列車車輪輻射聲場(chǎng)的有限元法-邊界元法研究

汶曉強(qiáng)，靳偉江，石煥文

(長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院，西安 710064)

伴隨著我國(guó)鐵路不斷提速，列車本身的動(dòng)力作用及軌道不平順，使得列車輪軌間產(chǎn)生的振動(dòng)愈加劇烈，鐵路振動(dòng)與噪聲問(wèn)題日益嚴(yán)重，這越來(lái)越引起人們的注意。振動(dòng)和噪聲已被國(guó)際上列入七大環(huán)境公害。根據(jù)鐵路噪聲的產(chǎn)生機(jī)理和產(chǎn)生部位的不同，鐵路噪聲大致可分為輪 軌 噪 聲 、空 氣 動(dòng) 力 學(xué) 噪 聲 、集 電 系 統(tǒng) 噪 聲 、附 屬 設(shè) 備 噪 聲 、機(jī) 電 牽 引 噪 聲 和 結(jié) 構(gòu) 二 次 振 動(dòng) 輻 射 噪 聲[1]。研究表明，當(dāng)列車運(yùn)行速度在300 km/h以下時(shí)，輪軌噪聲為最主要的噪聲源[2]。依照輪軌噪聲產(chǎn)生機(jī)理，其可分為以下三類：分別為沖擊噪聲、嘯叫噪聲和滾動(dòng)噪聲。其中由輪軌表面不平順引起的輪軌振動(dòng)所輻射的噪聲稱為滾動(dòng)噪聲。根據(jù)高速鐵路的特點(diǎn)，其均采用超長(zhǎng)無(wú)縫鐵路且大多曲線半徑較大，使得輪軌噪聲中影響沖擊噪聲和嘯叫噪聲的因素得以控制，因此最主要的輪軌噪聲源為滾動(dòng)噪聲，因而對(duì)其進(jìn)行研究顯得尤為重要。日本學(xué)者Sato針對(duì)車輪聲輻射采用有限元法-邊界元法相結(jié)合的方法對(duì)各部位特性及各部位的聲輻射貢獻(xiàn)大小進(jìn)行研究[3]。房建英等采用有限元法-邊界元法相結(jié)合的方法在考慮濾波效應(yīng)的背景下，研究了在不平順譜激勵(lì)下的車輪振動(dòng)和其聲輻射特性[4]。

本文主要研究高速鐵路列車車輪受到輪軌表面不平順激勵(lì)后的振動(dòng)發(fā)聲，所采取的方法是利用有限元法(FEM)在ANSYS中建立車輪和軌道的三維有限元模型并對(duì)其振動(dòng)模態(tài)和位移導(dǎo)納特性進(jìn)行研究，將有限元分析得到諧響應(yīng)結(jié)果導(dǎo)入到聲學(xué)邊界元軟件Virtual.lab中計(jì)算單位力作用下的車輪輻射聲場(chǎng)，根據(jù)有限元分析得到的輪軌位移導(dǎo)納與輪軌表面不平順Sato譜，計(jì)算得到真實(shí)的輪軌力，將單位輪軌力作用下所得聲功率頻譜與真實(shí)激勵(lì)下的輪軌力頻譜的平方相乘，得到真實(shí)激勵(lì)下的聲功率頻譜[5]。

1 輪軌相互作用力

當(dāng)輪對(duì)在表面不平順的鋼軌上移動(dòng)時(shí)，即會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的動(dòng)力荷載，將輪軌相互作用采用赫茲彈簧模擬，把輪對(duì)與鋼軌的表面不平順合起來(lái)用表示。由于其表面粗糙度的改變，赫茲彈簧被拉伸，故而產(chǎn)生相應(yīng)的赫茲力。

假定車輛的運(yùn)行速度v，車輪簡(jiǎn)化質(zhì)量Mω，赫茲非線性接觸彈簧的線性化結(jié)果用kH表示，車輪運(yùn)動(dòng)方程可寫成：

Mωx''ω=-kH(xω-xr-r)

(1)

式中xω表示車輪的動(dòng)位移，xr表示鋼軌在輪軌接觸點(diǎn)的動(dòng)位移，輪軌表面不平順r下凹為正，上凸為負(fù)。因車輛靜載引起的位移可通過(guò)坐標(biāo)系原點(diǎn)的選擇加以消除。式(1)等號(hào)右邊表示向下為正動(dòng)態(tài)輪軌力F，可以在頻域中表示為：

F=kH(xω-xr-R)

(2)

若已知車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)在輪軌接觸點(diǎn)處的動(dòng)柔度分別為αW、αR，則式(2)可寫成：

(3)

式中αC=1/kH為輪軌接觸的動(dòng)柔度。故可由(3)式得由輪軌表面不平順引起的動(dòng)態(tài)輪軌力計(jì)算式：

(4)

