計算數(shù)學(xué)方向課程教學(xué)的思考

郭培昌

【摘要】對于數(shù)學(xué)類專業(yè)本科學(xué)生，計算數(shù)學(xué)方向課程是必不可少的一個模塊.該模塊課程涉及數(shù)學(xué)理論和計算機(jī)科學(xué)知識，覆蓋知識面廣，對學(xué)生的綜合能力要求高.本文以數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解兩門課程為例，針對計算數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，介紹教學(xué)改革的心得.筆者主要采取引入應(yīng)用案例、加強(qiáng)編程練習(xí)、分組合作、線上線下并重等方式，取得了不錯的教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用案例;小組合作;線上教學(xué);數(shù)值分析

計算數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個學(xué)科分支，是研究分析用計算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法及其理論的學(xué)科.該方向的課程，既有純粹數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)密科學(xué)性，又有具體應(yīng)用的廣泛性和實際實驗的技術(shù)性.計算數(shù)學(xué)模塊課程不同于其他模塊的數(shù)學(xué)課程，它有其自身學(xué)科特點，很有必要對該模塊課程的本科教學(xué)進(jìn)行研究和探索.

在信息科學(xué)與計算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，隨著大數(shù)據(jù)和人工智能技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代科學(xué)的研究內(nèi)容和方式發(fā)生了深刻的變化，數(shù)值計算方法內(nèi)容越來越重要.算法設(shè)計及算法理論分析，正在向各行業(yè)各學(xué)科滲透交叉，涌現(xiàn)了眾多新興學(xué)科方向，如，計算物理、計算化學(xué)、金融科技、生物信息，甚至出現(xiàn)在人文社會科學(xué)領(lǐng)域，如，計算語言學(xué)、計算法學(xué)等.培養(yǎng)大學(xué)生的算法思維已成為高等教育的一個重要任務(wù)，在這樣的大背景下，計算數(shù)學(xué)方向課程的學(xué)習(xí)，對于數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生，顯得極其重要.

筆者認(rèn)為，在計算數(shù)學(xué)模塊課程的教學(xué)中，教師需要注意它的兩個特點.第一，計算數(shù)學(xué)課程知識是“有用”的，它在各種實際問題中有廣泛的應(yīng)用.北京大學(xué)副校長張平文院士講：“計算無邊界，現(xiàn)在什么都可以做計算，而你不知不覺中就在做計算.”第二，計算數(shù)學(xué)方向課程知識有“交叉”和“跨領(lǐng)域”的特點.該模塊課程涉及數(shù)學(xué)理論知識、計算機(jī)科學(xué)知識和實際應(yīng)用問題的建模背景知識，覆蓋知識面廣.

對所有數(shù)學(xué)類專業(yè)本科學(xué)生，計算數(shù)學(xué)模塊的課程都是必修的課程模塊，其中包括數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解等課程.本文將基于中國地質(zhì)大學(xué)（北京）的本科教學(xué)實踐，以數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解兩門課程為例，來介紹我們的教學(xué)改革探索實踐和思考.

數(shù)值分析以數(shù)字計算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的理論和方法為研究對象.微分方程數(shù)值解通過數(shù)值計算方法，在計算機(jī)上對各種微分方程進(jìn)行近似求解.眾所周知，科學(xué)和工程中的大多數(shù)實際問題都?xì)w結(jié)為微分方程的定解問題，由于很難求得這些定解問題的解析解（在經(jīng)典意義下甚至沒有解），人們轉(zhuǎn)向求解它們的數(shù)值近似解.我們通常先對問題的求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限體積法等數(shù)值方法，對原定解問題或其等價形式離散，并歸結(jié)為一個線性代數(shù)方程組，最終在計算機(jī)上求得精確解在離散網(wǎng)格點上的近似值.求解過程涉及數(shù)值方法及其理論分析（穩(wěn)定性、收斂性、誤差估計）、計算機(jī)上的實現(xiàn)等一系列問題.同樣是因為這些特點，在教學(xué)過程中，往往要求學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實，綜合運用所學(xué)知識的能力較強(qiáng)，同時對教師的要求也相應(yīng)提高.如何在有限的課時內(nèi)盡可能地讓學(xué)生對這兩門學(xué)科產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，有比較全面基礎(chǔ)的認(rèn)識，甚至可以利用學(xué)科知識解決實際問題，是教學(xué)中的重點難點.經(jīng)過實踐，我們總結(jié)出以下幾種方式：

一、重視應(yīng)用案例的介紹

作為計算數(shù)學(xué)方向課程，數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解在實際生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用.重視相關(guān)應(yīng)用問題的背景知識介紹，適當(dāng)滲透對科技前沿應(yīng)用領(lǐng)域的介紹，加強(qiáng)與數(shù)學(xué)建模課程的聯(lián)系，會事半功倍地提升學(xué)生的主觀能動性.用數(shù)值計算方法能夠解決的實際問題是海量的，那么如何從海量的實際應(yīng)用問題中選擇教學(xué)案例？課題組通過討論思考，確定了案例選取的幾個原則：趣味性、與課程內(nèi)容聯(lián)系的緊密性、知識的前沿性.

