數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用分析

李璇　劉學(xué)智

摘 要：數(shù)學(xué)建模是近幾年發(fā)展起來(lái)的新學(xué)科，其在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中應(yīng)用廣泛。它將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題相結(jié)合，把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用數(shù)學(xué)的方法建模求解。數(shù)學(xué)建模為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了一種很強(qiáng)的分析工具，也從根本上改變了決策者看待問(wèn)題和解決問(wèn)題的理念與視角。通過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)中幾個(gè)典型案例說(shuō)明數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用，闡述數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的重要作用，以期通過(guò)應(yīng)用分析，可以對(duì)解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題過(guò)程中數(shù)學(xué)模型的合理應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用和創(chuàng)新有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;經(jīng)濟(jì)問(wèn)題;應(yīng)用;案例

中圖分類號(hào)：F224? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1673-291X（2021）33-0122-03

引言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，作為數(shù)學(xué)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模越來(lái)越受到人們的重視，它在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，特別是在企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理、產(chǎn)品營(yíng)銷、資源分配、財(cái)政金融、優(yōu)化服務(wù)等方面產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)效益。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中將錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化，通過(guò)研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，建立反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法來(lái)解決問(wèn)題。

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科有其實(shí)用性和實(shí)踐性，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中問(wèn)題的研究和決策都離不開數(shù)學(xué)的支持。數(shù)學(xué)模型的建立、數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用、數(shù)學(xué)軟件的引入都使原本復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單抽象化，但同時(shí)數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)又有所不同，在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題時(shí)應(yīng)考慮到經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的多變性，因此尋找合適的數(shù)學(xué)方法、構(gòu)建符合需求的數(shù)學(xué)模型至關(guān)重要。數(shù)學(xué)方法有許多，針對(duì)不同的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題選擇合適的數(shù)學(xué)方法，建立行之有效的數(shù)學(xué)模型才能有效地解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。本文通過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)中幾個(gè)典型案例說(shuō)明數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用，闡述數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的重要作用。

一、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的意義

（一）數(shù)學(xué)建模使經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化和直觀化

許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中出現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題的描述都十分復(fù)雜且抽象難懂，而且有些經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題還需要做大量的數(shù)據(jù)處理。通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法可以將經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理，從而將較復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解，一定程度上降低了解題的難度。

（二）數(shù)學(xué)建模使經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的問(wèn)題解決變得更有說(shuō)服力

通過(guò)數(shù)學(xué)建模的方法，首先運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯思維對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析，然后通過(guò)給出的相關(guān)變量之間的具體關(guān)系列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，并應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解，最終得到可靠的數(shù)據(jù)分析結(jié)果。這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒梢允箾Q策者更好地分析經(jīng)濟(jì)變化趨勢(shì)，為決策者提供更科學(xué)的依據(jù)，這也正是數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中得以應(yīng)用的最直接體現(xiàn)。

二、數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用舉例

（一）公司人員最優(yōu)安排策略問(wèn)題

一家保姆服務(wù)公司專門向雇主提供保姆服務(wù)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，下一年的需求是：春季6 000人/日，夏季7 500人/日，秋季6 500人/日，冬季9 000人/日。公司新招的保姆必須經(jīng)過(guò)5天的培訓(xùn)才能上崗，每個(gè)保姆每季度工作（新保姆包括培訓(xùn)）65天，保姆從公司得到報(bào)酬，每人每月工資8 000元。春季開始時(shí)公司擁有120名保姆，在每個(gè)季度結(jié)束后15%的保姆自動(dòng)離職。如果公司不允許解聘保姆，請(qǐng)為公司制訂下一年的招聘計(jì)劃，哪些季度的需求增加不會(huì)影響招聘的計(jì)劃，可增加多少？

問(wèn)題分析：對(duì)公司而言，每季度開始時(shí)擁有保姆數(shù)之和最少時(shí)，本年度的總支出是最小的，盈利最大。

模型建立與求解 設(shè)每季度開始時(shí)招聘的保姆數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，每季度開始時(shí)擁有的保姆數(shù)為y1，y2，y3，y4，根據(jù)題意可建立描述問(wèn)題的線性規(guī)劃模型決策目標(biāo)為miny1+y2+y3+y4，約束條件為65y1≥6 000+5x1，65y2≥7 500+5x2，65y3≥5 500+5x3，65y4≥9 000+5x4，y1=120+x1，y2=0.85y1+x2，y3=0.85y2+x3，y4=0.85y3+x4。