2 車輪振動(dòng)與聲輻射特性分析

2.1 車輪模態(tài)分析

本文所建車輪采用鋼質(zhì)材料，彈性模量E=2.1×105MPa，密度ρ=7.8×103kg/m3，泊松比σ0.33，直徑920 mm，將輪轂孔處設(shè)為全約束狀態(tài)，只考慮輪對(duì)自身，忽略車輪腹板及孔徑。在SOLIDWORKS建立模型后將其導(dǎo)入 ANSYS 進(jìn)行網(wǎng)格劃分及模態(tài)導(dǎo)納部分計(jì)算。車輪模型如圖1所示，節(jié)點(diǎn)數(shù)為39 424個(gè)，單元數(shù)為35 032個(gè)。車輪振動(dòng)模態(tài)以節(jié)徑數(shù)和節(jié)圓數(shù)表示，分別為軸向模態(tài)(m,n)，徑向模態(tài)(r,n)及周向模態(tài)(c,n)[6]。

本文采用 ANSYS 中的Block Lanzos法對(duì)0～10 000 Hz范圍內(nèi)的車輪模態(tài)和振型進(jìn)行計(jì)算。并通過(guò)表1將車輪軸向、徑向和周向模態(tài)對(duì)應(yīng)的在0～6000 Hz左右典型的固有頻率和振型分布情況逐一列出。

2.2 車輪諧響應(yīng)分析

本文通過(guò)對(duì)車輪的諧響應(yīng)分析進(jìn)而得出車輪導(dǎo)納幅值。本文車輪諧響應(yīng)計(jì)算設(shè)定的頻率區(qū)間為1～5000 Hz，步長(zhǎng)1 Hz，在名義接觸點(diǎn)處施加單位徑向激勵(lì)。得到如圖2a所示在徑向單位激勵(lì)下車輪原點(diǎn)處的徑向位移導(dǎo)納圖，通過(guò)與圖2b所示的文獻(xiàn)[7]中車輪原點(diǎn)徑向位移導(dǎo)納進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文所建模型的正確性。

表1 車輪的模態(tài)固有頻率和振型

a. 本文所建模型計(jì)算結(jié)果 b. 文獻(xiàn)[7]中的車輪位移導(dǎo)納

從圖2中我們可以看出，輪軌接觸點(diǎn)處車輪徑向?qū)Ъ{變化劇烈，幅值變化大，在計(jì)算頻率范圍內(nèi)自振頻率較多?？傮w上看，高頻范圍的位移導(dǎo)納比低頻范圍稍小；在計(jì)算頻率范圍內(nèi)共振頻率出現(xiàn)較多，且在每個(gè)共振頻率后，都對(duì)應(yīng)出現(xiàn)一個(gè)低響應(yīng)的反共振頻率。

2.3 單位力作用下的車輪聲輻射特性

將有限元軟件Ansys建立的網(wǎng)格模型導(dǎo)入LMS Virtual.Lab形成車輪結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，以上節(jié)所得到的車輪諧響應(yīng)計(jì)算結(jié)果作為位移邊界條件。根據(jù)車輪幾何形狀特點(diǎn)，采用直接邊界元法計(jì)算車輪外部聲輻射，模型流體介質(zhì)為空氣，取空氣密度ρ=1.225 kg/m3，空氣中聲速v=340 m/s。計(jì)算頻率范圍為0～5000 Hz，步長(zhǎng)20 Hz。為防止計(jì)算過(guò)程中聲音在輪轂孔處產(chǎn)生泄露，故采用附加單元將輪轂孔堵上。同時(shí)為滿足計(jì)算頻率范圍、兼顧計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度，單元網(wǎng)格尺寸滿足“每波長(zhǎng)6個(gè)單元”的要求，將單位網(wǎng)格尺寸設(shè)置為11 mm[8]。得到圖3所示的車輪邊界元網(wǎng)格。

圖3 車輪邊界元網(wǎng)格

為反映車輪表面聲壓分布，給出如圖4所示的車輪典型表面聲壓分布圖。

a. 450Hz條件下聲壓分布 b. 1000Hz條件下聲壓分布 c. 1350Hz條件下聲壓分布

由圖4可知，隨著頻率的變換車輪表面聲壓分布差別很大，在1000 Hz以下頻段，表面聲壓最大值等間隔地沿車輪圓周出現(xiàn)，在1000 Hz以上頻段，表面聲壓分布情況較為復(fù)雜，并且無(wú)規(guī)則性地出現(xiàn)在車輪的踏面、腹板及輪緣任意位置。

當(dāng)車輪振動(dòng)幅度相同時(shí)，車輪的輻射聲功率隨著聲輻射效率的增大而增大，所以給出如圖5所示，車輪聲輻射效率圖以期在后期從降低聲輻射效率的途徑降低車輪聲輻射功率。