比如，在講解最小二乘法時，教師給學(xué)生布置作業(yè)來預(yù)測大城市房價;在教學(xué)微分方程數(shù)值解課程時，教師可以介紹波音公司利用微分方程建模，采用數(shù)值模擬來進(jìn)行風(fēng)洞試驗，有效降低研發(fā)成本及縮減研發(fā)周期.在金融方面，金融領(lǐng)域的相關(guān)數(shù)據(jù)計算，需要用到數(shù)值分析中的大量知識.

我們通過給學(xué)生介紹這些應(yīng)用案例取得了實實在在的教學(xué)效果.一方面，學(xué)生看到了枯燥的理論定理、推導(dǎo)演算背后蘊(yùn)含的有趣的應(yīng)用，增加了知識的廣度，學(xué)習(xí)熱情空前高漲.另一方面，在介紹應(yīng)用案例時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)術(shù)研究深入思考，通過介紹一些前沿的論文，激發(fā)學(xué)生的學(xué)術(shù)熱情，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的深度.教學(xué)相長，教師也可以從學(xué)生年輕活躍的思維中獲得看問題的另一種角度.教師通過鼓勵同學(xué)上臺分享自己對前沿學(xué)術(shù)或者涉及相關(guān)知識的論文的見解，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，活躍課堂氣氛.

二、布置相應(yīng)的上機(jī)作業(yè)、增加上機(jī)操作練習(xí)時間

數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解這兩門課程，與計算機(jī)聯(lián)系緊密.針對這一特點，增加上機(jī)操作這樣的實踐經(jīng)歷，可以讓學(xué)生加深對知識的理解，切實體會書中各個方法的優(yōu)缺點，培養(yǎng)學(xué)生的動手編程能力，同時提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.數(shù)值實驗的直觀結(jié)果也可以大大增加學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性.比如，教學(xué)數(shù)值分析課程中非線性方程求根時，教師通過編程描點畫圖，可以在屏幕上觀察到每一步迭代解與真實解的距離.此外，在上機(jī)操作課上，教師通過示范編程，并近距離觀察指導(dǎo)學(xué)生，可以及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題，督促學(xué)生改正.

以上方式不僅提高了學(xué)生的動手編程水平，更增加了學(xué)生利用課程知識、編程解決實際問題的信心和勇氣.學(xué)生反饋說：“當(dāng)我發(fā)現(xiàn)自己可以完全獨立完成平時的編程作業(yè)后，我逐漸有了編程的自信心，敢于嘗試完成大型的編程項目，比如完成數(shù)學(xué)建模競賽題目的編程.”有時候，信心比黃金重要，看到學(xué)生反饋說自己更自信了，作為任課教師我感到非常的開心.另一方面，學(xué)生在編程時可以對算法的本身進(jìn)行更充分透徹的了解.學(xué)生反饋說：“在程序反復(fù)報錯與對錯誤的修正中，我加深了對算法相關(guān)數(shù)學(xué)原理的理解，明白了算法設(shè)計的精妙之處.”在調(diào)試程序的過程中，學(xué)生還養(yǎng)成了耐心和細(xì)心等良好品質(zhì).

三、以小組為單位，加強(qiáng)合作交流，鼓勵共同進(jìn)步

教師要布置一些以小組為單位完成的上機(jī)作業(yè)和習(xí)題作業(yè)，以小組為單位共同完成，讓學(xué)生在課后有更多的交流討論的機(jī)會.課下時間相較課上時間充裕且輕松，很多學(xué)生課上沒完全搞懂的知識，通過同學(xué)們之間的相互學(xué)習(xí)、相互幫助，會茅塞頓開，疑惑全無.

分組學(xué)習(xí)并完成小組作業(yè)帶來的好處是顯而易見的.首先，一個人可能會有惰性，不愿意投入時間主動學(xué)習(xí)，不能夠長期保持勤奮用功的狀態(tài)，但是小組討論能起到一個督促鞭策的作用.更重要的是，在解決具體題目搞懂具體知識方面，學(xué)生通過小組合作，能切實體驗到合作共贏的好處.特別是計算數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，涉及大量的計算機(jī)操作方面的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和編程語法知識.計算機(jī)相關(guān)的編程語法知識是實踐性獲得的知識，就是說，知識本身并沒有難度，但是需要你知道有這個知識.以小組為單位進(jìn)行協(xié)作、交流，可以讓學(xué)生學(xué)到更多知識，“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”，小組合作能輕松解決之前個人單打獨斗遇到的問題.更重要的是學(xué)生學(xué)習(xí)了如何與他人合作.

