計算數(shù)學方向課程教學的思考

郭培昌

【摘要】對于數(shù)學類專業(yè)本科學生，計算數(shù)學方向課程是必不可少的一個模塊.該模塊課程涉及數(shù)學理論和計算機科學知識，覆蓋知識面廣，對學生的綜合能力要求高.本文以數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解兩門課程為例，針對計算數(shù)學學科的特點，介紹教學改革的心得.筆者主要采取引入應用案例、加強編程練習、分組合作、線上線下并重等方式，取得了不錯的教學效果.

【關鍵詞】應用案例;小組合作;線上教學;數(shù)值分析

計算數(shù)學作為數(shù)學的一個學科分支，是研究分析用計算機求解數(shù)學問題的數(shù)值計算方法及其理論的學科.該方向的課程，既有純粹數(shù)學的高度抽象性和嚴密科學性，又有具體應用的廣泛性和實際實驗的技術性.計算數(shù)學模塊課程不同于其他模塊的數(shù)學課程，它有其自身學科特點，很有必要對該模塊課程的本科教學進行研究和探索.

在信息科學與計算機技術飛速發(fā)展的今天，隨著大數(shù)據(jù)和人工智能技術的飛速發(fā)展，現(xiàn)代科學的研究內容和方式發(fā)生了深刻的變化，數(shù)值計算方法內容越來越重要.算法設計及算法理論分析，正在向各行業(yè)各學科滲透交叉，涌現(xiàn)了眾多新興學科方向，如，計算物理、計算化學、金融科技、生物信息，甚至出現(xiàn)在人文社會科學領域，如，計算語言學、計算法學等.培養(yǎng)大學生的算法思維已成為高等教育的一個重要任務，在這樣的大背景下，計算數(shù)學方向課程的學習，對于數(shù)學類專業(yè)的本科生，顯得極其重要.

筆者認為，在計算數(shù)學模塊課程的教學中，教師需要注意它的兩個特點.第一，計算數(shù)學課程知識是“有用”的，它在各種實際問題中有廣泛的應用.北京大學副校長張平文院士講：“計算無邊界，現(xiàn)在什么都可以做計算，而你不知不覺中就在做計算.”第二，計算數(shù)學方向課程知識有“交叉”和“跨領域”的特點.該模塊課程涉及數(shù)學理論知識、計算機科學知識和實際應用問題的建模背景知識，覆蓋知識面廣.

對所有數(shù)學類專業(yè)本科學生，計算數(shù)學模塊的課程都是必修的課程模塊，其中包括數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解等課程.本文將基于中國地質大學（北京）的本科教學實踐，以數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解兩門課程為例，來介紹我們的教學改革探索實踐和思考.

數(shù)值分析以數(shù)字計算機求解數(shù)學問題的理論和方法為研究對象.微分方程數(shù)值解通過數(shù)值計算方法，在計算機上對各種微分方程進行近似求解.眾所周知，科學和工程中的大多數(shù)實際問題都歸結為微分方程的定解問題，由于很難求得這些定解問題的解析解（在經(jīng)典意義下甚至沒有解），人們轉向求解它們的數(shù)值近似解.我們通常先對問題的求解區(qū)域進行網(wǎng)格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限體積法等數(shù)值方法，對原定解問題或其等價形式離散，并歸結為一個線性代數(shù)方程組，最終在計算機上求得精確解在離散網(wǎng)格點上的近似值.求解過程涉及數(shù)值方法及其理論分析（穩(wěn)定性、收斂性、誤差估計）、計算機上的實現(xiàn)等一系列問題.同樣是因為這些特點，在教學過程中，往往要求學生基礎知識扎實，綜合運用所學知識的能力較強，同時對教師的要求也相應提高.如何在有限的課時內盡可能地讓學生對這兩門學科產生學習興趣，有比較全面基礎的認識，甚至可以利用學科知識解決實際問題，是教學中的重點難點.經(jīng)過實踐，我們總結出以下幾種方式：

一、重視應用案例的介紹

作為計算數(shù)學方向課程，數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解在實際生產生活中有著廣泛的應用.重視相關應用問題的背景知識介紹，適當滲透對科技前沿應用領域的介紹，加強與數(shù)學建模課程的聯(lián)系，會事半功倍地提升學生的主觀能動性.用數(shù)值計算方法能夠解決的實際問題是海量的，那么如何從海量的實際應用問題中選擇教學案例？課題組通過討論思考，確定了案例選取的幾個原則：趣味性、與課程內容聯(lián)系的緊密性、知識的前沿性.

