基于微分求積法分析旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)

王忠民， 王 昭， 張 榮， 李會(huì)俠

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，西安 710048)

旋轉(zhuǎn)圓板在航空、航天、機(jī)械工程等高科技領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)、計(jì)算機(jī)硬盤(pán)和光驅(qū)等。在運(yùn)行過(guò)程中，其彎曲振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致失穩(wěn)和斷裂，從而使得旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)發(fā)生破壞，因此，旋轉(zhuǎn)圓形薄板振動(dòng)和穩(wěn)定性的研究具有重要的實(shí)際意義。由于旋轉(zhuǎn)圓板受徑向離心慣性力的作用，使得運(yùn)動(dòng)微分方程的系數(shù)為變系數(shù)，從而求解和分析難度增大。幾十年來(lái)，一些學(xué)者對(duì)于旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。關(guān)于2006年以前研究成果可參看文獻(xiàn)[1]。Bauer等[1]對(duì)等厚度旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題，采用Ritz-Galerkin法求解變系數(shù)運(yùn)動(dòng)微分方程，得到了不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓板的固有頻率隨角速度的變化規(guī)律。Baddour等[2]考慮了旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)的面內(nèi)慣性效應(yīng)的影響，建立了旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)面內(nèi)和橫向振動(dòng)的非線性耦合模型，采用Galerkin和正則攝動(dòng)法，得到了圓盤(pán)的內(nèi)共振及不穩(wěn)定的可能性。Ranjan等[3]用有限單元法分析了在圓心處帶有剛性核的旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)自由和強(qiáng)迫振動(dòng)，并研究了壓電片對(duì)旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)的振動(dòng)控制問(wèn)題。Hasheml等[4]對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)厚板，基于Mindlin板理論和二階應(yīng)變—位移關(guān)系，應(yīng)用Kane動(dòng)力學(xué)方法導(dǎo)出了非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，采用有限元法，分析了邊長(zhǎng)比、厚度比、輪轂半徑比和圓盤(pán)轉(zhuǎn)速對(duì)固有頻率的影響。Khorassny等[5]采用模態(tài)展開(kāi)法，研究?jī)?nèi)邊界沿軸向可自由移動(dòng)、外邊界由線彈簧約束的環(huán)形旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)的線性振動(dòng)行為，以及剛性平移、向前或向后行波對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響等。Genta等[6]發(fā)展了環(huán)形有限元法，研究了旋轉(zhuǎn)葉盤(pán)的二階和高階諧波振型，拓展了以往研究局限于零解和一階諧波振型的研究。Li等[7]采用Galerkin法，分析了轉(zhuǎn)動(dòng)層合板向前和向后行波的動(dòng)力特性。在上述求解方法中，Galerkin法或模態(tài)展開(kāi)法求解的精度在很大程度上受到了模態(tài)函數(shù)的選取以及項(xiàng)數(shù)的制約。

本文對(duì)旋轉(zhuǎn)實(shí)心圓板，針對(duì)在沿徑向線性分布離心慣性力作用下的旋轉(zhuǎn)圓板的變系數(shù)運(yùn)動(dòng)微分方程，采用微分求積法離散方程和邊界條件，得到了周邊固支、簡(jiǎn)支(且沿徑向不可移)和周邊完全自由三種邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓板的前兩階復(fù)頻率的實(shí)部和虛部隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化情況，有效地分析了旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)特性和穩(wěn)定性。

1 旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)微分方程

圖1 旋轉(zhuǎn)圓板示意圖

板厚為h、半徑為R的等厚度圓板繞其中心軸O以常角速度Ω旋轉(zhuǎn)如圖1所示。設(shè)材料密度為ρ，彈性模量為E，泊松比為ν，板的抗彎剛度為D。選取極坐標(biāo)，徑向坐標(biāo)為r，環(huán)向坐標(biāo)為θ，單位面積的徑向慣性力可表示為qr=ρhΩ2r，即是在板中面內(nèi)的沿徑向的線性分布力?；贙irchhoff薄板理論[8]，旋轉(zhuǎn)圓板以橫向撓度w(r,t)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(1)

1.1 基于彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問(wèn)題求解Nr和Nθ

勻速旋轉(zhuǎn)圓形薄板在離心慣性力作用下，其幾何、載荷和約束情況均為軸對(duì)稱，應(yīng)力分量與環(huán)向坐標(biāo)θ無(wú)關(guān)，且τrθ為零。設(shè)ur為圓板中面內(nèi)的徑向位移(環(huán)向位移vθ=0)，由徑向的平衡微分方程、物理方程、平面軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程和引入的應(yīng)力函數(shù)φ(r)[9]得:

(2)

(3)

1.1.1 周邊固支和周邊簡(jiǎn)支板

(4)

(5a)

(5b)

1.1.2 周邊自由板

對(duì)周邊自由板，邊界條件為σrr=R=0，得[9]

(6)

(7a)

(7b)

1.2 運(yùn)動(dòng)微分方程及邊界條件

引入下列無(wú)量綱量:

(8)

則方程(1)以無(wú)量綱量可表示為:

(9)

對(duì)周邊固支和周邊簡(jiǎn)支板，有:

對(duì)周邊自由板，有:

式中,λ稱為無(wú)量綱角速度。

(10)

式中ω為系統(tǒng)的無(wú)量綱振動(dòng)頻率。

在圓心x=0處，以無(wú)量綱量表示的邊界條件為:

(11)

在外周邊(x=1)處，三種邊界條件分別為:

固支：

(12)

簡(jiǎn)支：

(13)

自由：

(14)

2 DQ法求解

微分求積法[10-11](簡(jiǎn)稱DQ)的實(shí)質(zhì)是用全域上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)表示函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在給定節(jié)點(diǎn)處的值，因而可以將微分方程離散成以節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為未知數(shù)的一組代數(shù)方程組。以一元函數(shù)y(x)為例，設(shè)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)可微，其一階導(dǎo)數(shù)可寫(xiě)為

(15)

(16)

類似的，在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)的二階、三階、四階導(dǎo)數(shù)值可表示為

(17)

式中:Bik、Cik、Dik分別稱為二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)。各階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)之間的關(guān)系為

(18)

DQ法中的兩個(gè)關(guān)鍵因素：一是如何確定權(quán)系數(shù);二是如何布置節(jié)點(diǎn)。本文中，插值基函數(shù)采用Lagrange多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn)的選取形式為

(19)

對(duì)含變系數(shù)的四階常微分方程(10)，其微分求積形式為

(20)

在式(20)中，若外邊界為簡(jiǎn)支和固支，有

若為自由邊

在圓心x=0處，邊界條件的微分求積形式為

(21a)

(21b)

在外周邊x=1處，邊界條件(12)、(13)、(14)的微分求積形式分別為:

固支：

(22)

簡(jiǎn)支：

(23)

自由：

(24a)

將式(20)和邊界條件的微分求積形式聯(lián)立，寫(xiě)成矩陣形式

(ω2[Q]+[K]){y}=0

(25)

其中[Q]、 [K]為方陣；{y}為由振型函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值組成的向量。根據(jù)線性代數(shù)理論，方程組(25)存在非零解的充分和必要條件是系數(shù)行列式等于零，即得特征方程

|ω2[Q]+[K]|=0

(26)

3 數(shù)值計(jì)算與分析

為了說(shuō)明上述方法的有效性，首先計(jì)算無(wú)旋轉(zhuǎn)實(shí)心圓板的橫向軸對(duì)稱自由振動(dòng)問(wèn)題，這只要在振型微分方程(10)中令λ=0即可。在三種邊界條件下圓板的橫向軸對(duì)稱自由振動(dòng)問(wèn)題的前四階固有頻率與已有解的比較如表1所示，其中對(duì)周邊自由的圓板存在與剛體振型相應(yīng)的零固有頻率。計(jì)算中節(jié)點(diǎn)數(shù)N=13。

對(duì)旋轉(zhuǎn)圓板，角速度對(duì)圓板的橫向軸對(duì)稱振動(dòng)特性及穩(wěn)定性有很大的影響。下面計(jì)算三種周界約束下旋轉(zhuǎn)圓板的無(wú)量綱固有頻率與無(wú)量綱角速度的變化關(guān)系，分析其橫向振動(dòng)特性及穩(wěn)定性。

3.1 周邊簡(jiǎn)支的旋轉(zhuǎn)圓板

在周邊為簡(jiǎn)支且沿圓板徑向不可移的約束條件下，旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無(wú)量綱固有頻率與無(wú)量綱角速度的變化曲線如圖2所示。從圖2可知，當(dāng)無(wú)量綱角速度λ=0時(shí)，ω為實(shí)數(shù)，即為圓板自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率。隨著無(wú)量綱角速度的增加，無(wú)量綱固有頻率實(shí)部Re(ω)減小，虛部lm(ω)保持為零。當(dāng)無(wú)量綱角速度增加到λ1=3.96時(shí)，第一階模態(tài)頻率的實(shí)部Re(ω)變?yōu)榱?，此后Re(ω)一直為零，而虛部lm(ω)為正負(fù)兩個(gè)分支， 這說(shuō)明旋轉(zhuǎn)圓板呈現(xiàn)了發(fā)散失穩(wěn)。因而無(wú)量綱臨界角速度λ1=3.96又稱為第一階臨界發(fā)散角速度。同樣對(duì)二階無(wú)量綱固有頻率與無(wú)量綱角速度的變化曲線也有類似的特性，λ2=100.9稱為第二階臨界發(fā)散角速度。