圖5 車輪聲輻射效率

由圖5可知，車輪在低頻范圍內(nèi)聲輻射效率較小，隨頻率的增大聲輻射效率逐漸增大，在高頻范圍內(nèi)聲輻射效率逐漸接近于1。

圖6 車輪輻射聲功率

圖6給出了車輪在單位簡(jiǎn)諧力的激勵(lì)下，所產(chǎn)生的輻射聲功率。通過(guò)與文獻(xiàn)[9]中的輻射聲功率進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律大致相符，進(jìn)而驗(yàn)證了計(jì)算的準(zhǔn)確性。

從圖6中總體趨勢(shì)來(lái)看，高頻范圍內(nèi)車輪輻射聲功率大于低頻范圍且隨著頻率增大而增大。因此對(duì)車輪的噪聲控制，降低高頻段的車輪聲輻射顯然更具探討價(jià)值。

此外為了解車輪的聲輻射特性，根據(jù)有關(guān)對(duì)稱性特點(diǎn)的分析，建立互相垂直的兩個(gè)平面場(chǎng)點(diǎn)進(jìn)行聲輻射指向性的計(jì)算，結(jié)果如圖7所示。

a. 400Hz時(shí)聲壓分布圖 b. 4100Hz時(shí)聲壓分布圖

由圖7我們可以看出，車輪的聲輻射具有較強(qiáng)的指向性，且踏面的輻射主要沿車輪半徑方向。

3 粗糙度引起的輪軌力譜

3.1 輪軌表面不平順譜

設(shè)η(x)為軌道長(zhǎng)度(0～X)范圍內(nèi)的軌道不平順隨機(jī)樣本函數(shù)，則功率譜密度函數(shù)Sη(f)定義為η(x)在頻率區(qū)間(f～f+△f)的帶寬△f內(nèi)的均方值除以帶寬△f，即單位頻帶內(nèi)的均方值，可以表示為：

(5)

其中，f指空間頻率，與波長(zhǎng)λ的關(guān)系可表示為：f=1/λ。

本文先將功率譜密度函數(shù)從空間域轉(zhuǎn)至頻率域，再結(jié)合式(4)及車輪位移導(dǎo)納和軌道位移導(dǎo)納進(jìn)行計(jì)算。

由于本文所研究的車輪聲輻射主要為高頻頻段，故引入 Sato譜，作為激勵(lì)譜，其表達(dá)式為：

(6)

式中Ω：空間頻率；A：粗糙度系數(shù)，取值范圍為4.15×10-8～5.0×10-7。

徐志勝利用黃金分割反演法，推導(dǎo)出粗糙度系數(shù)，他認(rèn)為當(dāng)取A=3.15×10-7時(shí)粗糙度系數(shù)較為合理[11]。

此外，因?yàn)檐囕喓弯撥壎际菑椥泽w，在輪載作用下它們之間的接觸部位會(huì)產(chǎn)生局部彈性變形，故有一個(gè)近似于橢圓形的接觸斑存在于它們的接觸部位。經(jīng)研究，粗糙度波長(zhǎng)等于或小于接觸斑尺寸的部分，其激發(fā)輪軌系統(tǒng)振動(dòng)的作用將被削弱，將其稱為接觸濾波作用[12]。Remington[13]給出了如下的接觸濾波作用的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(7)

式中：Ω：粗糙度波數(shù)；b ：接觸橢圓的平均半徑；α：輪軌表面粗糙度的相關(guān)系數(shù)；J：貝塞爾函數(shù)。

后因α的確定較為困難，故假定α=0 ，故將上式簡(jiǎn)化為：

(8)

又因?yàn)榭臻g波數(shù)可表示為：

(9)

式中f(Hz)為頻率和v(m/s)為車速。

根據(jù)能量守恒原理，即

Sv(Ω)dΩ=Sv(f)df

(10)

可得到由頻率表達(dá)的考慮濾波作用的Sato譜表達(dá)式：

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可得其頻譜模值為：

(12)

繼而將式(12)代入式(4)可得由輪軌表面粗糙度Sato譜引起的輪軌力頻譜。

3.2 軌道位移導(dǎo)納計(jì)算

本文所建CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道，將鋼軌為Timoshenko梁，軌道板為實(shí)體單元，扣件視為彈簧阻尼單元?？奂瓜騽偠扰c阻尼分別為5×107N/m，6×104N·s/m，材料性能參數(shù)如表2所示。

表2 軌道材料性能參數(shù)

將在 SOLIDWORKS 所建模型導(dǎo)入 ANSYS 中進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并進(jìn)行振動(dòng)模態(tài)分析，給出所建模型如圖8，及典型的結(jié)構(gòu)共振模態(tài)如圖9的a與b所示。

