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    三大中值定理和泰勒公式在一道題中的幾種證明方法

    2017-03-18 15:17:29劉立漢
    新教育時代·教師版 2017年7期
    關(guān)鍵詞:泰勒公式

    劉立漢

    摘 要:本文通過微分等式中一道經(jīng)典題來舉例說明羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道題中的四種證明方法。

    關(guān)鍵詞:羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式

    羅爾定理(見[1] [2] [3] [4] [5])、拉格朗日中值定理(見[1] [2] [3] [4] [5])、柯西中值定理(見[1] [2] [3] [4] [5])和泰勒公式(見[1] [2] [3] [4] [5])是溝通函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的橋梁,在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)課程中有著廣泛的應(yīng)用。為此,本文通過微分等式中一道經(jīng)典題來舉例說明羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道題中的四種證明方法。

    例(見[6])設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),在開區(qū)間 內(nèi)二階可導(dǎo),證明:至少存在一點 ,使得 .

    證法一 由于對于固定的 和 , 為常數(shù),于是

    而又由達(dá)布定理可知:至少存在一點 ,使得 ,從而結(jié)論得證。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 李成章, 黃玉民, 數(shù)學(xué)分析(第二版, 上冊), 北京:科學(xué)出版社, 2007.

    [2] 歐陽光中, 朱學(xué)炎, 金福臨, 陳傳璋, 數(shù)學(xué)分析(第三版,上冊),北京:高等教育出版社, 2006.

    [3] 彭立中,譚小江, 數(shù)學(xué)分析(第一冊), 北京:高等教育出版社, 2005.

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