不同坐標(biāo)系下滑動(dòng)軸承動(dòng)特性系數(shù)計(jì)算方法的相互轉(zhuǎn)換*

王蘊(yùn)馨 馬金奎 陳淑江 路長(zhǎng)厚 李 佳 劉志穎

(山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 山東濟(jì)南 250061)

目前滑動(dòng)軸承動(dòng)力特性研究常用的計(jì)算方法有差分法和偏導(dǎo)數(shù)法。為避免兩次差分近似計(jì)算互相疊加的計(jì)算誤差[3]，本文作者以圓軸承為對(duì)象，采用有限差分法求解雷諾方程，在計(jì)算油膜壓力過(guò)程中，討論了雷諾邊界條件的實(shí)現(xiàn)方法；同時(shí)根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)法計(jì)算擾動(dòng)壓力并給出了其分布，從而得到滑動(dòng)軸承的動(dòng)特性系數(shù)。

在研究滑動(dòng)軸承流體潤(rùn)滑時(shí)，油膜厚度和動(dòng)特性系數(shù)的表示通常有2種坐標(biāo)系，即極坐標(biāo)系[4]和直角坐標(biāo)系[5]，本文作者分別建立了2種坐標(biāo)系下的數(shù)值分析模型以及二者之間的轉(zhuǎn)換矩陣，經(jīng)驗(yàn)證可獲得相近的結(jié)果。文中的研究完善了經(jīng)典軸承理論的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，對(duì)滑動(dòng)軸承的研究有一定的指導(dǎo)作用。

1 油膜壓力分布

1.1 油膜厚度與雷諾方程的量綱一化形式

圖1為油膜厚度計(jì)算簡(jiǎn)圖，Ob為軸承中心，Oj為軸的中心；點(diǎn)A為沿y軸正方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ后的計(jì)算點(diǎn);φ為偏位角，φ=θ-φ；e為偏心距；ω為軸的轉(zhuǎn)速。設(shè)c為半徑間隙，可得計(jì)算點(diǎn)A的膜厚表達(dá)式為

(1)

圖1 油膜厚度計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig 1 A sketch map of oil film thickness calculation

根據(jù)滑動(dòng)軸承的流體潤(rùn)滑理論，將雷諾方程量綱一化，得

(2)

1.2 雷諾方程的求解及邊界條件

采用有限差分法求解雷諾方程[6-7]，將油膜劃分為m×n個(gè)網(wǎng)格，沿φ方向劃分m等分并用i編號(hào)，沿λ方向劃分n等分并用j編號(hào)，節(jié)點(diǎn)位置用(i,j)二維編號(hào)表示。利用差商取代雷諾方程中的一階偏導(dǎo)數(shù)，整理可得

(3)

其中：

Di,j=Ai,j+Bi,j+Ci,j+Ci,j

Ei,j=3(Hi+1,j-Hi,j)Δφ

計(jì)算油膜壓力時(shí)，邊界條件的合理采用是影響滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑性能計(jì)算精度的重要因素。文中引入雷諾邊界條件[8-10]：在油膜破裂邊界上，油膜的壓力和壓力的一階導(dǎo)數(shù)均為0。即：

P=0，?P/?φ=0，φ∈[0,2π]

如圖2所示，實(shí)現(xiàn)雷諾邊界條件的具體方法是：計(jì)算油膜壓力時(shí)，由起始點(diǎn)向終止點(diǎn)方向逐點(diǎn)迭代。先假設(shè)內(nèi)部各點(diǎn)壓力為0，運(yùn)用有限差分法依次計(jì)算各點(diǎn)的壓力值，如果算出某點(diǎn)壓力值為負(fù)數(shù)，則判定此點(diǎn)出現(xiàn)油膜破裂并取為0，這樣就得到了油膜壓力的第1次近似值。利用該近似值再次從第一個(gè)點(diǎn)重新計(jì)算壓力值，如此反復(fù)迭代直至滿足收斂誤差。可以看出，油膜開(kāi)始破裂的位置隨著迭代次數(shù)的增加逐漸向下游推移，則整個(gè)壓力曲線隨之增高，于是破裂邊界和壓力分布會(huì)逐漸逼近實(shí)際破裂邊界和雷諾邊界條件的壓力分布。

圖2 漸變的壓力曲線下游Fig 2 Downstream of gradual pressure curves

從文獻(xiàn)[11-12]中取一組軸承參數(shù)作示例，如表1所示。所得量綱一油膜壓力分布如圖3所示。

表1 軸承參數(shù)Table 1 Parameters of a bearing

圖3 量綱一油膜壓力分布Fig 3 Distribution of dimensionless oil film pressure

可以看出，滑動(dòng)軸承的量綱一油膜壓力的三維分布近似拋物面分布。在0≤φ≤π的區(qū)域，量綱一油膜壓力在某一段逐漸增大到最大壓力值，之后急劇下降，在φ>π的某一區(qū)域降為0。這與經(jīng)典滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑理論一致[13-14]。

