古今中外話記數(shù) 親觸演變過(guò)程
——HPM視角下“認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

□竺君斐 周 潔

一、教材編排

“認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”，是數(shù)認(rèn)識(shí)序列中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行教材中，比較通用的人教版、北師大版、蘇教版教材雖然在例題呈現(xiàn)時(shí)都沒(méi)有結(jié)合歷史，而是省略了其產(chǎn)生時(shí)復(fù)雜和反復(fù)的歷程，只保留了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、間接性的邏輯結(jié)構(gòu)，但教材在編排這塊內(nèi)容時(shí)卻有一個(gè)共同點(diǎn)，即在該章節(jié)后面設(shè)置了“你知道嗎”“讀一讀，講一講”等小欄目，補(bǔ)充介紹中國(guó)古代記數(shù)的方法——算籌記數(shù)法。具體見(jiàn)表1所示。

二、問(wèn)題聚焦與課前思考

學(xué)生學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”時(shí)，已經(jīng)臨近認(rèn)識(shí)自然數(shù)的“收官”階段。在這一階段的教學(xué)中，教師有必要幫助學(xué)生梳理自然數(shù)產(chǎn)生發(fā)展的歷史，尤其是結(jié)合教材提供的史料，梳理“算籌記數(shù)”的發(fā)展過(guò)程。梳理中要清晰以下三個(gè)問(wèn)題。

其一：為什么要讓學(xué)生了解算籌記數(shù)

站在歷史的角度看待數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)有著悠久的歷史”“數(shù)學(xué)是人類的文化活動(dòng)”的道理。

表1

其二：中國(guó)古人為什么要?jiǎng)?chuàng)造橫向、縱向兩種算籌表示方法

從表1 可以看出，算籌用1 根小棒表示1，用2根小棒表示2，若要表示12，就得把十位的1根小棒和個(gè)位的2 根小棒放在一起?？瓷先ハ? 根小棒，12與3容易造成混淆。中國(guó)古人為了區(qū)別12與3，發(fā)明并規(guī)定用橫向與縱向兩種不同形式表示不同數(shù)值的數(shù)。

其三：中國(guó)古人的算籌記數(shù)方法有何優(yōu)點(diǎn)

中國(guó)古人的算籌記數(shù)采用“十進(jìn)位值制”的方法來(lái)表示數(shù)（如圖1），而作為文明古國(guó)之一的古埃及，在同一時(shí)期采用的是計(jì)數(shù)單位累加的方法（如圖2）。

圖1 我國(guó)古人用算籌記數(shù)法表示6728（北師大版教材二年級(jí)下冊(cè)第26頁(yè)）

圖2 古埃及人用“計(jì)數(shù)單位累加”的方法表示235

對(duì)比以上兩個(gè)記數(shù)法可發(fā)現(xiàn)，我國(guó)的算籌記數(shù)法更簡(jiǎn)潔方便。我國(guó)算籌記數(shù)采用的是“十進(jìn)位值制”，這是我國(guó)古人的一大創(chuàng)舉。英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟先生曾對(duì)這種記數(shù)法予以很高評(píng)價(jià)。他說(shuō)：“總的來(lái)說(shuō)，商代的數(shù)字系統(tǒng)比古巴比倫和古埃及同一時(shí)代的字體更為先進(jìn)、更為科學(xué)。”他還指出：“在中國(guó)，只用九個(gè)數(shù)字同位值名稱相結(jié)合的記數(shù)法，早在公元前14世紀(jì)就已經(jīng)出現(xiàn)了。在印度，則直到公元6世紀(jì)，才放棄了對(duì)十的倍數(shù)所采用的專門符號(hào)?！?/p>

三、HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.借助數(shù)學(xué)史料，了解數(shù)的發(fā)展歷史，認(rèn)識(shí)“十進(jìn)位值制”。

2.經(jīng)歷HPM 視角下動(dòng)態(tài)化的知識(shí)演變過(guò)程，感受數(shù)學(xué)史料的文化魅力。通過(guò)探究活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔美。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

1.借助方塊直觀模型，理解數(shù)位意義。

（1）課件有序出示小方塊（1 個(gè)、10 個(gè)、100 個(gè)、1000個(gè)），復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)單位個(gè)十、百、千。