借助數(shù)學(xué)軟件LINGO求解得到4個(gè)季度開始時(shí)公司招聘的保姆人數(shù)分別為0人、15人、0人、59人，夏季和秋季的需求的增加不會(huì)影響招聘的計(jì)劃，可以分別增加1 800 936人。線性規(guī)劃理論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，借助線性規(guī)劃方法可以解決人員安排問(wèn)題，根據(jù)已知條件建立數(shù)學(xué)模型，寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，在現(xiàn)有的條件下使得安排的人力最少，達(dá)到節(jié)約成本的目的，最終獲取企業(yè)生產(chǎn)的最優(yōu)化。同時(shí)，數(shù)學(xué)軟件如Matlab與LINGO等為問(wèn)題的求解提供了極大的便利。

此外，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求問(wèn)題的最大、最小值問(wèn)題，這也就是數(shù)學(xué)建模中常見的優(yōu)化模型。這種模型的建立一般都是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中所蘊(yùn)含的目標(biāo)和約束條件列出相對(duì)應(yīng)的不等式進(jìn)行求解，其中約束條件可以是線性規(guī)劃也可以是非線性規(guī)劃。

（二）人員流動(dòng)問(wèn)題

某工廠生產(chǎn)線每年的年初進(jìn)行熟練工和非熟練工人數(shù)統(tǒng)計(jì)，之后由■的熟練工支援其他的生產(chǎn)部門，缺額由招收新的非熟練工來(lái)補(bǔ)齊。新熟練工和老熟練工經(jīng)培訓(xùn)和實(shí)踐到年終考核時(shí)有■成為熟練工。假設(shè)第一年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工各占一半，則以后每一年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工的比例是多少？

問(wèn)題分析：假設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占比例為xn和yn，由已知條件可知1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工各占一半，要求以后每一年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工的比例，需要先求出第n+1年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占比與n年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占比之間的關(guān)系。

矩陣是線性代數(shù)重要的組成部分，而特征值與特征向量又是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分。用矩陣的知識(shí)建立線性模型可以解決生產(chǎn)中常見的人員流動(dòng)的問(wèn)題，建立符合實(shí)際條件的線性方程組，將線性方程組寫成矩陣形式，利用矩陣中特征值與特征向量的內(nèi)容將需要的矩陣對(duì)角化，最終解決問(wèn)題。

（三）養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題

養(yǎng)老保險(xiǎn)是一種重要的保險(xiǎn)險(xiǎn)種，保險(xiǎn)公司會(huì)為客戶提供不同的保險(xiǎn)方案并分析保險(xiǎn)品種實(shí)際的投資價(jià)值。假設(shè)每月交費(fèi)200元，60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金。某男子25歲起投保，屆時(shí)養(yǎng)老金每月2 282元，若是35歲起投保，屆時(shí)養(yǎng)老金每月1 056元，保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？

問(wèn)題分析：由于交費(fèi)是按月的，那么整個(gè)投資過(guò)程可以按月進(jìn)行劃分，假設(shè)投保人到第n個(gè)月交的費(fèi)用和收益的總額為Fn，每月的收益率為r，假設(shè)第N月停交保險(xiǎn)費(fèi)，第M月停領(lǐng)養(yǎng)老金。60歲以前每月的交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)設(shè)為p，60歲以后每月的交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)設(shè)為q。

模型建立與求解：根據(jù)題意應(yīng)建立一個(gè)過(guò)程分析模型，男子25歲起開始投保，假設(shè)男子的平均壽命是75歲，由題意知p=200，q=2 282，F(xiàn)0=0，F(xiàn)n的變化滿足

上式中令FM=0并借助數(shù)學(xué)軟件可求得方程的解為r=0.00485，其中M=600，N=420。同樣地，可以求出若35歲投保則月利率為r=0.00461。

事實(shí)上，引入Fn，能夠很好地描述整個(gè)過(guò)程中資金的變化情況。Fn表示從保險(xiǎn)人交保險(xiǎn)費(fèi)之后，保險(xiǎn)人賬戶上的資金數(shù)額。如果第M個(gè)月時(shí)，F(xiàn)M<0，表明保險(xiǎn)公司出現(xiàn)虧損;如果第M個(gè)月時(shí)，F(xiàn)M=0，表明保險(xiǎn)公司最終一無(wú)所有;如果第M個(gè)月時(shí)，F(xiàn)M>0，表明保險(xiǎn)公司獲得收益。

