不同損失下隨機截尾BurrXII分布的Bayes統(tǒng)計分析

季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院， 江蘇 宿遷 223800)

0 引言

1942年，Burr在研究關(guān)于分布函數(shù)的微分方程,時引入了Burr分布. BurrXII分布在保險精算學(xué)、環(huán)境環(huán)境科學(xué)、社會經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都有比較廣泛的應(yīng)用,還被列為精算師常用的八大分布之一，這也充分說明了該分布的重要性。通過截尾的方式來降低可靠性壽命試驗的成本和減少試驗的周期，其中比較常用的截尾方式有定數(shù)截尾和定時截尾，這兩種截尾下的相關(guān)分布參數(shù)的Bayes估計的結(jié)果已經(jīng)比較完整了[1-3]. 例如，隨機截尾情形下Rayleigh分布和Pareto分布參數(shù)的Bayes估計[4-5].但目前研究MLINEX和復(fù)合MLINEX損失下隨機截尾BurrXII分布參數(shù)的Bayes估計的學(xué)者卻不多，故本文將研究該分布參數(shù)的估計問題.

假設(shè)X1,X2,X3,…,Xn,表示隨機截尾試驗中受試產(chǎn)品的壽命，是一列相互獨立且都服從BurrXII分布的隨機變量，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

f(x;θ)=θγxγ-1(1+xγ)-(1+θ)

(1)

(2)

為了估計方便，假設(shè)式(1)、式(2)中的參數(shù)γ已知，θ未知.

(3)

1 參數(shù)θ的Bayes估計

接下來，主要研究BurrXII分布在已知γ的情形下，未知參數(shù)θ在MLINEX及復(fù)合MLINEX損失下，利用隨機截尾試驗找出該參數(shù)的Bayes估計.

本文取參數(shù)θ的廣義先驗分布，其先驗密度函數(shù)為

π(θ)=1,θ>0

(4)

由式(3)、式(4)可得參數(shù)θ的后驗條件密度函數(shù)為

(5)

其中

由式(5),有

(6)

文[6]中給出了MLINEX損失函數(shù)為:

(7)

本文僅考慮c>0的情形，在此損失函數(shù)下有如下定理：

定理1 在損失函數(shù)(7)下，若參數(shù)θ取廣義先驗分布時，則分布(1)中參數(shù)θ的Bayes估計為:

文[7]給出了復(fù)合MLINEX對稱損失函數(shù)如下，

(8)

則在該損失函數(shù)下有如下結(jié)論.

定理2 在損失函數(shù)(8)下，若參數(shù)θ廣義先驗分布時，則分布(1)中參數(shù)θ的Bayes估計為:

從而有

2 參數(shù)θ的區(qū)間估計

由Bayes置信區(qū)間的定義即可得到隨機截尾下的置信度為1-α的置信區(qū)間，

3 Monte-Carlo隨機模擬

下面先取γ=1.5，然后通過Monte-Carlo方法進(jìn)行模擬.利用算法[8]來產(chǎn)生隨機截尾的樣本. 首先需要給定每一個受試產(chǎn)品的截尾時間y1,y2,…,yn,再利用這些樣本數(shù)據(jù)及兩個定理的精確表達(dá)式給出兩個不同損失下的BurrXII分布參數(shù)θ的Bayes估計，利用Matlab將算法隨機模擬1 000次，模擬結(jié)果見表1.

表1 兩個損失下各項指標(biāo)的Bayes估計模擬值(c=2)

上述模擬結(jié)果表明: 隨著樣本量的增大，兩個Bayes估計都是越來越接近θ的真值；橫向比較來看，在相同的真值和樣本量下，都是復(fù)合MLINEX對稱損失函數(shù)下的Bayes估計較為優(yōu)良.故在求隨機截尾情形下BurrXII分布參數(shù)θ的Bayes估計時，相比較這兩個損失函數(shù)，優(yōu)先推薦利用復(fù)合MLINEX對稱損失函數(shù).