（2）課件出示235個(gè)小方塊，明確235由2個(gè)百3個(gè)十5個(gè)一組成。

（3）追問(wèn)：為什么2、3、5 三個(gè)數(shù)字可以表示那么多的小方塊呢？為什么2可以表示2個(gè)百？

（4）歸納：數(shù)在不同的數(shù)位上，表示不同的數(shù)量。個(gè)位、十位、百位、千位就是數(shù)位。

2.了解中國(guó)古代的算籌記數(shù)法，探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）了解中國(guó)古代的算籌記數(shù)法。

①課件出示算籌1～9 的圖片。介紹2000 多年前，我國(guó)古人用算籌來(lái)記數(shù)。

②介紹算籌記數(shù)有橫式與縱式兩種表示方法。

③觀察思考6 為什么改變擺法，明確“以一當(dāng)五”更簡(jiǎn)約美觀。

④練習(xí)。出示算籌記數(shù)的圖片，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)各圖分別表示幾，它們各是什么擺法。（略）

（2）嘗試用算籌記數(shù)法表示235。

①學(xué)生獨(dú)立嘗試。

②呈現(xiàn)學(xué)生作品。

③交流評(píng)價(jià)。請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)喜歡哪幅作品并說(shuō)明理由。

④課件演示正確書寫方法，在作品3 后面打鉤。同時(shí)表?yè)P(yáng)4 號(hào)作品，雖然反了，但是他這種縱橫交替的思想特別寶貴。

（3）嘗試用算籌記數(shù)法表示5555。

①學(xué)生獨(dú)立嘗試。

②作品反饋。

3.介紹古埃及的記數(shù)方法。

（1）介紹古埃及的記數(shù)方法。

①課件出示圖3，介紹1～9，10，100，1000，10000的表示方法。

圖3 古埃及的記數(shù)方法

②出示用古埃及的記數(shù)方法表示的235。

（2）學(xué)生嘗試用古埃及的記數(shù)方法表示5555。

（3）交流用古埃及的記數(shù)方法表示的5555 各部分的含義。

圖4 用古埃及的記數(shù)方法表示的5555

4.對(duì)比古埃及的記數(shù)方法和中國(guó)古代的算籌記數(shù)法，感受十進(jìn)位值制的價(jià)值。

師：對(duì)比2000 多年前古埃及的5555 與古代中國(guó)的5555表示的方法，你想說(shuō)些什么？

生：古埃及記數(shù)法中的千百十一有專門的符號(hào)，而我國(guó)古代的算籌記數(shù)法是用位置來(lái)加以區(qū)分的。

生：古埃及的太麻煩，我國(guó)古代的算籌記數(shù)法更方便。

生：作為中國(guó)人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

5.對(duì)比中國(guó)古代的算籌記數(shù)法和現(xiàn)代記數(shù)法。

6.小結(jié)。

師：數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔美，我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)凝聚了一代又一代數(shù)學(xué)家的努力和智慧。用不同的數(shù)位表示個(gè)十、百、千，叫作“十進(jìn)位值制”，它是古代中國(guó)人民貢獻(xiàn)的智慧。

四、HPM視角下教學(xué)設(shè)計(jì)的價(jià)值探尋

華東師范大學(xué)的汪曉勤教授將HPM研究?jī)r(jià)值歸納為“知識(shí)之諧”“方法之美”“探究之樂(lè)”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。HPM視角下“認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)以上六大價(jià)值均有所體現(xiàn)。

了解算籌的記數(shù)方法，體會(huì)“以一當(dāng)五”，這是感受“知識(shí)之諧”；讓學(xué)生嘗試探究“中國(guó)古人表示235 的方法”，體悟的是數(shù)學(xué)的“探究之樂(lè)”；經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過(guò)程，明白縱橫交替擺法的優(yōu)勢(shì)，發(fā)揮學(xué)生的能動(dòng)性，是“能力之助”；在古埃及、古代中國(guó)算籌和阿拉伯?dāng)?shù)的記數(shù)方法對(duì)比中，感受古埃及記數(shù)方法的繁雜，體會(huì)中國(guó)算籌十進(jìn)位值制的價(jià)值，感受古代中國(guó)人民的偉大，是“德育之效”；在歷史發(fā)展進(jìn)程中，感受數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展、不斷前進(jìn)的，數(shù)學(xué)是屬于全世界人類的一項(xiàng)文化成果，體會(huì)的是“文化之魅”。

這樣的設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化知識(shí)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分體現(xiàn)了HPM視角下“趣味性”“科學(xué)性”“有效性”“可學(xué)性”“新穎性”五大設(shè)計(jì)原則。學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得扎實(shí)。