（四）投資問(wèn)題

某公司計(jì)劃在今后五年內(nèi)對(duì)以下項(xiàng)目進(jìn)行投資，已知項(xiàng)目A：第一年至第四年每年的年初需要投資，次年的年末可回收本利115%，并要求第一年投資金額最低4萬(wàn)元，二、三、四年投資額不限。項(xiàng)目B：第三年的年初需要投資，第五年的年末可回收本利128%，規(guī)定投資金額最低3萬(wàn)元，最高為5萬(wàn)元。項(xiàng)目 C：第二年的年初需要投資，第五年的年末可回收本利140%，規(guī)定投資額為2萬(wàn)元或4萬(wàn)元或6萬(wàn)元或8萬(wàn)元。項(xiàng)目 D：五年內(nèi)每年的年初可購(gòu)買公債，并于當(dāng)年末歸還，加利息6%，本項(xiàng)投資金額不限。現(xiàn)本部門有資金10萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)如何確定給這些項(xiàng)目的每年投資額，使到第五年的年末本部門所擁有的資金本利總額最大。

1.問(wèn)題分析。這是一個(gè)連續(xù)投資問(wèn)題，根據(jù)每年資金的使用情況可建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，由于在約束條件中有對(duì)決策變量是整數(shù)的要求，應(yīng)建立整數(shù)線性規(guī)劃模型。

2.模型建立與求解。設(shè)決策變量xiA，xiB，xiC，xiD（i=1，2，3，4，5）分別表示第i年的年初對(duì)項(xiàng)目A，B，C，D的投資金額。設(shè)yiA，yiB是0—1變量，規(guī)定取1時(shí)表示第i年對(duì)項(xiàng)目A、B投資，否則取0。設(shè)yiC是非負(fù)整數(shù)變量，規(guī)定第2年投資C項(xiàng)目8萬(wàn)元時(shí)，取值為4;第2年投資C項(xiàng)目6萬(wàn)元時(shí)，取值3;第2年投資C項(xiàng)目4萬(wàn)元時(shí)，取值2;第2年投資C項(xiàng)目2萬(wàn)元時(shí)，取值1;第2年不投資C時(shí)，取值0。根據(jù)題意建立整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，目標(biāo)函數(shù)為maxz=1.15x4A+1.4x2C+1.28x3B+1.06x5D，每年分別需要滿足的約束條件為：第一年，x1A+x1D=10 000;第二年，x2A+x2C+x2D=1.06x1D;第三年，x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D;第四年，x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D;第五年，x5D=1.15x3A+1.06x4D。此外，40 000y1A≤x1A≤200000y1A，30 000y3B≤x3B≤50 000y1A，x2C=20 000y2c。

應(yīng)用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件，可求得最優(yōu)值為147 879.234。

整數(shù)線性規(guī)劃模型是線性規(guī)劃模型的一種，其要求建模過(guò)程中決策變量取整數(shù)，在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，如生產(chǎn)中固定成本問(wèn)題、分布系統(tǒng)設(shè)計(jì)、指派問(wèn)題等都可建立合適的整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。上述投資問(wèn)題也是整數(shù)規(guī)劃的重要應(yīng)用的體現(xiàn)，在建模過(guò)程中尤其注意決策變量的設(shè)法，其余的約束條件和非整數(shù)的線性規(guī)劃相同，最后將建立的數(shù)學(xué)模型整理放到計(jì)算機(jī)軟件中可得到問(wèn)題的最終結(jié)論。

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模是近些年發(fā)展起來(lái)的新學(xué)科，它在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用，本文通過(guò)幾個(gè)具體的案例說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的重要性，通過(guò)建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型可以解決人力資源的安排問(wèn)題，得到最優(yōu)的安排策略;通過(guò)利用線性代數(shù)中的矩陣?yán)碚摻⒕€性模型可以解決生產(chǎn)中常見的人員流動(dòng)問(wèn)題，為決策者提供實(shí)際的指導(dǎo);通過(guò)建立過(guò)程分析的數(shù)學(xué)模型可以解決生活中常見的養(yǎng)老保險(xiǎn)問(wèn)題，為保險(xiǎn)公司給出能夠盈利的收益率;通過(guò)建立整數(shù)線性規(guī)劃模型可以解決投資問(wèn)題，為投資者提供合理的建議。為了方便讀者更容易地了解和體會(huì)數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的實(shí)際意義和作用，本文所給出的數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用案例都較為簡(jiǎn)單。事實(shí)上，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型還有許多，本文未逐一列出。數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用能更好地揭示微觀變量之間的相互性質(zhì)，為經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中問(wèn)題的解決提供了新的思路?？傊瑪?shù)學(xué)建模是一個(gè)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中實(shí)用性很強(qiáng)的工具，我們應(yīng)樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的觀念和意識(shí)，努力培養(yǎng)科學(xué)探索的精神。

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[責(zé)任編輯 曉 群]