另外，分組學(xué)習(xí)幫助學(xué)生培養(yǎng)建立了團(tuán)隊合作精神.在分組學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以有更多的機(jī)會溝通交流，在與人相處、人際交往方面有更多的進(jìn)步.在和人交流的過程中，學(xué)生也鍛煉了自己的語言總結(jié)和概況表達(dá)能力.這對于學(xué)生將來畢業(yè)后的職業(yè)生涯以及人生是大有裨益的.在走上工作崗位后的實際工程計算問題中，編程通常是一個較大的團(tuán)隊分工協(xié)作完成的.例如，百度的無人駕駛軟件平臺，涉及上千人協(xié)同編程.因此，建立良好的團(tuán)隊合作精神，掌握相應(yīng)的原則技巧是很重要的.

四、提供線上資源，做好課下學(xué)習(xí).

在課堂教學(xué)的同時，我們可以向?qū)W生推薦一些優(yōu)質(zhì)的、和本校教學(xué)任務(wù)相近或一致的課程教學(xué)視頻，供學(xué)生在課下時間學(xué)習(xí).結(jié)合我校學(xué)生實際，在我們的教學(xué)實踐中，主要是充分利用“中國大學(xué)慕課”和“愛課程”等平臺的優(yōu)質(zhì)課程資源，例如，慕課網(wǎng)站上東北大學(xué)的數(shù)值分析課程，“超星”平臺上大連理工大學(xué)的偏微分方程數(shù)值解課程.

教師要注意挑選優(yōu)質(zhì)視頻課.教師在挑選視頻課程時，要考察攝制方面的一些技術(shù)指標(biāo).比如，視頻中的音頻和教師的課件板書需要足夠清晰.筆者觀察到，很多視頻課不符合上述要求.還有很重要的一點，攝像機(jī)在課件和板書上面停留的時間最好占整個視頻課的70%以上.這是由數(shù)學(xué)類課程的特點所決定的.例如，微分方程數(shù)值解的課程涉及很多的方程式推導(dǎo)演算，部分視頻課的授課教師所錄視頻課程，攝像機(jī)一直對著教師而不是課件，學(xué)生在聽教師講方程式的時候，屏幕上出現(xiàn)的是教師而不是方程式.這樣的視頻課效果是不好的.所以，我們在篩選視頻的時候要注意這一點，在錄制技術(shù)方面要過關(guān).

此外，授人以魚不如授人以漁，打魚的技術(shù)比魚本身更重要.筆者的感悟是，將學(xué)生指引到魚群數(shù)量多的區(qū)域，也是重要的.不論漁夫的打魚水平高低，如果在魚群數(shù)量多的區(qū)域，隨便一網(wǎng)撒下去，就能捕獲到很多魚.同樣的道理適用于學(xué)生學(xué)習(xí).在提供給學(xué)生足量優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)資源后，學(xué)生收獲更多知識的可能性會大大增加.因此，在利用優(yōu)質(zhì)慕課資源進(jìn)行線上線下混合教學(xué)時，任課教師要注意給學(xué)生提供足夠的優(yōu)質(zhì)課程資料，包括慕課資源，從而獲得更好的教學(xué)質(zhì)量.

綜上所述，教學(xué)改革是一項長期工作，需要不斷持續(xù)探索實踐和思考.路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索.在今后，我們將繼續(xù)探索計算數(shù)學(xué)方向課程的教學(xué)方式，使算法理論更好地融入實際應(yīng)用，進(jìn)一步增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性.

未來我們將深入探索如何培養(yǎng)優(yōu)秀學(xué)生.在拔尖人才培養(yǎng)方面，我們將借鑒兄弟院校優(yōu)秀經(jīng)驗，同時結(jié)合我校自身特點，計劃開展分層培養(yǎng)，針對學(xué)優(yōu)生，實施拔尖學(xué)生培養(yǎng)計劃.具體措施包括：為每個入選拔尖計劃的學(xué)優(yōu)生配備課程相關(guān)的學(xué)業(yè)導(dǎo)師，將學(xué)優(yōu)生引入科研前沿領(lǐng)域;給學(xué)優(yōu)生提供更充足的參考書、教學(xué)講義、計算機(jī)實驗設(shè)備等資源;積極籌措項目經(jīng)費，力爭讓每一個在讀本科生有至少一次參加學(xué)術(shù)會議的機(jī)會等.

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