比如，在講解最小二乘法時，教師給學生布置作業(yè)來預測大城市房價;在教學微分方程數(shù)值解課程時，教師可以介紹波音公司利用微分方程建模，采用數(shù)值模擬來進行風洞試驗，有效降低研發(fā)成本及縮減研發(fā)周期.在金融方面，金融領域的相關數(shù)據(jù)計算，需要用到數(shù)值分析中的大量知識.

我們通過給學生介紹這些應用案例取得了實實在在的教學效果.一方面，學生看到了枯燥的理論定理、推導演算背后蘊含的有趣的應用，增加了知識的廣度，學習熱情空前高漲.另一方面，在介紹應用案例時，教師可以引導學生對學術研究深入思考，通過介紹一些前沿的論文，激發(fā)學生的學術熱情，加強學生學習知識的深度.教學相長，教師也可以從學生年輕活躍的思維中獲得看問題的另一種角度.教師通過鼓勵同學上臺分享自己對前沿學術或者涉及相關知識的論文的見解，可以培養(yǎng)學生學習的主觀能動性，活躍課堂氣氛.

二、布置相應的上機作業(yè)、增加上機操作練習時間

數(shù)值分析和微分方程數(shù)值解這兩門課程，與計算機聯(lián)系緊密.針對這一特點，增加上機操作這樣的實踐經(jīng)歷，可以讓學生加深對知識的理解，切實體會書中各個方法的優(yōu)缺點，培養(yǎng)學生的動手編程能力，同時提高學生的學習興趣.數(shù)值實驗的直觀結果也可以大大增加學生學習的趣味性.比如，教學數(shù)值分析課程中非線性方程求根時，教師通過編程描點畫圖，可以在屏幕上觀察到每一步迭代解與真實解的距離.此外，在上機操作課上，教師通過示范編程，并近距離觀察指導學生，可以及時發(fā)現(xiàn)學生學習中的問題，督促學生改正.

以上方式不僅提高了學生的動手編程水平，更增加了學生利用課程知識、編程解決實際問題的信心和勇氣.學生反饋說：“當我發(fā)現(xiàn)自己可以完全獨立完成平時的編程作業(yè)后，我逐漸有了編程的自信心，敢于嘗試完成大型的編程項目，比如完成數(shù)學建模競賽題目的編程.”有時候，信心比黃金重要，看到學生反饋說自己更自信了，作為任課教師我感到非常的開心.另一方面，學生在編程時可以對算法的本身進行更充分透徹的了解.學生反饋說：“在程序反復報錯與對錯誤的修正中，我加深了對算法相關數(shù)學原理的理解，明白了算法設計的精妙之處.”在調試程序的過程中，學生還養(yǎng)成了耐心和細心等良好品質.

三、以小組為單位，加強合作交流，鼓勵共同進步

教師要布置一些以小組為單位完成的上機作業(yè)和習題作業(yè)，以小組為單位共同完成，讓學生在課后有更多的交流討論的機會.課下時間相較課上時間充裕且輕松，很多學生課上沒完全搞懂的知識，通過同學們之間的相互學習、相互幫助，會茅塞頓開，疑惑全無.

分組學習并完成小組作業(yè)帶來的好處是顯而易見的.首先，一個人可能會有惰性，不愿意投入時間主動學習，不能夠長期保持勤奮用功的狀態(tài)，但是小組討論能起到一個督促鞭策的作用.更重要的是，在解決具體題目搞懂具體知識方面，學生通過小組合作，能切實體驗到合作共贏的好處.特別是計算數(shù)學課程的學習，涉及大量的計算機操作方面的系統(tǒng)結構和編程語法知識.計算機相關的編程語法知識是實踐性獲得的知識，就是說，知識本身并沒有難度，但是需要你知道有這個知識.以小組為單位進行協(xié)作、交流，可以讓學生學到更多知識，“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”，小組合作能輕松解決之前個人單打獨斗遇到的問題.更重要的是學生學習了如何與他人合作.