2 偏導(dǎo)數(shù)法求解滑動(dòng)軸承動(dòng)力特性系數(shù)

油膜具有非線性力學(xué)特性，其剛度和阻尼會(huì)影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[15]。油膜剛度和阻尼系數(shù)的2種坐標(biāo)系下的求解模型如圖4所示。

圖4 滑動(dòng)軸承動(dòng)特性系數(shù)計(jì)算模型Fig 4 A calculation model of dynamic characteristic coefficients of sliding bearing

圖4中，Ob為軸承中心，O0為靜平衡位置,Oj為軸的瞬時(shí)中心，極坐標(biāo)系為εObφ;直角坐標(biāo)系為xOby。軸心做微小運(yùn)動(dòng)時(shí)的量綱一油膜力為

(4)

(5)

2.1 極坐標(biāo)系求解模型

(6)

定義油膜剛度系數(shù)為單位位移所引起的油膜力增量，即

定義油膜阻尼系數(shù)為單位速度所引起的油膜力增量，即

其中，下標(biāo)0表示在靜平衡位置處求導(dǎo)；各系數(shù)的第1個(gè)下標(biāo)代表力的方向，第2個(gè)下標(biāo)代表位移或速度的方向(下同)。

(7)

將擾動(dòng)壓力在完整油膜區(qū)內(nèi)積分，可得到極坐標(biāo)系中的量綱一剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，即

(8)

(9)

計(jì)算時(shí)，擾動(dòng)壓力的邊界條件是：在完整油膜區(qū)的全部周邊上均等于0。根據(jù)表1數(shù)據(jù)及上述分析，可得到滑動(dòng)軸承量綱一擾動(dòng)壓力周向分布，如圖5所示。

圖5 量綱一擾動(dòng)壓力周向分布Fig 5 Circumferential distribution of dimensionless disturbed pressure (a)circumferential distribution of Pε;(b)circumferential distribution of Pφ;(c)circumferential distribution of

2.2 直角坐標(biāo)系求解模型

同理，將式(5)在靜平衡位置展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)，僅保留一階微量，可得到

(10)

同樣地，可以定義

(11)

擾動(dòng)壓力的邊界條件不變，積分后可得到直角坐標(biāo)系中的量綱一剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，即

(12)

(13)

3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

3.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣推導(dǎo)

(14)

(15)

(16)

已知油膜力可表示為

因此

根據(jù)系數(shù)相等可得2種數(shù)值分析模型的轉(zhuǎn)換方法為

(17)

或

(18)

經(jīng)典軸承理論[1]中的轉(zhuǎn)換矩陣如式(19)所示，由于結(jié)論有所差異，接下來(lái)給出驗(yàn)證分析。

(19)

3.2 驗(yàn)證分析

首先確定邊界條件，求解壓力分布，然后根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)法得到的擾動(dòng)壓力雷諾方程的量綱一化形式計(jì)算各擾動(dòng)壓力，再經(jīng)積分求出2種計(jì)算模型的量綱一動(dòng)特性系數(shù)，最后通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣換算后的結(jié)果，如表2所示。

表2 量綱一動(dòng)特性系數(shù)(l/d=0.5,φ=30°)Table 2 Dimensionless dynamic characteristic coefficients(l/d=0.5,φ=30°)

2種計(jì)算模型得到的量綱一動(dòng)特性系數(shù)近似相等，最大誤差為6.05%，其中，交叉阻尼系數(shù)近似相等，這有力地論證了上述坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法的正確性。

4 結(jié)論

(1)分別建立極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下滑動(dòng)軸承動(dòng)特性系數(shù)的計(jì)算模型，2種模型均可求解出滑動(dòng)軸承油膜壓力和擾動(dòng)壓力分布及其動(dòng)特性系數(shù)，同時(shí)給出了二者之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，并進(jìn)行了驗(yàn)證，說(shuō)明了方法的正確性。

(2)通過(guò)對(duì)壓力曲線下游邊界變化情況的分析，結(jié)合迭代算法，研究了雷諾邊界條件的實(shí)現(xiàn)方法：先假設(shè)內(nèi)部各點(diǎn)壓力為0，運(yùn)用有限差分法和負(fù)壓置零的條件逐點(diǎn)計(jì)算出各點(diǎn)的第1次壓力近似值，利用該近似值再次從第一個(gè)點(diǎn)重新計(jì)算，如此反復(fù)迭代直至滿足收斂誤差，從而得到滿足條件的破裂邊界和壓力分布。