x0）的冪展開的帶有佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式.

這是利用間接法將函數(shù)展成帶有佩亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式的理論依據(jù).

綜合上述推證，可得出教材上的泰勒中值定理1.

三、結(jié) 語

基于探索式教學(xué)法推證帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式是一種比較好的教學(xué)形式.它能激發(fā)學(xué)生自身的潛能，使他們對(duì)所學(xué)內(nèi)容“知其然，也知其所以然”.同時(shí)鍛煉他們應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題的能力，培養(yǎng)他們創(chuàng)新思維，提高他們的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).“授之以魚，不如授之以漁”.這是教師應(yīng)該遵循的教學(xué)原則.

【參考文獻(xiàn)】

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