另外，分組學習幫助學生培養(yǎng)建立了團隊合作精神.在分組學習中，學生可以有更多的機會溝通交流，在與人相處、人際交往方面有更多的進步.在和人交流的過程中，學生也鍛煉了自己的語言總結和概況表達能力.這對于學生將來畢業(yè)后的職業(yè)生涯以及人生是大有裨益的.在走上工作崗位后的實際工程計算問題中，編程通常是一個較大的團隊分工協(xié)作完成的.例如，百度的無人駕駛軟件平臺，涉及上千人協(xié)同編程.因此，建立良好的團隊合作精神，掌握相應的原則技巧是很重要的.

四、提供線上資源，做好課下學習.

在課堂教學的同時，我們可以向學生推薦一些優(yōu)質的、和本校教學任務相近或一致的課程教學視頻，供學生在課下時間學習.結合我校學生實際，在我們的教學實踐中，主要是充分利用“中國大學慕課”和“愛課程”等平臺的優(yōu)質課程資源，例如，慕課網(wǎng)站上東北大學的數(shù)值分析課程，“超星”平臺上大連理工大學的偏微分方程數(shù)值解課程.

教師要注意挑選優(yōu)質視頻課.教師在挑選視頻課程時，要考察攝制方面的一些技術指標.比如，視頻中的音頻和教師的課件板書需要足夠清晰.筆者觀察到，很多視頻課不符合上述要求.還有很重要的一點，攝像機在課件和板書上面停留的時間最好占整個視頻課的70%以上.這是由數(shù)學類課程的特點所決定的.例如，微分方程數(shù)值解的課程涉及很多的方程式推導演算，部分視頻課的授課教師所錄視頻課程，攝像機一直對著教師而不是課件，學生在聽教師講方程式的時候，屏幕上出現(xiàn)的是教師而不是方程式.這樣的視頻課效果是不好的.所以，我們在篩選視頻的時候要注意這一點，在錄制技術方面要過關.

此外，授人以魚不如授人以漁，打魚的技術比魚本身更重要.筆者的感悟是，將學生指引到魚群數(shù)量多的區(qū)域，也是重要的.不論漁夫的打魚水平高低，如果在魚群數(shù)量多的區(qū)域，隨便一網(wǎng)撒下去，就能捕獲到很多魚.同樣的道理適用于學生學習.在提供給學生足量優(yōu)質的學習資源后，學生收獲更多知識的可能性會大大增加.因此，在利用優(yōu)質慕課資源進行線上線下混合教學時，任課教師要注意給學生提供足夠的優(yōu)質課程資料，包括慕課資源，從而獲得更好的教學質量.

綜上所述，教學改革是一項長期工作，需要不斷持續(xù)探索實踐和思考.路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.在今后，我們將繼續(xù)探索計算數(shù)學方向課程的教學方式，使算法理論更好地融入實際應用，進一步增加學生的學習興趣，提升學生學習的主觀能動性.

未來我們將深入探索如何培養(yǎng)優(yōu)秀學生.在拔尖人才培養(yǎng)方面，我們將借鑒兄弟院校優(yōu)秀經(jīng)驗，同時結合我校自身特點，計劃開展分層培養(yǎng)，針對學優(yōu)生，實施拔尖學生培養(yǎng)計劃.具體措施包括：為每個入選拔尖計劃的學優(yōu)生配備課程相關的學業(yè)導師，將學優(yōu)生引入科研前沿領域;給學優(yōu)生提供更充足的參考書、教學講義、計算機實驗設備等資源;積極籌措項目經(jīng)費，力爭讓每一個在讀本科生有至少一次參加學術會議的機會等.

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