圖8 軌道有限元模型

a. CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道第一階整體垂向共振 172Hz

在軌道扣件正上方施加單位垂向激勵(lì)，計(jì)算其在激勵(lì)點(diǎn)處的垂向位移響應(yīng)。圖10為扣件在垂向激勵(lì)下鋼軌激勵(lì)點(diǎn)處的垂向位移導(dǎo)納圖。

圖10 板式軌道垂向激勵(lì)點(diǎn)位移導(dǎo)納

由圖10可見，軌道在扣件處的位移導(dǎo)納變化較為平坦，結(jié)合圖9可知，這是因?yàn)檐壍澜Y(jié)構(gòu)在1000 Hz左右出現(xiàn)了 Pinned-Pinned 反共振，從而導(dǎo)致出現(xiàn)低谷。

聯(lián)合上述車輪和軌道的位移導(dǎo)納計(jì)算結(jié)果，可得粗糙度與輪軌導(dǎo)納的關(guān)系，后將上述粗糙度與輪軌系統(tǒng)導(dǎo)納代入式(4)可得由輪軌表面粗糙度引起的輪軌力譜(如圖11a)，并將其與文獻(xiàn)[15]中的單位粗糙度接觸力(如圖11b)進(jìn)行對(duì)比：

通過(guò)對(duì)比，本文所得單位粗糙度接觸力的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果數(shù)值與走勢(shì)相符，印證本文模型的準(zhǔn)確性正確性。由圖11可知，在車輪高頻共振時(shí)，輪軌力有陡降的最小值出現(xiàn)，這是因?yàn)樵谶@些頻率下，式(4)的分母中以車輪導(dǎo)納為主。

(a)本文所得單位粗糙度接觸力 (b)文獻(xiàn)所得結(jié)果

在預(yù)測(cè)輪軌噪聲時(shí)，輪軌表面不平順作為激勵(lì)源輸入，故不平順的合理性將直接關(guān)系到聲輻射的計(jì)算結(jié)果。然而由于預(yù)測(cè)輪軌表面不平順尚且存在很大難度，只能經(jīng)實(shí)地測(cè)量所得，目前我國(guó)在輪軌粗糙度方面的研究雖取得一定成績(jī)但仍顯不足，尚缺乏大量系統(tǒng)性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，需進(jìn)一步進(jìn)行試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得到適用于我國(guó)高鐵的粗糙度譜。

本文計(jì)算時(shí)鋼軌表面不平順采用公式6的Sato譜，將其代入式(4)中計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的輪軌力頻譜，后根據(jù)本文所給出的計(jì)算模型，將單位輪軌力作用下所得聲功率頻譜與真實(shí)激勵(lì)下的輪軌力頻譜的平方相乘[5]，得到如圖12所示真實(shí)激勵(lì)下的聲功率頻譜。

圖12 Sato譜激勵(lì)下的車輪聲功率級(jí)

由圖12可知，車輪輻射的最大聲功率級(jí)為97 dB，具有較多峰值，車輪在低頻范圍的聲功率大小隨著頻率增大而急劇增大，在高頻范圍變化整體較緩慢。聲功率級(jí)在高頻范圍大于低頻范圍。因此對(duì)車輪的噪聲控制，降低高頻段的車輪聲輻射顯然更為重要。

4 結(jié)論

本文基于有限元法(FEM)和邊界元法(BEM)相結(jié)合的方法，利用有限元分析軟件ANSYS建立車輪及軌道三維有限元模型，分析了輪軌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)及位移導(dǎo)納特性，通過(guò)在聲學(xué)邊界元軟件Virtual.Lab中建立車輪聲輻射特性計(jì)算模型對(duì)其輻射聲場(chǎng)進(jìn)行了預(yù)測(cè)研究，并計(jì)算了在真實(shí)激勵(lì)下的聲輻射功率級(jí)。結(jié)果表明：

(1)輪軌接觸點(diǎn)處車輪徑向?qū)Ъ{變化劇烈，在計(jì)算頻率范圍內(nèi)自振頻率較多，而鋼軌的垂向?qū)Ъ{變化整體較為平和，僅在鋼軌Pinned-Pinned頻率附近變化較劇烈。

(2)車輪在低頻范圍內(nèi)聲輻射效率較小，隨頻率的增大聲輻射效率逐漸增大，在高頻范圍內(nèi)聲輻射效率逐漸接近于1。其聲輻射具有較強(qiáng)的指向性，踏面部分的聲輻射主要沿車輪半徑方向。

(3)得到每單位粗糙度的接觸力，與D.J Thompson所計(jì)算出的結(jié)果基本相符，證明了本文的準(zhǔn)確性。結(jié)合Sato譜及本文所建模型得到真實(shí)激勵(lì)下的車輪聲輻射功率級(jí)，總體來(lái)看高頻范圍的聲功率級(jí)大于低頻段。