3.2 周邊固支的旋轉(zhuǎn)圓板

在周邊為固支且沿圓板徑向不可移的約束條件下，旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無(wú)量綱固有頻率與無(wú)量綱角速度的變化曲線如圖3所示。與周邊簡(jiǎn)支的旋轉(zhuǎn)圓板不同的是，其一、二階無(wú)量綱固有頻率隨著無(wú)量綱角速度從零的增加，無(wú)量綱固有頻率實(shí)部Re(ω)非單調(diào)減小，而是先增大再減小。其失穩(wěn)特性和周邊簡(jiǎn)支的旋轉(zhuǎn)圓板相同，即均為一階、二階模態(tài)上發(fā)散失穩(wěn)，一、二階無(wú)量綱臨界發(fā)散角速度分別為λ1=39，λ2=205.9。

表1 三種邊界條件下實(shí)心圓板的前四階軸對(duì)稱固有頻率與已有解的比較

圖2 周邊簡(jiǎn)支旋轉(zhuǎn)圓板的ω隨λ的變化情況

3.3 周邊自由的旋轉(zhuǎn)圓板

在周邊完全自由的情況下，由無(wú)旋轉(zhuǎn)圓板(或靜止圓板，見(jiàn)表1)和旋轉(zhuǎn)圓板的計(jì)算結(jié)果知，出現(xiàn)了零固有頻率，其振型相應(yīng)于圓板的剛體平移運(yùn)動(dòng)。從周邊自由的旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無(wú)量綱固有頻率與無(wú)量綱角速度的變化曲線(圖4)可知，隨著無(wú)量綱角速度的增加，旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無(wú)量綱固有頻率(即復(fù)頻率的實(shí)部)也在增大，且復(fù)頻率的虛部為零，不存在無(wú)量綱臨界角速度和失穩(wěn)。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是，對(duì)周邊完全自由圓板，在沿圓板徑向線性分布的離心慣性力作用下，從式(7a)和式(7b)知，圓板面內(nèi)板單位寬度的徑向拉壓力Nr和環(huán)向拉壓力Nθ均為拉力。隨著無(wú)量綱角速度的增大，Nr和Nθ線性增大，使得圓板的撓度減小，因相當(dāng)于增加了旋轉(zhuǎn)圓板的彎曲剛度，從而使無(wú)量綱角速度增大。

與完全自由旋轉(zhuǎn)圓板不同，對(duì)周邊為固支、簡(jiǎn)支且沿圓板徑向不可移的旋轉(zhuǎn)圓板，在沿圓板徑向線性分布的離心慣性力作用下，由于沿圓板徑向不可移約束的作用，從式(5a)和式(5b)知，圓板面內(nèi)板單位寬度的徑向拉壓力Nr和環(huán)向拉壓力Nθ為負(fù)值，即為壓力。因此對(duì)周邊為固支和簡(jiǎn)支旋轉(zhuǎn)圓板，呈現(xiàn)了無(wú)量綱角速度減小且趨于零的現(xiàn)象，使圓板發(fā)生了靜力失穩(wěn)。

圖3 周邊固支旋轉(zhuǎn)圓板的ω隨λ的變化情況

圖4 周邊自由旋轉(zhuǎn)圓板的ω隨λ的變化情況

4 結(jié) 論

基于薄板的小變形理論，采用微分求積法，研究了均質(zhì)等厚度勻速旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動(dòng)和穩(wěn)定性問(wèn)題，得到了周邊固支、簡(jiǎn)支(沿徑向不可移)和周邊完全自由三種邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓板的前兩階復(fù)頻率的實(shí)部和虛部隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化情況。對(duì)周邊固支、簡(jiǎn)支旋轉(zhuǎn)圓板，一般來(lái)說(shuō)，復(fù)頻率的實(shí)部隨角速度的增大而減小且趨于零，得到了一、二階臨界發(fā)散角速度；對(duì)周邊完全自由旋轉(zhuǎn)圓板，復(fù)頻率的實(shí)部隨角速度的增大而增大，不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。上述結(jié)論對(duì)旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與運(yùn)行提供了一定的參考依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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