彎曲振動薄圓板的輻射效率

任惠娟，盛美萍

(西北工業(yè)大學 航海學院，西安 710072)

輻射效率是描述結(jié)構(gòu)聲輻射性能的重要參數(shù)，分為“模態(tài)輻射效率”和“平均輻射效率”兩種，其中“平均輻射效率”反映了結(jié)構(gòu)整體的聲輻射情況，又被稱為“加權(quán)輻射效率”[1]。結(jié)構(gòu)的輻射效率在聲輻射研究中具有重要作用，多年來一直為眾多學者所關注。

矩形板與圓板是板的兩種常見的典型結(jié)構(gòu)形式，矩形板的聲輻射效率研究[1－4]相對比較成熟。與矩形板相比，圓板的聲輻射效率研究相對滯后并很不完善，其中圓板的模態(tài)輻射效率研究主要集中在固定邊界、低階模態(tài)及部分頻段范圍內(nèi)，如Hansen[5]研究了邊界鉗定圓板的前幾個低階模態(tài)的聲輻射效率;Levine[6]研究了高頻段內(nèi)邊界鉗定軸對稱彎曲振動圓板的模態(tài)輻射效率;Honda[7]使用典型的薄板理論及改進的薄板理論(Mindlin板理論)研究了邊界鉗定并嵌在無限大障板上的圓板的模態(tài)輻射效率。研究圓板的平均輻射效率較其模態(tài)輻射效率更具有現(xiàn)實意義，然而通過文獻瀏覽發(fā)現(xiàn)這方面的文獻比較少見。

以文獻[1]為研究基礎，以點激勵下彎曲振動的圓板為研究對象，考慮到點激勵響應的平均效果，將點激勵做了面平均從而獲得了薄圓板在固定及簡支邊界條件下全頻段的模態(tài)輻射效率，并結(jié)合模態(tài)疊加理論進一步研究兩種邊界條件下圓板結(jié)構(gòu)的平均輻射效率，分析平均輻射效率的各種影響因素。本文一方面為改善圓板結(jié)構(gòu)在工程中的減振降噪性能提供理論依據(jù)，另一方面也可為與圓板聲輻射有關的結(jié)構(gòu)振動研究提供新的思路。

1 薄圓板在點激勵下的振動響應

在圖1所示的薄圓板置于無限大障板中，圓板上點 C(ρ0，φ0)處受到簡諧力 Fejωt的激勵，則圓板上任意一點 A(ρ，φ)處的撓度幅值為[8]

式中:φnm(ρ，φ)為圓板(n，m)階彎曲振動的振型函數(shù)，即φnm(ρ，φ)=Anm[Jm(knmρ)+DnmIm(knmρ)]·cos(mφ)，其中Anm、Dnm與圓板的邊界條件有關，且當邊界條件為固定及簡支時，式中 a為圓板的半徑。knm為板中的彎曲波波數(shù)，并且，其中ρV為板的體密度，hP為板的厚度，ωnm為圓板第(n，m)階彎曲振動的圓頻率，D為板的彎曲剛度，且，其中E為板的楊氏模量，σ為板的泊松比。η為板的阻尼損耗因子，ω為板的振動角頻率。式(1)中表示為:

以上各式中的固定及簡支邊界條件下圓板的特征頻率參數(shù)knma分別來自于文獻[9－10]。

2 薄圓板的模態(tài)輻射效率

2.1 圓板的模態(tài)聲功率及其平均值

將圓板表面分割成無限多的小面元，其中任意兩個面元ds及ds'的位置分別用其中心點的極坐標A(ρ，φ)及 B(ρ'，φ')表示，面元 ds'相對于面元 ds的位置用(h，θ)表示，其中h為ds與ds'之間的距離，θ為 h與 ρ之間的夾角，如圖1所示。當圓板受到作用于點C(ρ0，φ0)處的簡諧力 Fejωt激勵并處于第(n，m)階振動模態(tài)時，面元ds的振速幅值如式(4)所示，面元ds'的振速幅值為:

圖1 圓板表面示意圖Fig.1 Integral sketch in the surface of a circular plate

面元ds'的振動在面元ds處產(chǎn)生的聲壓幅值為:

式中:k為聲波波數(shù)，ρ0為空氣的密度，c0為空氣的聲速。將式(5)代入式(6)并將面元ds'對輻射面進行積分，得到所有面元的振動在面元ds處產(chǎn)生的聲壓為:

面元ds的聲強為:

對于點激勵情形，通常將激勵的作用點位置對板面作平均，以獲得響應的平均效果[1]。將上式對激勵點進行面平均并將L的表達式代入，得到模態(tài)輻射聲功率的平均值為:

式中:S為圓板的面積。

2.2 圓板的模態(tài)均方振速及其平均值

圓板的模態(tài)均方振速為

將式(4)代入式(11)得到:

同樣，再對上式中的激勵點作空間平均，得到模態(tài)均方振速的平均值，即:

2.3 圓板的模態(tài)輻射效率

將式(10)、式(13)代入式(14)后再將該式離散化，并令稱為振型函數(shù)的形狀函數(shù)，且 φnm'=[Jm(knmρ)+DnmIm(knmρ)]cos(mφ)，則上式可表示為:

式中:hgq為圓板表面任意兩個面元g和q之間的距離，φ'nm(g)和φ'nm(q)分別為面元g和q各自所在處的振型函數(shù)的形狀函數(shù)，Δsg和ΔSq分別為面元g和q各自的面積。

由于面元g和q具有任意性，當二者重合時有hgq=0，但考慮到，因此計算上式的分子時，當g和q重合時，用k代替即可。

圖2 固定邊界圓板的模態(tài)輻射效率Fig.2 The modal radiation efficiency of a circular plate with clamped boundary

本文通過將聲強對圓形輻射面積分獲得了圓板的輻射聲功率，并對其進行面平均，進而得到了其模態(tài)輻射效率。為了說明本文方法的有效性，圖2給出了固定邊界圓板的幾條模態(tài)輻射效率曲線，該曲線與文獻[7]比較一致性良好，從而證明了本文方法的有效性。

3 薄圓板的平均聲輻射效率

3.1 薄圓板的平均聲輻射效率

同矩形板的平均輻射效率一樣，薄圓板在點激勵下作彎曲振動時其平均聲輻射效率為:

將式(18)、式(19)代入式(17)得到圓板在點激勵下的平均輻射效率為:

式中，lnm定義為:

炮姜 炮姜為干姜炒到表面微黑、內(nèi)呈棕黃色，又叫黑姜，無辛散作用，可止血止瀉，主要用于虛性出血、寒證腹瀉。炮姜還有溫經(jīng)止痛功效?，F(xiàn)代研究證明，炮姜水煎劑對應激性胃潰瘍、幽門結(jié)扎型胃潰瘍的發(fā)生有顯著抑制作用。

圓板固定及簡支邊界條件時，在點簡諧力激勵下，其前100階的模態(tài)輻射效率及平均聲輻射效率如圖3及圖4所示。圓板的參數(shù)為:半徑0.5 m，厚度3 mm，楊氏模量 2.16 ×1010N/m2，密度7.8 ×103kg/m3，泊松比 0.28，阻尼損耗因子 0.1。

3.2 平均聲輻射效率的收斂性分析

平均輻射效率是各階模態(tài)輻射效率的加權(quán)平均值，那么參與加權(quán)平均的模態(tài)個數(shù)對平均輻射效率的影響如何呢?圖5和圖6研究了固定及簡支邊界圓板參與加權(quán)平均的模態(tài)個數(shù)對其平均輻射效率收斂性的影響情況?？梢钥闯鲈诒疚乃o的圓板參數(shù)下，當參與加權(quán)平均的模態(tài)個數(shù)達到81個(n=0～8，m=0～8)時，兩種邊界圓板平均輻射效率即開始收斂。

圖3 固定邊界圓板各階模態(tài)輻射效率及平均輻射效率Fig.3 Radiation efficiency of a circular plate with clamped boundary condition

圖4 簡支邊界圓板各階模態(tài)輻射效率及平均輻射效率Fig.4 Radiation efficiency of a circular plate with simply supported boundary condition

圖5 固定邊界圓板模態(tài)個數(shù)對平均輻射效率的影響Fig.5 The influence of the modal quantity to the average radiation efficiency of a circular plate with clamped boundary condition

圖6 簡支邊界圓板模態(tài)個數(shù)對平均輻射效率的影響Fig.6 The influence of the modal quantity to the average radiation efficiency of a circular plate with simply supported boundary condition

圖7 不同厚度的固定邊界圓板平均輻射效率對比Fig.7 Comparison of the average radiation efficiency of a circular plate with different thickness

圖8 不同阻尼圓板固定邊界平均輻射效率對比Fig.8 Comparison of the average radiation efficiency of a circular plate with different damping loss factor

4 圓板參數(shù)對平均輻射效率的影響

式(20)表明，當板的材料決定后，圓板結(jié)構(gòu)的平均聲輻射效率與激勵力的大小及位置無關，而由圓板的厚度、損耗因子、半徑、邊界條件等四個要素所決定，以固定邊界圓板為例，這四個要素對圓板的平均輻射效率的影響分析如下。

4.1 圓板的厚度、阻尼損耗因子及半徑對其平均聲輻射效率的影響

圖7、圖8及圖9分別給出了固定邊界條件下不同厚度(3，5，7，9，11，13，15 mm)、不同損耗因子(0.1，0.2，0.3，0.4)及不同半徑(50 m，30 m，10 m)圓板的平均輻射效率對比情況。數(shù)值仿真結(jié)果說明:在中頻段，當頻率一定時，圓板的平均輻射效率隨著其厚度、阻尼損耗因子的增大及半徑的減小而增大。這是由于在中頻段隨著阻尼因子和厚度的增大以及半徑的減小，使得圓板的均方振速平均值減小，從而導致其平均聲輻射效率增大[1]。而在低頻段平均輻射效率則僅隨著圓板半徑的增大而增大，并且高頻段圓板的平均聲輻射效率均趨于1。這是由于在低頻段，板的響應主要由最低階模態(tài)的響應決定，其平均聲輻射效率近似等于其最低階模態(tài)的輻射效率，而與其他因素無關。在高頻段，各階模態(tài)的輻射效率均趨近于1，其加權(quán)平均值也將趨近于1，而與其他因素無關。

圖9 固定邊界不同半徑圓板平均輻射效率對比Fig.9 Comparison of the average radiation efficiency of a circular plate with different radius

以上結(jié)論也適用于簡支邊界的圓板。

4.2 圓板的邊界條件對于其平均聲輻射效率的影響

圖10給出了固定及簡支邊界條件下圓板的平均聲輻射效率對比情況，結(jié)果表明，固定及簡支條件下圓板在全頻段的平均聲輻射效率基本相同。

圖10 兩種邊界條件下圓板平均輻射效率對比Fig.10 Comparison of the average radiation efficiency of a circular plate with different boundary condition

5 結(jié)論

通過對激勵點進行面平均，給出了以上兩種邊界條件下圓板各階模態(tài)的均方振速及其空間平均值，獲得了圓板的各階模態(tài)輻射效率及圓板的平均輻射效率，分析了圓板厚度、阻尼損耗因子、半徑及邊界條件對其平均輻射效率的影響規(guī)律。研究表明:

(1)圓板在點簡諧力的激勵下，其平均輻射效率與激勵力的大小及位置無關，而僅由圓板的厚度、阻尼損耗因子、半徑及邊界條件所決定。

(2)中、低頻段圓板的模態(tài)輻射效率及平均聲輻射效率隨頻率的增高而增大，高頻段模態(tài)輻射效率及平均聲輻射效率趨近于1;

(3)當頻率一定時，圓板的平均輻射效率在中頻段隨著其厚度、阻尼損耗因子的增大及半徑的減小而增大，而在低頻段則僅隨著圓板半徑的增大而增大;

(4)固定及簡支條件下圓板在全頻段的平均聲輻射效率基本相同。

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